Đề cương hình học tam giác

ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà " ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ống ệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ất đẳng thức trong tam giác.. ọc-tam g

PH N M ẦN MỞ ĐẦU Ở ĐẦU ĐẦN MỞ ĐẦU U

C I M CHUNG C A B MÔN HÌNH H C ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC Đ ỂM CHUNG CỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC Ộ MÔN HÌNH HỌC ỌC

Ki n th c v b môn toán nói chung, b môn hình h c nói riêng đ c xây d ng theo m t h th ngề cương hình học-tam giác ọc-tam giác ược xây dựng theo một hệ thống ựng theo một hệ thống ệ thống ống

ch t ch : T h th ng Tiên đ đ n nh ngh a các khái ni m – nh lý – và H qu ệ thống ống ề cương hình học-tam giác Định nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ệ thống Định nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ệ thống ả

i v i nh ng bài toán thông th ng, h c sinh ch c n v n d ng m t vài khái ni m, đ nh lý, h quĐống ư ọc-tam giác ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ệ thống ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ệ thống ả

đ gi i ể giải ả

i v i nh ng bài toán khó, đ xác đ nh h ng gi i ( c ng nh đ gi i đ c )

Đống ể giải ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ư ả ũng như để giải được ) ư ể giải ả ược xây dựng theo một hệ thống h c sinh c n n m ọc sinh cần nắm ần nắm ắm

c không nh ng h th ng ki n th c ( lý thuy t ) mà cón c n n m ch c c h th ng bài t p , s

đư ức ( lý thuyết ) mà cón cần nắm chắc cả hệ thống bài tập , sử ần nắm ắm ắm ả hệ thống bài tập , sử ập , sử ử

d ng chúng nh nh ng “B ụng chúng như những “Bổ đề “ ư ổ đề “ đề “ “.

Do ó đ để giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần : ả hệ thống bài tập , sử gi i t t các bài toán hình h c, h c sinh c n : ọc sinh cần nắm ọc sinh cần nắm ần nắm

a/N m ch c h th ng ki n th c v lý thuy t ắm ắm ức ( lý thuyết ) mà cón cần nắm chắc cả hệ thống bài tập , sử ề “.

b/N m ch c h th ng bài t P ắm ắm ập , sử

c/Bi t cách khai thác gi thi t nh m : ả hệ thống bài tập , sử ằm :

-Đọc-tam giácc h t nh ng thông tin ti m n trong gi thi t, n m ch c, n m đ y đ cái ta có, cái ta ch a có.ề cương hình học-tam giác ả ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ủ cái ta có, cái ta chưa có ư

T đó giúp ta xây d ng h ng gi i, v đ c đ ng ph c ng nh giúp ta có th gi i đ c bài toán b ng nhi uựng theo một hệ thống ư ả ược xây dựng theo một hệ thống ư ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ũng như để giải được ) ư ể giải ả ược xây dựng theo một hệ thống ằng nhiều ề cương hình học-tam giáccách

d/Bi t cách tìm hi u câu h i ( k t lu n ) : ể giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần : ỏi ( kết luận ) : ập , sử

+N m ch c ắm ắm các ph ư ng pháp ch ng minh t ng d ng toán ( trong ó c n h t s c l u ý nh ức ( lý thuyết ) mà cón cần nắm chắc cả hệ thống bài tập , sử ừng dạng toán ( trong đó cần hết sức lưu ý định ạng toán ( trong đó cần hết sức lưu ý định đ ần nắm ức ( lý thuyết ) mà cón cần nắm chắc cả hệ thống bài tập , sử ư định ngh a các khái ni m ) ĩa các khái niệm )

+Biêt đư a bài toán v tr ề “ ường hợp tương tự ng h p t ư ng t ự

+N m ắm đư c ý ngh a c a câu h i ĩa các khái niệm ) ủa câu hỏi để có thể chuyển sang dạng tương đương Ví dụ để ỏi ( kết luận ) : để giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần : có th chuy n sang d ng t ể giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần : ể giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần : ạng toán ( trong đó cần hết sức lưu ý định ư ng đư ng Ví d ụng chúng như những “Bổ đề “ để giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần :

ch ng minh bi u th c M không ph thu c v trí c a cát tuy n d khi d quay quanh i m O ta c n ức ( lý thuyết ) mà cón cần nắm chắc cả hệ thống bài tập , sử ể giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần : ức ( lý thuyết ) mà cón cần nắm chắc cả hệ thống bài tập , sử ụng chúng như những “Bổ đề “ ộc vị trí của cát tuyến d khi d quay quanh điểm O ta cần ịnh ủa câu hỏi để có thể chuyển sang dạng tương đương Ví dụ để đ ể giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần : ần nắm

ch ng minh M = h ng s ức ( lý thuyết ) mà cón cần nắm chắc cả hệ thống bài tập , sử ằm :

