Tài iệu ôn tập TN 12

Hãy viết phơng trình các đờng thẳng đi qua điểm M1x1;fx1 và tiếp xúc với C.3.. Hãy viết phơng trình các đờng thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với C.. Hệ phơng trình này cho phép xác định

phần thứ nhất: giải tích

chủ đề: đạo hàm

i kiến thức cơ bản

1, Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈(a;b) Đạo hàm của

hàm số y=f(x) tại điểm x0 là:

' ( 1)

ii các dạng bài tập th ờng gặp

Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

3

y x

x x y

tgx

=

1 cos 1

x y

a,

2 3

Bài 3 Cho hàm số y= 2x2 + 16cosx− 2 cos 2x

a, Tính y', y'' Từ đó suy ra y'(0), y''(0)

b, Giải phơng trình y''=0

( Đề TN THPT 1994- 1995)

Bài 4 Cho hàm số 1 2

cos 2

Bài 5 Cho hàm số f x( ) 2cos (4 = 2x x− 1) Tìm tập giá trị của f'(x)

Bài 6 Cho hai hàm số: f x( ) = −x3 2x2 +x, ( ) 4 2 3 2 2

du tgu C

f x dx G t

β α

=

ii, Dạng 2- Qui tắc:

1 Đặt t=v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục

2 Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx=g(t)dt

3 Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)

4 Tính

( ) ( )

( )

b

a

S=∫ f x dx

ii, Cho hai hàm số y1 = f x y1 ( ), 2 = f x2 ( ) liên tục trên đoạn [a;b].

Xét phơng trình f x1 ( ) − f x2 ( ) 0 = , giả sử có nghiệm α β ∈ , [ ]a b; , trong đó a≤ < ≤ α β b Thì

diện tích của hình phẳng nằm giữa y1 = f x y1 ( ), 2 = f x2 ( ) là:

ii các dạng bài tập th ờng gặp

Bài 1 Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

dx x

2

x− dx

3 2 4

x x

dx x

+ + +

2 1

x dx x

+

1 2 1

x

x e dx−

3 0

sin cos

x dx x

y= x− x .

Bài 9 Tính thể tích trong các trờng hợp sau:

a, y= x, x=4 quay xung quanh trục Ox

b, y x y= 2 , = 2 quay xung quanh trục Ox

c, y x= 2, y=3x quay xung quanh trục Ox

d, y 4,y x 5

x

Bai 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=ex, y=2 và x=1.( TN năm 2006)

chủ đề: ứng dụng của đạo hàm

i kiến thức cơ bản

1, Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), ta có:

- Nếu f'(x)>0, ∀ ∈x ( )a b; thì hàm số y=f(x) đồng biến trên hoảng (a;b)

- Nếu f'(x)<0, ∀ ∈x ( )a b; thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên hoảng (a;b).

- Tìm dấu của f''(xi), từ đó suy ra xi là điểm cực trị của hàm số

3, Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a, Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn (a;b)

Nếu trên khoảng đó có duy nhất một cực trị thì:

- Cực trị đó là cực đại thì giá trị cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số trên (a;b)

- Cực trị đó là cực tiểu thì giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (a;b)

b, Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:

Xét hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

Tìm maxf(x) và minf(x) trên đoạn [a;b]

- Bớc 1: Tìm các điểm tới hạn x x1 , 2, ,x n của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

- Bớc 2: Tính f a f x( ), ( ), ( ), , ( ) 1 f x2 f b

- Bớc 3: Trong các số trên, tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m:

M=max ( )[ ]a b; f x và m=min ( )[ ]a b; f x

4, Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b), ta có:

a, f''(x)>0, ∀ ∈x ( )a b; ⇒ đồ thị hàm số lõm trên khoảng (a;b)

b, f''(x)<0, ∀ ∈x ( )a b; ⇒ đồ thị hàm số lồi trên khoảng (a;b)

c, f''(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì M(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số

5, Tiệm cận:

a, Tiệm cận đứng: lim ( )0 0

b, Tiệm cân ngang: lim ( ) 0 0

c, Tiệm cận xiên: lim[ ( ) ( )] 0

2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y' Tìm các điểm tới hạn

Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn

+ Tìm các giới hạn của hàm số: x dần tới vô cực

x dần tới các giá trị của x tại đó hàm số không xác định

+

7, Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số:

a, Bài toán 1 Tìm giao điểm của hai đờng

Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C') Hãy tìm các giao điểm của (C) và (C')

Cách giải: M x y0( 0 ; 0) là giao điểm của (C) và (C') khi và chỉ khi (x y0 ; 0) là nghiệm của hệ phơng trình:

