Bài tập tự luận và trắc nghiệm tích phân

BÀI TẬP TỰ LUẬN LOẠI 1... DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ... Có nguyên hàm trong bảng Phương pháp: Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm có 2 trong 4 nhóm hàm trên nhân với nhau.. Cách giả

1. Khái niệm tích phân 

   Cho F x  là một nguyên hàm của   f x  và   f x  liên tục trên đoạn    a b  thì ; 

b

b a a

f x x F x F b F a  

   Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: 

     ( )d  ( )dt ( )d   ( ) ( )

b b b a a a f x x f t f u u F b F a   2. Tính chất của tích phân    Giả sử các hàm  ,f g liên tục trên K  và  , , a b c  là 3 số bất kì thuộc K  Ta có:      ( )d 0 a a f x x     ( )d   ( )d b a a b f x x f x x    ( )d   ( )d ,  b b a a kf x x k f x x k        ( ) ( )d  ( )d  ( )d b b b a a a f x g x x f x x g x x     ( )d  ( )d  ( )d b c b a a c f x x f x x f x x     Chú ý:  ( ) ( )d  ( ) d  ( )d b b b a a a f x g x x f x x g x x ,      d d d ( ) ( ) ( ) ( ) b b a b a a f x x f x x g x g x x   A BÀI TẬP TỰ LUẬN  LOẠI 1. DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM, ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT       ( )d ( ) ( ) ( ) b b a a f x x F x F b F a   Bài 1: Tính các tích phân sau:  a)     d 2 3 1 (x 2x 1) x. b)   d 1 2 0 (x x)(2x 1) x.  c).   d 2 3 2 1 x x x x   d)      d 1 2 0 1 2 3 1 x x x x       

Bài 2: Tính các tích phân sau: 

a)   d

2

2

0

x x x.  b).      d

2

2

0

max x 3x 1,x 1 x 

c) 





0

2

2

0

min 2x x 1,x 1 x  

LOẠI 2. DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 

.  Dạng 1:  Giả sử ta cần tính         d

b

a

I f u x u x x     Đặt  t u x   dt u x x  d   Đổi cận:  x a  t u a x b ;   t u b  

  Ta có:   

 

 

    

u b

u b

u a

u a

I f t x F t  

MỘT SỐ DẠNG HAY GẶP

 f(sin ) cosx x x d Đặt t sinx

 f(cos ) sinx x x d Đặt t cosx

 f(ln )x 1dx

x

Đặt t lnx

 

f x chỉ chứa 1 lượng căn n ax b  Đặt tn ax b 

 (tan ) 12 d

cos

x

Đặt t tanx

 (cot ) 12 d

sin

x

Đặt t cotx

 f e e x ( )x xd Đặt te x

.  Dạng 2:  Giả sử ta cần tính    



 d 0

I f x x  

Bài 3: Tính các tích phân sau: 

a) 



1 3d2 3

0(1 )

x x

x .  b).   d

1

2

0

x x x  c).   d

1

0

1

x x x  d)  

1

1 3 ln ln

e

x x x





0

1 sin x cosx x  f) 



ln 2

0 1

x

x

e x

e   g)  d

1 2

2

0 1

x x



3 2d

x

x  

f(x) có chứa Cách đổi biến



2 2

sin ,

x a t t



2 2

tan ,

x a t t



2 2

x a       

a

t

LOẠI 3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN     d  d b b b a a a u v u v v u   Dạng : ( ) ( )d b a P x Q x x  Nhưng chưa tìm được nguyên hàm   Để làm dạng này ta tạm định nghĩa các nhóm hàm như sau:  Nhóm hàm lôgarit lnn ( ),logn ( ) a f x f x (Chưa có nguyên hàm trong bảng)  Nhóm hàm đa thức:     2  0 1 2 ( ) n n f x a a x a x a x  .(Có nguyên hàm yếu)  Nhóm hàm lượng giác: sin(ax b ),cos(ax b  .(Có nguyên hàm trong bảng)  ) Nhóm hàm mũ:     , mx n mx n e a .  (Có nguyên hàm trong bảng)  Phương pháp:    Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm có 2 trong 4 nhóm hàm trên nhân với nhau.    Cách giải: Ưu tiên nhóm hàm chưa có  nguyên hàm đặt là u, còn lại là dv. Từ đó ta có  cách đặt u của các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp tuân theo câu thần chú sau:  Nhất lô – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ.  Bài 4: Tính các tích phân  a)    2 d 0 (x 3) sinx x.  b)    d 1 0 (x 3)e x x.  c)  d 1 ( 2) ln e x x x.  d)    d 1 2 0 (e x x e x  ) x     

B PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 

Loại 1. Định nghĩa và tính chất của tích phân  

7

2

(7) 9, ( ) 2

F f x x  thì giá trị  (2)F  bằng? 