T đó c n c vào đi u ta có và đi u ta ph i ch ng minh đ đ nh h ng gi i và gi i bài toán ề cương hình học-tam giác ề cương hình học-tam giác ả ể giải ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ư ả ả

Các bài toán nâng cao trong t p tài li u này đ c phân lo i , s p x p h th ng theo “Hình n n “ màận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ệ thống ược xây dựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ệ thống ống ề cương hình học-tam giác

đ u bài cho và trên c s đó phân thành nhi u nhóm khác nhau, qua đó giúp cho chúng ta có th tìm hi u chuyên sâuần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ơng hình học-tam giác " ề cương hình học-tam giác ể giải ể giải

t ng ch đ và giúp cho chúng ta có th th c hi n đ c nh ng yêu c u nêu trên ủ cái ta có, cái ta chưa có ề cương hình học-tam giác ể giải ựng theo một hệ thống ệ thống ược xây dựng theo một hệ thống ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả c ng nh giúp tra c u d ũng như giúp tra cứu dễ ư giúp tra cứu dễ ứu dễ ễ dàng h n ơn

2/ Tam giác – Phân giác

5/ Tam giác - Trung tuy n

6/ Tam giác – Trung tuy n – Phân giác

PH N B : T GIÁC ẦN A : TAM GIÁC Ứ GIÁC

M T S VÍ D Ộ MÔN HÌNH HỌC Ố VÍ DỤ Ụ

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 1 : TAM GIÁC T NG QUÁT ỔNG QUÁT I/ M T S B T Ộ MÔN HÌNH HỌC Ố VÍ DỤ ẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG ĐẲNG THỨC HAY DÙNG NG TH C HAY DÙNG ỨC HAY DÙNG

1/ Các b t đ ng th c trong tam giác ất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác

2/ B t đ ng th c Cô si ( Ap d ng đ i v i các s không âm )ất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ống ống

3/ B t đ ng th c Bunhiacôpxkiất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác

a b

4/ Giá tr l n nh t c a t ng hai s ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ất đẳng thức trong tam giác ủ cái ta có, cái ta chưa có ổng quát ống

5/ Giá tr l n nh t c a tích hai s ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ất đẳng thức trong tam giác ủ cái ta có, cái ta chưa có ống

a/

2

2

2 b a b

a   D u b ng x y ra ất đẳng thức trong tam giác ằng nhiều ả  a = b

1

b p

ca a p

bc c p

1111





 (1) b/ ha + hb + hc  9r (2) c/ 92s r a1b1c149S r

II/ DI N TÍCH TAM GIÁC ỆN TÍCH TAM GIÁC

G i a , b , c là đ dài các c nh ; học-tam giác ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà a , hb , hc là đ dài các đ ng cao , mư a , mb , mc là đ dài các đ ng trung ưtuy n h t đ nh A , B , C ; p là chu vi ; R , r là bán kính đ ng tròn ngo i ti p và đ ng tròn n i ti p ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ư ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ư  ABC

6/ Ch ng minh r ng n u t t c các c nh c a m t tam giác đ u nh h n 1 thì di n tích c a tam giác nh ằng nhiều ất đẳng thức trong tam giác ả ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ủ cái ta có, cái ta chưa có ề cương hình học-tam giác ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ơng hình học-tam giác ệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ

h n ơng hình học-tam giác

4

3

III/ CHU VI TAM GIÁC

1/ Trong t t c các tam giác cùng c nh đáy và cùng góc đ nh đ i di n v i c nh y , tìm tam giác có chu vi l n ất đẳng thức trong tam giác ả ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà " ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ống ệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ất đẳng thức trong tam giác

nh t ất đẳng thức trong tam giác

2/ Trong t t c các tam giác có chung đáy và đ nh thu c đ ng th ng song song v i đáy , tìm tam giác có chu vi ất đẳng thức trong tam giác ả ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ư ẳng thức trong tam giác

nh nh t ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ất đẳng thức trong tam giác

3/ Tìm m t tam giác có chu vi nh nh t sao cho m t đ nh là đi m A cho tr c , còn hai đ nh B và C n m trên 2ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ất đẳng thức trong tam giác ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ể giải ư ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ằng nhiều