( ) ( )

là các giao điểm của (C) và (C')

b, Bài toán 2 Viết phơng trình của tiếp tuyến

Cho hàm số y=f(x)

1 Gọi (C) là đồ thị của nó, hãy viết phơng trình của tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x;f(x ))

2 Hãy viết phơng trình các đờng thẳng đi qua điểm M1(x1;f(x1)) và tiếp xúc với (C).

3 Hãy viết phơng trình các đờng thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C)

Hệ phơng trình này cho phép xác định hoành độ x0 của tiếp điểm và hệ số góc k=f'(x0) của tiếp tuyến

3 Với k đã cho giải phơng trình: f'(x)=k

ta tìm đợc hoành độ các tiếp điểm x0, x1, Từ đó suy phơng trình tiếp phải tìm:

y-yi=k(x- xi) (i=0,1, )

ii các dạng bài tập th ờng gặp

Bài 1 Xác định tham số m để hàm số y x= − 3 3mx2 + (m2 − 1)x+ 2 đạt cực đại tại điểm x=2.( TN 2004- 2005)

Bài 7 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: f x( ) = −x3 3x2 − 4 trên đoạn [-1;3]

Bài 8 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: f x( ) 3 = x3 − −x2 7x+ 1 trên đoạn [0;2]

Bài 12 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: f x( ) = 2 cos 2x+ 4sinx trên đoạn 0;

2 Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua gốc tọa độ

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của (C) và đờng thẳng y=1

4 Giải bất phơng trình f(x-a)<21 với a là hoành độ điểm uốn của (C)

2 3

y x=  + x x− 

1 Khảo sát hàm số

2 Tiếp tuyến của (C) tại gốc tọa độ cắt lại (C) ở điểm M Tính tọa độ điểm M

3 Biện luận theo k vị trí tơng đối của (C) và đờng thẳng d có phơng trình y=kx

Bài 16 ( TN 2005- 2006)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y x= − 3 6x2 + 9x

2 Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C)

3 Với giá trị nào của tham số m, đờng thẳng y=x+m2-m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

3 Tìm giá trị của m để đồ thị (C m) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

1 4

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.

A −  B − C

2 Khảo sát hàm số với a, b, d vừa tìm đợc

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng (H), trục hoành và x=-3, x=1.Bài 22 Cho hàm số 14 ( )m

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=4

2 Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm (-1;0) có hệ số góc k Biện luận theo

k số giao điểm của (C) và d

3 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và các đờng thẳng x=2, x=4 khi quay xung quanh trục Ox

Bài 23 Cho hàm số y mx 1

x m

+

= +

1 Tìm m biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 1

2

y=

2 Khảo sát hàm số ứng với m=2, đồ thị gọi là (C)

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đờng thẳng x=1 và x=3

+

=

1 Khảo sát hàm số

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C)

3 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm

3 Tìm trên (C) những điểm có tọa độ đều là các số nguyên.

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1

2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(-1;0)

3 Chứng minh với m bất kỳ đồ thị hàm số (C m) luôn luôn có điểm cực trị

4 Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n.

5 Số hạng thứ (k+1) có dạng: k n k. k ( 0,1, , )

n

C a − b k = n

6 Các hệ số nhị thức cách đều 2 số hạng đầu và cuối thì bằng nhau

c, Tam giác Pascal:

ii các dạng bài tập th ờng gặp

Bài 1 Dùng 5 chữ số 2, 4, 6, 8, 9 để viết các số tự nhiên Hỏi:

1 Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau ?

2 Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau ?

Bài 2 Dùng 5 chữ số 2, 3, 4, 6, 8 để viết các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau Hỏi có bao nhiêu số:

1 Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng đợc nối từ 7 điểm ấy ?

2 Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh trùng với các điểm đã cho ?

Bài 4 Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 3 nữ Giáo viên muốn chọn 5 em trong nhóm để làm công tác xã hội Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

Bài 6 Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th cũng khác nhau Ngời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem

th, 3 bì th và dán 3 tem th ấy lên 3 bì th đã chọn, mỗi bì th chỉ dán một tem th Hỏi có bao nhiêu cách làm nh vậy ?