Câu 2 Nếu f(1)2, (6) 21f  ,  ( )f x  liên tục thì giá trị  d

6

1

( )

f x x bằng ? 

f x x f x x thì giá trị   d

5

2

( )

f x x bằng ? 

6

0

( ) 20

f x x  thì giá trị  d

3

0

(2 )

f x x bằng ? 

f x x g x x  thì giá trị    d

3

1

3 ( ) 2 ( )f x g x x bằng ? 

Câu 6 Cho  ( )f x  là hàm số liên tục trên  a b  Đẳng thức nào sau đây SAI? ; 

A.   d    d

f x x f x x   B.  d    ;  

b

a

k x k b a k  

C.   d   d   d ;   ; 

f x x f x x f x x c a b   D.   d   d

f x x f x x  

f x x f x x g x x . Khẳng định nào sau đây là SAI? 

A.   d   d

f x x g x x.  B.      d 

4

0

1

f x g x x  

C.      d 

4

0

9

f x g x x .  D.  d   d

f x x g x x  

A. Nếu  f x( ) 0,   x a b;  thì  ( )d 0

b

a

f x x  

B. Nếu  f   x f x ,  x  a a;  thì   





a

a

f x x  

C.      d   d g d

f x g x x f x x x x, với mọi hàm số f x   , g x  liên tục trên a b; . 

D. Nếu  f x x d F x C C,  thì    d         

2

1

1

x

x

f ax b x F ax b F ax b a

Câu 9 Nếu hàm số y f x  xác định, liên tục và không đổi dấu trên    a b  thì đẳng thức nào ;  sau đây là đúng? 

A.   d   d

f x x f x x.  B.   d    d

f x x f x x  

C.   d    d

f x x f x x.  D.   d    d

f x x f x x  

Câu 10 Nếu các hàm số  f x  và   g x  đều xác định, liên tục và có cùng một dấu trên    a b  ;  thì đẳng thức nào sau đây là đúng? 

A.                 

f x g x x f x x g x x   B.   

 

 

 

 





d d

d

a

b

b a a

b

f x x

f x x

g x

g x x

f x g x x f x x g x x   D.      d       d

f x g x x f x g x x  

f x x f x x  Khi đó   d

6

5

f x x  bằng 

,

f x x a f x x b  thì   d

4

1

f x x  bằng 

A.  a b.  B.  b a.  C.  a b.  D.   4a b  

0

5

a

f x x  và f x  là hàm số chẵn. Khi đó     d

0

a

f x x  bằng 





8

1

15

f x x  Khi đó    d

3

0

f x x  bằng 

1

0

f x x  Khi đó   d

7

5

f x x  bằng 

A. 15

Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm 

dx x c kdx, kx C 







1

x









1

ax b

  d2    

1 ,( 0)

x

C x x





x

C x b a

a ax b

3 2

1

I x x x  

A.  7

3

I B.   9

4

I C.  10

3

I .  D.  3

5

I  

1

0

y y y  là 

A. 4.  B.  3

Câu 18 Tìm a, biết  2  d 

1

a

x x x  

A. a 2 B.   3a C.   4a .  D.   5a  

Câu 19 Tập hợp các giá trị của  b  sao cho    d 

0

b

x x  là 

A.  5 .  B. 5; 1 .  C.  4 .  D. 4; 1   

Câu 20 Biết    d 

0

m

x x , tất cả giá trị  m  là 

A. m1,m 6.  B. m1,m6.  C. m 1,m 6.  D. d2    

1 ,( 0)

x

C x x

A. 





3

2

3

0

x x .  B.   



3 2

3

x x .  C. 





3 3

3

0

x x .  D.   



3 2

3

0

x x x  

Câu 22 Tích phân  2d4

1

x I

x  bằng 

A. 31

31

7

7

24. 

Câu 23 Tìm a, biết 

2

3 1

2

100

a x x

.  