đ ng th ng dư ẳng thức trong tam giác 1 , d2 cho tr c ư

IV/ TAM GIÁC - THÊM M T S I U KI N Ộ MÔN HÌNH HỌC Ố VÍ DỤ Đ Ề 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT ỆN TÍCH TAM GIÁC

1/ Cho  ABC T đ nh A, v phía BC k hai đ ng th ng, đ ng th ng AD t o v i AB m t góc C,ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ề cương hình học-tam giác ẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C, ư ẳng thức trong tam giác ư ẳng thức trong tam giác ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

đ ng th ng AE t o v i AC m t góc b ng góc B Ch ng minh ư ẳng thức trong tam giác ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ằng nhiều  ADE cân

 CAB ~  CBD  CBA = CDB ; CAB = CBD = CBA + ABD

3/ Cho  ABC có góc C tù và A = 2B Đư ng th ng qua B vuông góc v i BC c t AC t i D G i M là ẳng thức trong tam giác ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ọc-tam giác

T C k đ ng th ng song song v i AB c t DM I , c t DB J ẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C, ư ẳng thức trong tam giác ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có " ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có " Ta có : ( )

DM

ID MB

IJ AM

CI



IMB (cgc)  AMC = BMD

A

B M

D

J

4/  ABC có tính ch t : t n t i P trong tam giác sao cho PAB = 10ất đẳng thức trong tam giác ồn tại P trong tam giác sao cho PAB = 10 ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà 0 ; PCA = 300 ; PBA = 200 ; PAC =

G i A’ là đi m đ i x ng c a A qua BP Suy ra APA’ = 60ọc-tam giác ể giải ống ủ cái ta có, cái ta chưa có 0 và  APA’ đ u ề cương hình học-tam giác

G i E là giao đi m c a PC VÀ BA’ , ta có : ọc-tam giác ể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có

V y A = C = 50ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả 0 , B = 800

Ví d : Cho 7 đo n th ng , m i đo n th ng có đ dài m v i 1 ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác ỗi đoạn thẳng có độ dài m với 1 ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác  m < 13 và m nguyên Ch ng minh r ng có th ch n đ c 3 trong 7 đo n th ng y đ d ng tam giác M nh đ trên còn đúng hay ằng nhiều ể giải ọc-tam giác ược xây dựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác ất đẳng thức trong tam giác ể giải ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ệ thống ề cương hình học-tam giác không n u ch có 6 đo n th ng ? ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác

N u a , b , c là ba c nh c a m t tam giác thì bao gi c ng có a < b + c ( 1 ) ; b < c + a ( 2 ); ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ủ cái ta có, cái ta chưa có ũng như để giải được )

c < a + b (3) Gi s a ả ử a  b  c thì (2) , (3) nghi m đúng nh v y ch còn đi u ki n ( 1 ) V y ta rút ra ệ thống ư ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ề cương hình học-tam giác ệ thống ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

nh n xét sau : ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

Ba s d ng đ c xem nh s đo c a ba c nh c a m t tam giác khi s l n nh t trong ống ương hình học-tam giác ược xây dựng theo một hệ thống ư ống ủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ủ cái ta có, cái ta chưa có ống ất đẳng thức trong tam giác

ba s đó nh h n t ng c a hai s còn l i ống ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ơng hình học-tam giác ổng quát ủ cái ta có, cái ta chưa có ống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

G i 7 đo n th ng đã cho là mọc-tam giác ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác 1 ; m2 ;… ; m7 Gi s mả ử a 1  m2  …  m7 < 13

N u không ch n đ c 3 trong 7 đo n th ng đó đ làm c nh c a tam giác thì t nh n xét trên ta có :ọc-tam giác ược xây dựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác ể giải ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ủ cái ta có, cái ta chưa có ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

K t qu mả 7  13 ( trái gt ) , nh v y t n t i ba đo n th ng làm c nh c a m t tam giác ư ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ồn tại P trong tam giác sao cho PAB = 10 ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ủ cái ta có, cái ta chưa có

Kh ng đ nh trên không còn đúng n u ch s d ng 6 đo n th ng Th t v y ph n ví d sau minh ẳng thức trong tam giác ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ử a ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

h a đi u này : Ch n mọc-tam giác ề cương hình học-tam giác ọc-tam giác 1 = m2 = 1 ; m3 = 2 ; m4 = 3 ; m5 = 5 ; m6 = 8 , khi đó không có ba đo n th ng nào ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác

th a mãn (1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 2 : TAM GIÁC – PHÂN GIÁC

phân giác ngoài c a góc A ủ cái ta có, cái ta chưa có Ch ng minh r ng :ằng nhiều

c a CC’ và A’B’ Ch ng minh : BB’ là phân giác c a góc KBL ủ cái ta có, cái ta chưa có ủ cái ta có, cái ta chưa có

