Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O.. Tia AM cắt đường thẳng CD tại N.. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.. a Chứng minh rằng: OEM vuông cân.. Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng
Trang 1PHÒNG GD& ĐT TÂN KỲ
TRƯỜNG THCS HƯƠNG SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (lần 2) Năm học: 2019-2020
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức: P = 1 . 2 3 10
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P với x = 3 3
7 50 7 50
Bài 2 (3 điểm).
a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một
số nguyên tố
b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 với n là số nguyên
Bài 3 (3 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy - 2x2 – 3x + 4 = 0
b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 2019
Tìm GTNN của:
M
b c c a a b
Bài 4 (4 điểm) Giải các phương trình sau:
b) 2x 1 x 2 3 x
2
Bài 5 (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là một điểm bất kỳ trên cạnh
BC ( M khác B và C) Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm
E sao cho BE = CM
a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân
b) Chứng minh: ME // BN
c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TOÁN 9 LẦN 2
Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức: P = 1 2 3 10
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P với x = 3 3
7 50 7 50
a
(2 điểm)
P =
1
P =
2
2
.
x
b
(2 điểm)
Ta có x3 = 3 3 3
x3 + 3x – 14 = 0 (x – 2)(x2 + 2x + 7) = 0 x = 2 0,5 Với x = 2 thì P =
2 2 4 2 5
7
2 2 3
Bài 2 (3 điểm).
a) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – 2 có giá trị là một số nguyên tố
b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 với n là số nguyên
a
(1,5 điểm)
Ta có: P = n3 – 6n2 + 9n – 2 = (n – 2)(n2 – 4n + 1) 0,25
Để P là số nguyên tố thì n – 2 = 1 hoặc n2 – 4n + 1 = 1 0,25 +) n – 2 = 1 n = 3
+) n2 – 4n + 1 = 1 n = 0 hoặc n = 4
0,5
b
(1,5 điểm)
Ta có: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 0,5
Do n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là tích của 5 số nguyên liên tiếp
A 3 (1)
0,25
Trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có hai số chẵn liên tiếp
A 8 (2)
0,25
Bài 3 (3 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy - 2x2 – 3x + 4 = 0
b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 2019
Tìm GTNN của:
M
b c c a a b
a
(1,5 điểm)
Ta có: x2y + xy - 2x2 – 3x + 4 = 0 xy(x + 1) – 2x(x + 1) – (x + 1) = -5
0,25
Trang 3x + 1 1 -1 5 -5
Vậy PT có nghiệm (x, y) = (-2; -1), (-6; 1) 0,5
b
(1,5 điểm)
Vì a, b, c dương nên theo bđt Cosi ta có:2 2
a
Tương tự
;
0,5
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có
2
a b c
M a b c
a b c
M
3
a b c
0,5
Bài 4 (4 điểm) Giải các phương trình sau:
x x x x b) 2x 1 x 2 3 x
2
a
(2 điểm)
Ta có: x2 – 12x + 40 = (x – 6)2 + 4 4 Dấu “=” xẩy ra khi x = 6 (1)
0,5
Theo Bunhiacopxki ta có:
Dấu “=” xẩy ra khi x = 6 (2)
0,5
b
(2 điểm)
ĐKXĐ: x 1
Bài 5 (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là một điểm bất kỳ trên cạnh
BC ( M khác B và C) Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM
a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân
b) Chứng minh: ME // BN
c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng a
(2,5 điểm)
0,5 Xét OMC = OEB (c-g-c)
OM = OE (1) và EOB MOC
1
Trang 4Từ (1) và (2) OEM vuông cân 0,5 b
(2 điểm)
Ta có: OMC OEB (g-g)
CM MN
BM MA
(3)
0,5
Từ (3), (4) BE MN
AE MA
c
(1,5 điểm)
Gọi H’ là giao điểm của OM với BN
OME MH ' B 45
0,25 MCO MHB (g g)
MO MC
MB MH '
OMB CMH ' (c g c)
MH ' C MBO 45
CH ' B 90