A.a 6 B.   7a C.   4a .  D.   8a  

2 3

1

8

a

x x c



  , ,

a b c ; a

b là phân số tối giản. Tính    

5

T a b c  

A.   8T .  B.   6T .  C.   6T .  D.   8T  

3

1

5

2x 1 x a b

c  với 



 

a b c  Tính    T a b c 

2 4

2

3

a

x

x

A. a 1 B.   2a C.   3a .  D.   4a  

1

x x x a b c

x



  , , ;

a b c d  Tính     T a b c d 

A.T 5 B. T  5 C.   10T D.   10T  



1

2 0

3 (2 1)

a x

3

a  

3 2

0

2

x x x  là 

6  

Câu 30 Tích phân 



4 2

1

x x x

b với 



  ,

a b ; a

b là phân số tối giản. Tính    2T a b. 

A.   22T B.   17T C.   23T D.   67T  

Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)    dx lnx C x,( 0)



1

2 2 ln

a

x x

a



5

1

1

ln

2x 1 x A , giá trị của  A  là 



5 d

3

ln 1

x

a

x  Khi đó giá trị của  a  là 



1

ln(2 1)

a

x x

2

a  

1 2 d

x I

x x . 

A.  ln3

2

I B.   1ln3

I .  D.   1ln3

I  

1 2 d 0

ln

b



  ,

a b ; a

b là phân số tối giản. Tính  T 2a b  

A.   3T B.   10T C. T  11.  D. T  4. 



0( 1) 32

x x a

A.   2a B.   4a C.   2a .  D.   3a  

0

(2 4)

x x J

x x .  

A.J ln 2.  B.J ln 3.  C.J ln 5.  D.J ln 5.

2

2 0

( 1)

ln 5 ln 3

x

x a b

x x  với a b, . Tính    2T a b  

A. T  8 B.   7T C.   9T .  D.   9T  



3

2 2

ln 1

x a c x

b d



  , , ,

a b c d ;  a

b, 

c

d   là  các  phân  số  tối  giản.  Tính 

   

T a b c d. 

A.T 5 B.T 4   C.   12T .  D. T  14. 

3 2 d 2

ln( 1) 2

A.   1a B.  a e C.   a 1 e.  D.   a 1 e. 

Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)    e x e xd  xC   e ax b dx1e ax b C

   d   ,(0 1)

x

a x C a

lna     d  1  

mx n

m Lna  

2 2

0

2e x x  bằng 

A. e4.  B.  4

1

0

(1 e x) x e e b

a c với 



 

b ;  b

c là phân số tối giản. Trong không gian với 

hệ trục tọa độ  Oxyz  gọi điểm  M a b c  Khoảng cách từ điểm  M  đến mặt phẳng  Oxy  bằng  ; ; 

1

2

2 0

(1 e x) x a

e be c với a b c, , . Tính    T a b c 



0

2

2

x

I e x K e  thì giá trị của  K  là 

1

2

0

2x 3x

I x   

A.   4  12  9

ln 4 ln 6 ln 9

ln 4 ln 6 ln 9

C.   3  10  8

ln 4 ln 6 ln 9

Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)    sinx xd  cosx C   sin(ax b x )d  1cos(ax b ) C

  cosx xd sinx C   cos(ax b x )d 1sin(ax b ) C

   d2 tan 

cos

x

x C



1 tan( ) cos ( )

x

ax b C a

   d2  cot 

sin

x

x C



1 cot( ) sin ( )

x

ax b C a

  tanx xd  ln cosx C   tan(ax b x )d  1ln cos(ax b )C

  cotx xd ln sinx C   cot(ax b x )d 1ln sin(ax b )C

Câu 47 Tính 



0

(1 cos 2 )

I x x   

A.   1

2 2

I B.  

2

4

I  

Câu 48 Cho 





0

(1 sin 3 )x x b

a c với 



  ,

a c ; b

c là phân số tối giản. Tính  T 2a b c   





0

sinx cosx 1 x b

a  với a b, . Trong hệ trục tọa độ  Oxyz  gọi  M a b ; ; 3. 

Tính độ dài đoạn  OM   

A. OM 17 B. OM 7 C. OM 17 D. OM 8. 

Câu 50 Cho 







0

cos

x

e e x a

b

x  với a b, . Tính    2T a b.

A. T  9 B. T  6 C. T  2 D. T  7 

Câu 51 Cho 







6

1 sin cos

a c x b



  ,

b c ; a

b là phân số tối giản. Tính   T a 2b c .