A’

4/ Cho  ABC có d dài 3 c nh là a,b,c và lại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà a , lb , lc là đ dài 3 đ ng phân giác ng v i các c nh BC , CA ,ư ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

AB Ch ng minh :

c b

a l l l

c b a

111111

2

12

12

1

b c bc

c b



la v icác tr ng h p còn l i ) b ng cách tính BE ( liên ư ợc xây dựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ằng nhiều

CE AD

2

12

12

1

b c bc

c b

11

a b

L y (1) + (2) +(3) suy ra đi u ph i ch ng minh ất đẳng thức trong tam giác ề cương hình học-tam giác ả

Nh n xét và chú ý :ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

ý đ n tính ch t đ ng phân giác c a tam giác ất đẳng thức trong tam giác ư ủ cái ta có, cái ta chưa có

+ Bài toán yêu c u ch ng minh m t b t đ ng th cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác

BY XB

BY XB

AX ZA

CZ YC

BY XB

c a

b ZA

CZ YC

BY XB AX

D u “=” x y ra khi và ch khi a = b = c t c ất đẳng thức trong tam giác ả ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả  ABC đ u ề cương hình học-tam giác6/ Cho  ABC , ba đ ng phân giác trong AD , BE , CF Ch ng minh đi u ki n c n và đ đ tam giác ABC ư ề cương hình học-tam giác ệ thống ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ủ cái ta có, cái ta chưa có ể giải

đ u là Sề cương hình học-tam giác DEF = ¼ SABC

SDEF  ¼ SABC , d u “=” x y ra ất đẳng thức trong tam giác ả   ABC đ u ề cương hình học-tam giác

TÍNH ĐỘ MÔN HÌNH HỌC ỚNG DẪN L N C A GÓC ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC

BY XB AX

A E

A

Z X

a

b c

c

2/ Cho  ABC , các góc B và C có t l 3 : 1 , phân giác c a góc A chia di n tích tam giác theo t s 2: 1 ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có ệ thống ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ốngTính các góc c a tam giác ủ cái ta có, cái ta chưa có.

HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NG PHÂN GIÁC

1/ Cho  ABC có hai đ ng phân giác trong BD , CE c t nhau t i I Bi t ID = IE Ch ng minh r ng ho cư ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ằng nhiều

 ABC cân t i A ho c BAC = 60ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà 0

AI là đ ng phân giác c a góc A Khi đó hai ư ủ cái ta có, cái ta chưa có  IEA và  IDA có th x y ra hai tr ng h p :ể giải ả ư ợc xây dựng theo một hệ thống

a/  IEA =  IDA Khi đó :

BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA   ABD =  ACE ( g – c – g )  AB = AC 

 ABC cân t i A ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

Không m t tính t ng quát ta gi s : C > B ất đẳng thức trong tam giác ổng quát ả ử a L y đi m E’ trên AB sao cho IE’ = IE = ID ất đẳng thức trong tam giác ể giải   IE’E cân  IE’E = IEE’  BEI = IE’A = IDA

C C TR ỰC TRỊ Ị

1/ Cho  ABC v i AB  AC và AD là đ ng phân giác trong L y đi m M trên c nh AB và đi m N trên c nh ư ất đẳng thức trong tam giác ể giải ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ể giải ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

AC sao cho BM.CN = k không đ i ( k < ABổng quát 2 ) Xác đ nh v trí c a M , N sao cho di n tích c a t giác ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ủ cái ta có, cái ta chưa có ệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có.AMDN là l n nh t ất đẳng thức trong tam giác

H DH , DK vuông góc v i AB và AC Ta có : DH = DK = h ng s ( AD là phân giác c a góc A ) ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ằng nhiều ống ủ cái ta có, cái ta chưa có

= DH [AB+AC – (BM+CN)] (1)

Ap d ng b t đ ng th c Côsi cho hai s d ng BM , CN :ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác ống ương hình học-tam giác

2SAMDN  DH(AB+AC-2 k )

Lúc đó SAMDN = ½ (AB+AC - 2 k ) D dàng d ng đ c các đo n th ng BM , CN theo h th c ễ dàng dựng được các đoạn thẳng BM , CN theo hệ thức ựng theo một hệ thống ược xây dựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác ệ thống