60

k n

+

≤

phần thứ hai: hình học chủ đề: phơng pháp tọa độ trong mặt phẳnga- đ ờng thẳng

Ax By C d

ii các dạng bài tập th ờng gặp

Bài 1 Cho đờng thẳng d: 2x-3y+3=0 và điểm M(-5;13)

1 Viết phơng trình đờng thẳng qua M và song song với d

2 Viết phơng trình đờng thẳng qua M và vuông góc với d

3 Xác định tọa độ của điểm M' đối xứng với M qua d

Bài 2 Cho ba điểm A(1;-1), B(-2;1), C(3;5)

1 Viết phơng trình các đờng thẳng AB, BC, CA

2 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

3 Tính các góc của tam giác ABC

4 Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

Bài 3 Cho đờng thẳng d có phơng trình: 3x+4y-2=0

1 Xác định tọa độ các giao điểm A, B của d lần lợt với Ox, Oy

2 Tính tọa độ hình chiếu H của gốc O trên d

3 Viết phơng trình đờng thẳng d' đối xứng với d qua O

Bài 4 Cho tam giác ABC, biết phơng trình các đờng thẳng:

BC: x-3y-6=0, CA: x+y-6=0, AB: 3x+y-8=0

1 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

2 Viết phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao BH, đờng thẳng chứa đờng trung tuyến CM.Bài 5 Cho tam giác ABC với trực tâm H, biết phơng trình đờng thẳng AB là 2x+y-5=0, BH: 3x+4y-1=0, AH: x+2y+1=0

1 Xác định tọa độ trực tâm H, viết phơng trình CH

2 Viết phơng trình đờng thẳng BC

3 Tính diện tích tam giác giới hạn bởi các đờng AB, BC và trục Oy

Bài 6 Cho hai đờng thẳng d và d' lần lợt có phơng trình:

A +B − >C Khi đó đờng tròn có tâm I(-A;-B)và có bán kính R= A2 +B2 −C

3) Phơng tích: Nếu đờng tròn có phơng trình x2 +y2 + 2Ax+ 2By C+ = 0 thì phơng tích của

điểm M x y0 ( ; ) 0 0 đối với đờng tròn có giá trị là 2 2

x +y + Ax + By +C.4) Trục đẳng phơng: Cho hai đờng tròn 2 2

ii các dạng bài tập th ờng gặp

Bài 1 Viết phơng trình đờng tròn trong mỗi trờng hợp sau:

1 Đi qua hai điểm A(3;1) và B(5;5), có tâm nằm trên trục hoành

2 Có tâm I(4;3) và tiếp xúc với đờng thẳng x-3y+5=0

3 Đi qua ba điểm A(1;2), B(-2;4) và C(4;5)

4 Đờng tròn có đờng kính MN với M(2;4) và N(3;-7)

Bài 2 Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn (T) có phơng trình: x2 +y2 − 4x− 2y− = 4 0

1 Tìm tọa độ tâm và bán kính của đờng tròn

2 Với giá trị nào của b thì đờng thẳng y=x+b có điểm chung với đờng tròn và tìm tọa độ các giao điểm đó

3 Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn song song với đờng phân giác của góc x'Oy.Bài 3 Cho đờng tròn (C): (x− 2) 2 + − (y 1) 2 = 25

1 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(6;-2)

2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng 5x-12y+10=0

3 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-3;2)

4 Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (C) với đơng tròn x2 + − (y 5) 2 = 1

Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1;2), B(5;3), C(-1;0)

1 Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đờng tròn đó

2 Viết phơng trình đờng tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với trục Oy

3 Viết phơng trình đờng tròn đi qua hai điểm A, C và có tâm nằm trên trục Ox

4 Viết phơng trình đờng tròn đi qua điểm A và tiếp xúc hai trục tọa độ Ox, Oy

- Hai tiêu điểm là F1 ( ;0), ( ;0) −c F c2 , trong đó c2 =a2 +b2

a +b = (a>b>0) ( hoặc hypebol: x22 y22 1

a −b = ) có hai đờng chuẩn ∆ ∆ 1 , 2

5 Ph ơng tiếp tuyến của đ ờng conic :

- Tiếp tuyến tại điểm M x y( ; ) 0 0 thuộc elíp x22 y22 1

- Tiếp tuyến tại điểm M x y( ; ) 0 0 thuộc parabol y2 = 2px có phơng trình y y0 = p x( 0 +x).

- Cho đờng thẳng ∆ có phơng trình Ax+By+C=0 Khi đó:

+ Đờng thẳng ∆ là tiếp tuyến của elíp x22 y22 1

+ Đờng thẳng ∆ là tiếp tuyến của parabol y2 = 2px khi và chỉ khi pB2 = 2AC

ii các dạng bài tập th ờng gặp

Bài 1 Xác định tọa độ tiêu điểm, tính độ dài các trục và tìm tâm sai của elip trong mỗi ờng hợp sau:

tr-a) 4x2 + 9y2 = 36 b) 9x2 + 4y2 = 36 c) 4x2 +y2 = 1 d) 4x2 + 4y2 = 16

Bài 2 Lập phơng trình chính tắc của elíp trong mỗi trờng hợp sau:

a) Trục lớn trên Ox, trục nhỏ trên Oy, độ dài các trục là 8 và 6

b) Trục lớn trên Oy có độ dài 10 và tiêu cự là 6

c) Độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai 12

13

e= và hai tiêu điểm ở trên Ox

d) Tiêu điểm F1 (0; 4) − và đi qua điểm M( 1; 15) −

Bài 3 Cho hypebol(H) có phơng trình 2 2 1

x − y = a) Tìm tiêu cự, tâm sai và xác định các tiêu điểm, các đỉnh

b) Viết phơng trình các đờng tiệm cận của (H)