A. T  11 B. T  5 C.   10T D.   11T  

Câu 52 Cho 





 

6

cos 2

3 sin cos

x a c



 

b c a ;  b

c  là  phân  số  tối  giản.  Tính 

  

T a b c. 

A.T 9 B. T  5 C.   5T D.   9T  

0

1 sin

2

x

t t với   k  thì  x  thỏa: 

A.x 2k  B. xk C.   

2

k

x D. x  2 k   

0

a

x x x a  thì giá trị a bằng: 

A. 





3

Câu 55 Với giá trị nào của tham số  m  thì tích phân     2 d

0

sin

m

I x x x  bằng 2  

A. m 1 B.  

6

m C.  

3

m D.  

4

m  

A. 





sinx x tanx x  

C. 

 

 

sinx x tanx x  

Câu 57 Tính 





3 d

4

tan

I x x  

A. ln 6

2

I B. I ln 2 C. I ln 2 D.    ln 2I  

Câu 58 Cho 







4

cotx x alnc

b d với 



  ,

b d ;  ,a c

b d là các phân số tối giản. Trong mặt phẳng tọa 

độ  Oxy  gọi  M a b N c d  Tính độ dài đoạn thẳng  MN     ; , ;

A. MN 2 B. MN 4 2 C. MN 2 2 D. MN 4. 

Câu 59 Tính 



4 2 d

0

sin

I x x 

A.   1

8 4

8 2

8 2

8 4

I  

Câu 60 Cho 





 

0

cos x x a

b c  với 



  ,

a c ; a

b là phân số tối giản. Tính    T a b c. 

A.T 11 B.   13T C.   8T D.   9T  

0

a

A.a B.  

2

a C.   3

2

a D.  

4

a  

0

m

x x  

A.  



3

m .  B.     

3

m k k   C.     

6

m k k .  D. mk, k. 

Câu 63 Tính 



0

sin 3 cos

I x x x. 

A.I 0 B. I 1 C.   1

2

I D.  1

4

I  

Câu 64 Cho 





0

cos 3 cosx x x a

b với 



 

b ;a

b là phân số tối giản. Tính   T a b 

Câu 65 Cho 





0

sin 3 sinx x x a

b  với 



 

b ;  a

b  là  phân  số  tối  giản.  Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy, điểm M a b  là tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây?  ;

A.   



4

1

x

y

x . B. 







1 4 1

x I

x . C. 







1

x y

x . D. 







2 4

x y

x  

Câu 66 Cho 







0

1

1 sin 2

a x

x b với 



 

b ; a

b  là phân số tối giản. Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy , 

điểm I a b ;  là đỉnh của parabol có phương trình nào sau đây? 

A. yx22x3 B. yx24x5 C.   y x26x7 D.  y x22x3. 

Câu 67 Cho 







0

1

1 cos 2

a x

x b với với 



 

b ;a

b là phân số tối giản. Tính   T a b 

A.T 1 B. T  1 C.   3T D. I 2 

Câu 68 Cho 







3

1

1 cosx x a b với 



 , 

a b  Tính  T 2a b  

A.T 11 B. T  5.  C.   6T D. T  7 

A. 



x x x x  

B. 

       

x x x x. 

C. 





3 4

3

4

D. 



x x x x  

Loại 3. Đổi biến số 

1

2 0

1

x

A.ln8

ln

8

2 ln

5.



0( 1)

x x J

x  bằng 

A.  1

8

J B.  1

4

J C.J 2 D.J 1. 



3

2 2

ln 1

x a c x

b d



b d a c ;  a c,

b d  là  các  phân  số  tối  giản.  Tính 

   

S a b c d. 

A. S 5 B. S 11 C. S 13 D. S 16. 



1 2d

x x I

x  thì 

A.  



2

I   B.  

 4

I   C.  ln 2

2

I .  D.   ln 2.I  

3

2

1

x x x

b d  với 



  ,

b d ; a c, ;  ,a c

b d là các phân số tối giản. Trong 

mặt phẳng tọa độ  Oxy , gọi  M a b N c d  Tọa độ trung điểm của đoạn  MN  là    ; , ;

A.  

3

; 3

5

; 3

2 . D.  5; 3  

Câu 75 Tích phân      d

1

19

0

1

A. 1

1

1

1

462. 

1

2

0

1

L x x x bằng 

A.L 1 B.  1

4

L C.L 1 D.  1

3

L  

2 2

1

I x x x  và  u x x21. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: 

A.   d

3

0

I u u.  B.  2 27

3

I .  C.   d

2

0

I u u.  D.  

3 3 2

0

2 3

I u  

1

0

x x x

N , với 

M

N là phân số tối giản. Giá trị M N  bằng: 

7

3 0

1

x  có giá trị là: 

A.33 ln3

2

1

cos ln

x , ta tính được:  

A. I cos1.  B. I 1.  C. I sin1.  D. Isin 2 sin 1 .

Câu 81 Cho 



 



0

ln 2

x x a

x

b c



 

b ;  a c, ;  a

b  là  phân  số  tối  giản.  Tính 

  

T a b c. 

A. T  2 B. T  6 C. T  3 D. T  1.



1

x

x  và 







0

cos

3 sin 12

x

x , phát biểu nào sau đây đúng: 

3

J D.I 2J. 

Câu 83 Tích phân 









0

2

cos

2 sin

x

x  có giá trị là: 

A. ln 3 B. 0 C.  ln 2 D. ln 2. 

Câu 84 Cho 



0

1 sin cos

64

m

I x x x  Khi đó  m  bằng 

Câu 85 Tích phân 



0

sin cos

I x x x  bằng: 

A.6 B.5 C.4 D. 1

64.





0

1 cosx nsinx x  ta được 

A.   



0

1

1 cos sin

2

n

x x x

n.  B.   





0

1

1

n

x x x

n  

C.   





0

1

1 cos sin

1

n

x x x

n .  D.   





0

1

n

x x x

n  



0

cos 2 cos sin

I x x x x  bằng 

A. 5

5

7

5

12. 

1

1 ln

e

x

x  có giá trị là: 

A. 1

2

4

3.  

Câu 89 Tích phân  1 2d

1

0

x

I x e x  có giá trị là: 

A. 2

2

e e

3

e e

2

e e

3

e e

. 

Câu 90 Tích phân 



2 sin d 

0

I xe x m  thì  m  thỏa mãn phương trình 

A. lnx1.  B. lnx 1 0.  C. lnx 1 0.  D. lnx 1 1. 



2 3

2 2

3 3

x x

 bằng: 

A. 



2. 



6 d2

x I

x x  và  

3 cos

x

t  Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI? 

A. d  3 sin2 d

cos

t



36

I  

C. 





3 d

4

sin

3 cos tan

t t I



2

sin

3 cos tan 9

x t t

t t

0

0

a

x a x x a bằng 

A. 4

8

a

16

a

16

a

8

a

. 

Câu 94 Cho    d 

3

1

xf x x  Tính      d

2

0

I x f x x.  

A.   9I B.   6I   C. I 4 D. I 2. 

4

1

2 3

1

1 x

I x f e x  

A.   2000I .  B.   4000I .  C.   1000I .  D.   3000I  

2

2

0

xf x x  Tính     d

5

1

I xf x x  

A.   5

2

I .  B. I 10.  C. I 5 5.  D.I 5.

Câu 97 Đổi biến   2 sinx t tích phân 



0 4

x x

 trở thành: 

A.



 d

6

0

t t.  B.



6d

0



6

0

1

t



3d

0

t  Loại 4. Phương pháp tích phân từng phần 

b a

u v u v v u  

Câu 98 Tích phân 



0

sin

L x x x  bằng: 

A.L .  B.L .  C. L 2 D. L 0.

Câu 99 Cho 





 

0

cos

x x x

a b  với a b, . Tính  T 2a2b  

A. T  5.  B. T  9.  C. T  14.  D. T  16.

Câu 100 Tích phân 



 2 d

0

sin

I x x x  bằng : 

A.24.  B.24.  C.223.  D.223 

Câu 101 Cho 





0

.cos

a b  với a b c, , . Tính    T a b c. 

A. T  15 B. T  13 C. T  11 D. T  9.

2

1

(2x 1) lnx x aln 2 b

c  với 



 ; , ;b

c a b

c  là  phân  số  tối  giản.  Tính 

  

T a b c. 

ln 2

0

ln 2

xe x c d



 ; , , 

b a c d ;  a

b  là  phân  số  tối  giản.  Tính 

   

T a b c d 

Câu 104 Giá trị   d

1 1

0

x

xe x  bằng