BM2 = CN2 = k.1 ( trong đó 1 ch 1 đ n v dài ) ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ơng hình học-tam giác ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả

Cách d ng : Trên BC l y E sao cho BE = 1 trên BF l y H sao cho BH = k D ng đ ng ựng theo một hệ thống ất đẳng thức trong tam giác ất đẳng thức trong tam giác ựng theo một hệ thống ư tròn đ ng kính BE , d ng tia Hx vuông góc v i BE c t đ ng tròn t i M BM có đ dài c n d ng ư ựng theo một hệ thống ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ư ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ựng theo một hệ thống

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 3 : TAM GIÁC – ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NG CAO

1/ Cho  ABC có a > b > c Ch ng minh :

a/ ha < hb < hc

2/ Cho  ABC có ba c nh là a , b , c và ba đ ng cao là hại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ư a , hb , hc Ch ng minh r ng n u ằng nhiều

)(

1)

(

1)

(

11

1

1

c p p b p p a p p h

h

c a ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABC

3/ Ch ng minh r ng n u m t tam giác có 2 c nh không b ng nhau thì t ng c a c nh l n h n và ằng nhiều ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ằng nhiều ổng quát ủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ơng hình học-tam giác

đ ng cao t ng ng l n h n t ng c a c nh nh và đ ng cao t ng ng ư ương hình học-tam giác ơng hình học-tam giác ổng quát ủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ư ương hình học-tam giác

4/ Cho  ABC có các đ ng cao AA’ , BB’ , CC’ ư Chi u A’ lên AB , AC , BB’ và CC’ t i I , J , K , ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

L Ch ng minh 4 đi m I , J , K , L th ng hàng ể giải ẳng thức trong tam giác

5/ Cho  ABC , đ ng cao AH G i C’ là đi m đ i x ng c a H qua AB G i B’ là đi m đ i x ng c aư ọc-tam giác ể giải ống ủ cái ta có, cái ta chưa có ọc-tam giác ể giải ống ủ cái ta có, cái ta chưa có

ABC

NG CAO – CHU VI TAM GIÁC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

2/ Cho  ABC Xác đ nh các đi m M , N , P theo th t thu c các c nh BC , CA , AB sao cho ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ể giải ựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà chu vi  MNP là nh nh t ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ất đẳng thức trong tam giác

NG CAO - B T NG TH C - C C TR ĐƯỜNG PHÂN GIÁC ẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG ĐẲNG THỨC HAY DÙNG ỨC HAY DÙNG ỰC TRỊ Ị

1/ Cho 2 đi m A , B có đ nh và đi m M di đ ng sao cho ể giải ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ể giải  MAB có 3 góc nh n G i H là tr c tâm ọc-tam giác ọc-tam giác ựng theo một hệ thống

c a ủ cái ta có, cái ta chưa có  AMB , K là chân đ ư ng cao v t M Tìm giá tr l n nh t c a KH.KM ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ất đẳng thức trong tam giác ủ cái ta có, cái ta chưa có.

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 4: TAM GIÁC – ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NG CAO - PHÂN GIÁC 1/ Đư ng cao và đ ng phân giác v t đ nh A c a ư ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ủ cái ta có, cái ta chưa có ABC t o thành m t góc Tính góc đo theo các góc B và C ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

c a tam giác ABC ( ho c ch ng minh ủ cái ta có, cái ta chưa có góc ó b ng n a hi u c a hai góc B và C đ ằm : ử ủa câu hỏi để có thể chuyển sang dạng tương đương Ví dụ để )

H ƯỚNG DẪN NG D N ẪN

A Chú ý vành n xét : ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

+ D luôn n m gi a H và trung đi m M ( s ch ng minh ằng nhiều ể giải

1.1/ Cho  ABC và đ ng phân giác CE T C k đ ng th ng vuông góc v i CE c t c nh AB kéo dài t i D.ư ẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C, ư ẳng thức trong tam giác ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

Ch ng minh r ng góc EDC b ng n a hi u c a các góc A và B ằng nhiều ằng nhiều ử a ệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có

1.2/ u ng phân giác ngoài k t đ nh A c a Đ ẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C, ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABC t o v i c nh BC m t góc 30ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà 0 Tìm hi u c a các góc Cệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có

và B ( Cho AB  AC )

đ ng phân giác ngoài c a góc đ nh b ng nhau ư ủ cái ta có, cái ta chưa có " ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ằng nhiều