Bài 4 Lập phơng trình chính tắc của hypebol có các tiêu điểm trên Ox và:

a) Độ dài trục thực và trục ảo lần lợt là 10 và 8

b) Độ dài trục thực là 8, tâm sai 5

4

e= c) Độ dài tiêu cự là 20 và một đờng tiệm cận có phơng trình là 4x+3y=0

Bài 5 Tìm tọa độ tiêu điểm và phơng trình đờng chuẩn của các parabol có phơng trình:a) y2 = 8x b) y x= 2 c) y2 + 6x= 0 d) 3x2 + 12y= 0

Bài 6 Lập phơng trình chính tắc của parabol biết:

a) Tiêu điểm F(2;0)

b) Đờng chuẩn có phơng trình x=3

c) Trục của para bol là trục Ox và khoảng cách từ tiêu điểm đến đờng chuẩn là 1

Bài 7 (KT HKI 2007- 2008)

Trong mặt phẳng Oxy cho elip(E): 5x2 + 9y2 − 45 0 =

a) Tìm tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của (E)

b) Cho điểm M∈(E) biết F M1 = 4 Tìm tọa độ điểm M.

c) Chứng minh rằng với mọi N∈(E) ta có: 2

Bài 9 (TN 2006- 2007, lần 2)

Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol(H) có phơng trình 2 2 1

x − y = Xác định tọa độ các tiêu điểm, tính tâm sai và viết phơng trình các đờng tiệm cận của hypebol(H)

b) Điểm M thuộc nhánh trái của (H) có tung độ bằng 9

2 Viết phơng trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M

Bài 11 (TN 2005- 2006)

Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol (H) có phơng trình 2 2 1

x − y = a) Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và viết phơng trình các đờng tiệm cận của (H).b) Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H) biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;1)

Bài 12 (TN 2004- 2005)

Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y2 = 8x

a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phơng trình đờng chuẩn của (P)

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4

c) Giả sử đờng thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tơng ứng là x x1 , 2 Chứng minh: AB x= + + 1 x2 4.

Bài 13 (TN 2003- 2004)

Trong mặt phẳng Oxy, cho elíp(E) có phơng trình 2 2 1

25 16

x y

+ = có hai tiêu điểm F F1 , 2.a) Cho điểm M(3;m) thuộc (E), hãy viết phơng trình tiếp tuyến của (E) tại M khi m>0.b) Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 +BF2 Hãy tính AF2+BF1.

Bài 14 (TN 2002- 2003)

Cho một elíp (E) có khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu

điểm của M nằm trên elip (E) là 9 và 15

a) Viết phơng trình chính tắc của elíp (E)

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M

chủ đề: phơng pháp tọa độ trong không gian

i kiến thức cơ bản

1 Cho hai vect¬ vr= ( ; ; ), ' ( '; '; ')x y z vur= x y z th× :

8 V ABCD A B C D ' ' ' ' =  AB AD AA,   '

uuur uuur uuur

9 Nếu a br r, là một cặp vectơ chỉ phơng của mặt phẳng ( )α thì vectơ nr=   a br r,  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α .

10.a) Phơng trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

Ax+By+Cz+D=0 (A2 +B2 +C2 ≠ 0)

Trong đó nr=(A B C; ; ) là một vectơ pháp tuyến của nó.

b) Phơng trình của mặt phẳng đi qua điểm M x y z0 ( ; ; ) 0 0 0 và có vectơ pháp tuyến

14.a) Cho điểm M x y z0 ( ; ; ) 0 0 0 và mặt phẳng ( ) α : Ax+By+Cz+D=0.

x +y + +z Ax+ By+ Cz D+ = A +B +C − >D ; trong đó tâm I(-A;-B;-C), bán kính R A2 +B2 +C2 −D.

- Nếu d=R: (P) tiếp xúc với (S), (P) đợc gọi là tiếp diện của (S)

- Nếu d<R: (P) cắt (S) theo một một đờng tròn (C) Phơng trình của đờng tròn (C) là: