BÀI TẬP TỰ LUẬN PHẦN VECTƠ

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC , BD.. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác ACD... 0 Chứng minh hai tam giác ABC và IJK

BÀI TẬP TỰ LUẬN PHẦN VECTƠ

Bài 1: Cho 5 điểm A, B, C , D, E Chứng minh rằng:

a) AB CD EA CB ED    b) CD EA CA ED  

Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C , D Rút gọn: AB BC CD  ; BA CB CD  AD

Bài 3: Cho 6 điểm A, B, C , D, E, F Chúng minh:

a) AB DC ACDB b) AD BE CF  AEBF CD

Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC , BD Chứng minh

rằng:

a) AB CD 2IJ b) ABAD CB CD  4IJ

Bài 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AD, BC

MN  ABDC  ACDB

b) Gọi I là trung điểm của MN Chứng minh rằng: IA IB IC  ID 0

Bài 6: Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC và I là trung điểm của AM

a) Chứng minh rằng: 2IA IB IC   0

b) Với O là điểm bất kì Chứng minh rằng: 2 OA OB OC  4OI

Bài 7: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G , H lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD , DA và M là

điểm tùy ý Chứng minh rằng:

a) AFBG CH DE 0

b) MA MB MC MD   ME MF MG MH

c) ABACAD4AI với I trung điểm của FH

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD Gọi M là trung điểm của CD Lấy N trên đoạn BM sao cho

2

BN MN Chứng minh rằng:

a) 3AB4CDCMND MN b) AC2AB BD

AN  AB BD

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác ACD Chứng

minh rằng:

2

MG  AB AD

Bài 10: Cho tam giác ABC có D, M lần lượt là trung điểm của BC và AB , điểm N thuộc cạnh AC sao

cho NC2NA và K là trung điểm của MN Chứng minh rằng:

KD AB AC

Bài 11: Cho tam giác ABC Trên hai cạnh AB, AC lần lượt hai điểm D và E sao cho AD2DB,

3

CE EA Gọi M là trung điểm của DE và I là trung điểm của BC Chứng minh rằng:

MI  AB AC

Bài 12: Cho tam giác ABC với I , J , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC , CA Gọi D là

điểm thuộc đoạn BC sao cho 2

3

BD BC và M là trung điểm của AD

a) Chứng minh: AK CJ BI  0 b) Chứng minh: 6BM 2AC5AB

Bài 13: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng của C qua

G Chứng minh rằng:

3

HB ABAC

IH  AB AC

Bài 14: Cho hình thang OABC Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OB , OC Chứng minh:

2

2

BN  OCOB

2

MN  OCOB

Bài 15: Cho tam giác ABC có G , H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC Gọi D là điểm đối xứng của A qua O và M là trung điểm của cạnh BC Chứng minh

rằng:

a) HB HC HD b) HA HB HC  2HO

c) HA HB HC  2OA d) OA OB OC  OH

Bài 16: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA Gọi G là trọng tâm

tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) AC2AMBN b) AMBN CP  0

c) AMBNAP BM MC

Bài 17: Cho tam giác ABC Dựng bên ngoài tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng

minh rằng: RFIQPS 0

Bài 18: Cho tứ giác ABCD Dựng bên ngoài tứ giác các hình ABEF, BCGH , CDIJ , DAKL Chứng minh

rằng:

a) KFEHGJ IL 0 b) EL HI FK GJ

Bài 19: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy các điểm G và H sao cho DGGHHB

Gọi M , N là giao điểm của AH, BC và AG , DC Chứng minh:

a) ABADAGAH b) 2AM2AN3AC

Bài 20: Chứng minh rằng các tam giác ABC , A B C   có cùng trọng tâm khi và chỉ khi đẳng thức sau được

thỏa: AABBCC 0

Bài 21: Cho tam giác ABC Gọi A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B qua C ,

C là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A B C   có cùng trọng tâm

Bài 22: Cho tam giác ABC và I, J , K xác định bởi: 2IB3IC , 20 JC3JA và 20 KA3KB 0

Chứng minh hai tam giác ABC và IJK có cùng trọng tâm

Bài 23: Cho tứ giác ABCD Các điểm M, N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD , DA

Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Bài 24: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P là những điểm được xác định bởi: MB3MC, NC3NA,

3

PA PB Chứng minh rằng:

a) 2OM 3OC OB ,  bất kỳ O b) ABC và MNP có cùng trọng tâm

Bài 25: Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M bất kì nằm trong tam giác Đường thẳng qua M song

song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E Dựng MK vuông góc với BC tại K và gọi I là

trung điểm của BC Chứng minh: 2MKMDME2MI

Bài 26: Cho tam giác ABC đều tâm O và điểm M bất kỳ nằm trong tam giác Gọi D, E, F là hình chiếu

của M trên BC , AC , AB Chứng minh: 3

2

MDMEMF  MO

Bài 27: Cho đoạn thẳng AB Trên đoạn AB lấy điểm C sao cho CA m

CB  n và S là điểm bất kỳ Chứng

minh rằng: SC n SA n SB

2 5

AC AE

Bài 28: Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) 2IB3IC0 b) 2JA JC JB CA  

c) KA KB KC  2BC d) 3LA LB 2LC0

Bài 29: Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) 2IA3IB3BC b) JA JB 2JC0

c) KA KB KC  BC d) LA2LCAB2AC

Bài 30: Cho ABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IA IB IC  BC b) FA FB FC  AB AC

c) 3KA KB KC  0 d) 3LA2LB LC 0

Bài 31: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:

a) IA IB IC  4ID b) FA2 2FB3FC FD

c) KA4 3KB2KC KD  0

Bài 32: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD2AB,

2 5

AC AE

a/ Tính AG DE DG, , theo AB, AC

b/ Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng

Bài 33: Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho BDDEEC

a) Chứng minh ABACADAE

b) Tính AS AB AD AC AE theo AI    Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng

Bài 34: Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BC 2AB,

CNxAC BC

a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng

b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC Tính IM

IN

Bài 35: Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0  

a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC   0

b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MPaMA bMB cMC  Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng

Bài 36 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN2MA3MB MC

Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 37 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN2MA MB MC  Gọi P là trung điểm của

BN Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định

Bài 38 Cho tam giác ABC , Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC chứng minh rằng

AB ICAC IB BC IA 

Bài 39 Cho tam giác ABC tìm tập hợp các điểm M thỏa :

a/3MA2MBMC  MBMA b/ MA2MBMC  MB3MA

c) 2MA MB  4MB MC d) 4MA MB MC   2MA MB MC 

Bài 40 Cho tam giác ABC tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho3MA2MBMC đạt GTNN