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 5: TAM GIÁC - TRUNG TUY N ẾN

A

G Q

4

2 2

b

; 4

.44

.4

a c c b b a

2/ Cho  ABC , trung tuy n AM M t cát tuy n  quay quanh tr ng tâm G c t AB , AC t i P và Q ọc-tam giác ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

Ch ng minh : AP AB AQ AC không ph thu c v trí c a ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ủ cái ta có, cái ta chưa có 

3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC M t đ ng th ng đi qua tr ng tâm G c a ư ẳng thức trong tam giác ọc-tam giác ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABC , c t các c nhắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

AB , AC l n l t t i E , F Hãy xác đ nh v trí đi m E sao cho AE + AF đ t giá tr nh nh t ( M r ng bàiần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ược xây dựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ể giải ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ất đẳng thức trong tam giác "trên )

4/ Cho  ABC , trung tuy n AD T đi m M b t k trên BD v đ ng th ng song song v i AD c t ABể giải ất đẳng thức trong tam giác ỳ trên BD vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB ư ẳng thức trong tam giác ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có

t i E , c t AC t i F Ch ng minh : 2AD = ME + MF ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

+ T o ra đo n th ng b ng ME + MF ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác ằng nhiều

B T ẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG ĐẲNG THỨC HAY DÙNG NG TH C - C C TR ỨC HAY DÙNG ỰC TRỊ Ị

1/ Có t n t i hay không m t tam giác có hai trung tuy n AD và CE nh h n n a c nh đ i di n ồn tại P trong tam giác sao cho PAB = 10 ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ơng hình học-tam giác ử a ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ống ệ thống

B

AD < ½ BC  AD < DC  AD < DB ;

CE < ½ AB  EC < AE

Do đó : DCA < DAC ; DBA < DAB  DCA + DBA < DAC + DAB 

D E

A

C

gi thi t , v y không t n t i tam giác th a ả ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ồn tại P trong tam giác sao cho PAB = 10 ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ mãn b t đ ng th c : CE + AD ất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác

< ½ ( AB + BC)3/Ch ng minh r ng trong m t tam giác b t k ta có :ằng nhiều ất đẳng thức trong tam giác ỳ trên BD vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB

22

c b m a c b

CD = OA = 2/3 AM ; OC = 2/3 CF   CDO đ ng d ng v i tam giác có ba c nh b ng trung tuy n ồn tại P trong tam giác sao cho PAB = 10 ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ằng nhiều

c a ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABC G i S’ là di n tích c a tam giác này Ta có : ọc-tam giác ệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có

2)2

3(

 S’ = 9/4 SCDO M t khác 6 tam giác nh OBF , OFA … có di n tích ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ệ thống

ABC ABC ABC

S

S

2/ Cho  ABC có di n tích b ng đ n v Trung tuy n CF V AD ( D n m trên c nh BC ) c t ệ thống ằng nhiều ơng hình học-tam giác ịnh nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả ằng nhiều ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có.

CF t i M sao cho FM = ¼ CF Tính di n tích c a ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABD

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 6: TAM GIÁC – TRUNG TUY N – PHÂN GIÁC ẾN

1/ Cho tam giác trong đó có m t góc tù Thành cho r ng trung tuy n k t đ nh c a góc nh n c a tam giácằng nhiều ẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C, ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ủ cái ta có, cái ta chưa có ọc-tam giác ủ cái ta có, cái ta chưa có

đ ng th i có th là đ ng phân giác c a góc nh n đó Cóng cho r ng đi u đó không th có đ c H i b n nàoồn tại P trong tam giác sao cho PAB = 10 ể giải ư ủ cái ta có, cái ta chưa có ọc-tam giác ằng nhiều ề cương hình học-tam giác ể giải ược xây dựng theo một hệ thống ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mànói đúng ? Vì sao ?

D

cân t i A Mà góc B > 90ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà 0 ( gt )  góc C = góc B > 1800 ( vô lý )

V y Công nói đúng ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

2/ Cho  ABC có BC < BA , đ ng trung tuy n BD , đ ng phân giác BE ư ư Đư ng th ng qua C vuôngẳng thức trong tam giác góc v i BE F và c t BD G Ch ng minh r ng DF đi qua trung đi m c a đo n th ng GE " ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có " ằng nhiều ể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác

GB

  GE // BC Vì DF đi qua trung đi m c a BC nên nó c ngể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có ũng như để giải được )

đi qua trung đi m c a GE ể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có

Cách 2 :

