bai tap chuong 2 (p2)

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN tt1.

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (tt)

1 Tính các đạo hàm riêng của các hàm sau:

a) f x y( , )=x y arctg x y3 + ( + )

b) ( , )= sin

x y

f x y e

c) f x y( , )=x y

d) f x y( , ) ln(= x2 + y2)

e)

2 2 ,( , ) (0,0) ( , )

0 ,( , ) (0,0)

 +

= 



xy

x y

x y

f x y

x y

f) ( , , )= 2 12 2

f x y z

x y z

g) ( , , )=  ÷  

z

y

f x y z

x

2 Tìm ( , )f x y hàm, nếu biêt rằng: ∂ ( , )= 2 − , ∂ ( , )= 2 −

x y x y x y y x

3 Tìm f x x'( ,1) nếu ( , )f x y = +x (y −1)arcsin x

y

4 Tính vi phân của các hàm sau:

a) f x y( , )=e xy

b) f x y( , ) ln(= y + x2 + y2)

c) f x y( , ) ln(cos )= x

y

d) f x y( , ) ( )= xy z

5 Cho ( , )f x y = xy Tính f x'(0,0), (0,0)f y' Hàm ( , )f x y có khả vi tại điểm(0,0) ?

tại điểm (1,1) ?

6 Khảo sát tính khả vi của hàm

2 2

1 , ( , ) (0,0) ( , )

0 , ( , ) (0,0)

− +

= 



x y

e x y

f x y

x y

tại điểm (0,0)

7 Chứng minh rằng hàm ( , )f x y = xy liên tục tại (0,0), có cả 2 đạo hàm riêng

'(0,0), (0,0)'

f f nhưng không khả vi tại (0,0).

8 Chứng minh rằng

2 2

2 2

1 ( +y )sin , ( , ) (0,0)

+y ( , )

0 , ( , ) (0,0)



= 



x

f x y

x y

có các đạo hàm riêng f x y f x y trong lân cận điểm (0,0) và các đạo hàm x'( , ), ( , )y'

riêng này gián đoạn tại điểm (0,0), tuy nhiên ( , )f x y vẫn khả vi tại (0,0)

9 Tính gần đúng các giá tri sau nhờ vi phân cấp 1

a) (4,05)2 +(3,07)2

b) (2,01)3,03 biết ln2=0,69

c) sin 28 cos61o o biết cos 0,87; 0,017

6 = 180 =

10 Đạo hàm và vi phân cấp cao

a) f x y( , )= x y →d f2 =?

b) f x y z( , , )= xy+ yz xz+ →d f2 =?

c) f x y( , )= x2 + xy+ y2 −4lnx−2ln y→d f2 (1,1) ?=

d)

3 2 ( , )= ln → ∂

∂ ∂

f

f x y x xy

x y

e)

6

3 3 ( , )= sin + sin → ∂ (0,0)

∂ ∂

f

f x y x y y x

x y

f)

2 2

2

2 , ( , ) (0,0) +y

0 , ( , ) (0,0)





xy

x

f x y

x y x

x y

11 Đạo hàm và vi phân của hàm hợp

a) ( , )= v, =ln , =sin → df =?

f u v u u x v x

dx

b) ( , ,w)= vw, = x, =ln ,w = 2 − →1 df (1) ?=

f u v u e v x x

3

∂

∂

f x y e y y x x

dx x

d) ( , )= 2ln , = , = 2 + 2 → ∂ =? ∂ =?

f u v u v u v x y

e) f u v( , )=u v v u u x2 − 2 , = sin ,y v y= sinx→df =?

12 Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn

a)

2

2

−

x y e

dx dx

b)

2 2

x y arctgy

dx dx

c) x2 + 2xy + y2 −4x+ 2y − =2 0, (1) 1y = → y'(1) ? "(1) ?= y =

d) ln( + −) = →0 ∂ =? ∂ =?

z x z

e) − + 3 + 3 = →0 =?

z y

xz e x y dz

f) x y z e+ + = →z d z2 =?