22

11

AE DE

DE AE DE

AD DE

DC DE

DE DC DE

BK DF

AK AB DF

DF AB

1/ Tam giác ABC có đ ng trung tuy n BM và đ ng phân giác CD c t nhau t i K sao cho KB = KC ư ư ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

HB ( mâu thu n ) T ng t n u HA < HB ta c ng g p đi u mâu thu n V y HA = HB ẫn với ương hình học-tam giác ựng theo một hệ thống ũng như để giải được ) ề cương hình học-tam giác ẫn với ận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả   AHBvuông cân t i H T đó ABC = 45ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà 0 ; ACB = 300

D

M K

A

B

K G

F

2/ Cho  ABC v i AB  AC G i AD , AM l n l t là đ ng phân giác , đ ng trung tuy n c a ọc-tam giác ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ược xây dựng theo một hệ thống ư ư ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABC

22

AC AB AM AD BC AC

phân giác ngoài c a góc A ủ cái ta có, cái ta chưa có Ch ng minh r ng :ằng nhiều

a/ AB – AC > MB – MC

b/ AB + AC < NB + NC

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 7: TAM GIÁC – ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NG CAO – TRUNG TUY N ẾN

1/ Tính các góc c a m t tam giác bi t đ ng cao và đ ng trung tuy n xu t phát t m t đ nh chia góc đ nhủ cái ta có, cái ta chưa có ư ư ất đẳng thức trong tam giác ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả " ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

ra làm 3 ph n b ng nhau ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ằng nhiều

2/ Cho  ABC có 3 góc nh n G i AH là đ ng cao l n nh t trong 3 đ ng cao c a tam giác ọc-tam giác ọc-tam giác ư ất đẳng thức trong tam giác ư ủ cái ta có, cái ta chưa có BE là trungtuy n k t đ nh B Bi t r ng AH = BE Ch ng minh góc B nh h n ho c b ng 60ẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C, ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ằng nhiều ỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ ơng hình học-tam giác ằng nhiều 0 Khi nào thì góc

H CI ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà  AB , ta có : EK’’//=1/2 CI

EK’’  ½ BE

3/ G i P là trung đi m c nh BC c a ọc-tam giác ể giải ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABC và BE , CF là hai đư ng cao Đư ng th ng qua A vuông gócẳng thức trong tam giác

v i PF c t đ ng th ng CF t i M ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ư ẳng thức trong tam giác ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà Đư ng th ng qua A vuông góc v i PE c t đ ng th ng BE t i N ẳng thức trong tam giác ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ư ẳng thức trong tam giác ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà

G i K và G l n l t là trung đi m c a BM , CN G i H là giao đi m c a đ ng th ng KF và GE Ch ngọc-tam giác ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ược xây dựng theo một hệ thống ể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có ọc-tam giác ể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có ư ẳng thức trong tam giác

H ƯỚNG DẪN NG D N ẪN

Ch ng minh :  AMI cân  KF là TB c a Đ ủ cái ta có, cái ta chưa có  MBI

 ANI cân  EG là TB c a Đ ủ cái ta có, cái ta chưa có  NIC

 FH  AC ; EH  AB

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 8: TAM GIÁC – ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NG CAO – TRUNG TUY N – PHÂN GIÁC ẾN

1/ Cho  ABC v i các trung tuy n , phân giác , đ ng cao d ng t m t đ nh chia góc đ nh đó thành 4 ph nư ựng theo một hệ thống ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả " ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả

b ng nhau Tính các góc c a ằng nhiều ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABC

B H D M C

B c 1 : Ch ng minh D n m gi a H và M B c 2 : Tính các góc c a tam giác ư ằng nhiều ư ủ cái ta có, cái ta chưa có

đ ng cao đ c k t i các c nh a , b , c c a tam giác ABC Ch ng minh : ư ược xây dựng theo một hệ thống ẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C, ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ủ cái ta có, cái ta chưa có

b b b

a

l h

m l h

m l h m

I

x E

HƯỚNG DẪN NG D NẪN A

đo n HM , do đó AH ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà  AP  AM , ngh a là : hĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả a  la  ma

T đó ta đ c hược xây dựng theo một hệ thống a + la  2ma

Ch ng minh t ng t ta đ c : hương hình học-tam giác ựng theo một hệ thống ược xây dựng theo một hệ thống b + lb  2mb ; hc + lc  2mc

ý r ng h

Để giải ằng nhiều i + li = 2mi  hi = li = mi   A1A2A3 cân t i đ nh Aại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả I

Suy ra ch ng minh t ng t ta đ c 2 b t đ ng th c t ng t ương hình học-tam giác ựng theo một hệ thống ược xây dựng theo một hệ thống ất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác ương hình học-tam giác ựng theo một hệ thống

C ng t ng v các b t đ ng th c đó và áp d ng b t đ ng th c cô si cho 3 s d ng ta đ c :ất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác ụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ất đẳng thức trong tam giác ẳng thức trong tam giác ống ương hình học-tam giác ược xây dựng theo một hệ thống

D u b ng x y ra khi và ch khi ất đẳng thức trong tam giác ằng nhiều ả ỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả  ABC là tam giác đ u suy t các đ ng th c ề cương hình học-tam giác ẳng thức trong tam giác

3/ Cho tam giác nh n ABC không đ u K đ ng cao AH , trung tuy n BM , phân giác CL c a ACB ọc-tam giác ề cương hình học-tam giác ẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C, ư ủ cái ta có, cái ta chưa có.Trung tuy n BM c t AH và CL l n l t t i P và Q CL c t AH t i R Ch ng minh r ng ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ược xây dựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ằng nhiều  PQR không

ph i là tam giác đ u ả ề cương hình học-tam giác

CH ỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT 9 : TAM GIÁC – ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NG CAO - TRUNG TR C ỰC TRỊ

1/ Cho  ABC , O là giao đi m các đ ng trung tr c c a 3 c nh , H là tr c tâm c a tam giác , M là trung đi mể giải ư ựng theo một hệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ựng theo một hệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có ể giải

c a BC ủ cái ta có, cái ta chưa có

a/ Ch ng minh : AH = 2 OM

b/ Ch ng minh ba đi m H , O , G th ng hàng ( đ ng th ng Le ) ể giải ẳng thức trong tam giác ư ẳng thức trong tam giác Ơ Le )

2/ Cho tam giác ABC nh n có A = 60ọc-tam giác 0 G i H là tr c tâm c a ọc-tam giác ựng theo một hệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có  ABC G i M , N l n lọc-tam giác ần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệ quả ược xây dựng theo một hệ thốngt là giao đi m ể giải

c a đ ng trung tr c c a BH và CH v i AB và AC Ch ng minh r ng ba đi m M , N , H th ng hàng ủ cái ta có, cái ta chưa có ư ựng theo một hệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có ằng nhiều ể giải ẳng thức trong tam giác

b

a b

b

a

m

m l

3.2

1)(

c c b b a a

a c c

c b b

b

a

m

m m

m m

m m

m m

m m

m l

h

m l

h

m l

h

m

a

c c

b b

a

m

m m

m m

m

;

;

11 3 2

3 2 1 1

3 3

2 2

m m m m

m m

m m m

P

N

3/ Cho  ABC có ABC = 300 ; ACB = 200 Đư ng trung tr c c a AC c t BC E , c t tia BA F ựng theo một hệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có " ắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có "

H ƯỚNG DẪN NG D N ẪN

a/ G i K là giao đi m c a AC và EF ọc-tam giác ể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có  EAC cân t i E ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà  EAK = ECK = 200 M t khác FAC =

T (1) và (2) ta suy ra  FAE cân t i F ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà  AF = EF

b/ Cách 1 :

( g.c.g)  BE = AP = AC

TÍNH ĐỘ LỚN ỚNG DẪN L N C A GÓC ỦA GÓC 1/ Cho  ABC D ng đo n th ng BD sao cho ABD = 60ựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác 0 , BD = BA và tia BA n m gi a hai tia BC , ằng nhiều

BD D ng đo n th ng BE sao cho CBE = 60ựng theo một hệ thống ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác 0 , BE = BC và tia BC n m gi a hai tia BA , BE G i M làằng nhiều ọc-tam giáctrung đi m c a DE , P là giao đi m c a hai đ ng trung tr c c a các đo n th ng BA và BD Tính các góc ể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có ể giải ủ cái ta có, cái ta chưa có ư ựng theo một hệ thống ủ cái ta có, cái ta chưa có ại , sắp xếp hệ thống theo “Hình nền “ mà ẳng thức trong tam giác

c a ủ cái ta có, cái ta chưa có  CMP

H ƯỚNG DẪN NG D N ẪN

T gi thi t ta suy ra các ả  ABD và  BCE đ u n m phía ngoài ề cương hình học-tam giác ằng nhiều  ABC trên tia đ i c a tia MP l y ống ủ cái ta có, cái ta chưa có ất đẳng thức trong tam giác

CA

E

N

MP