Một số bài tiếp tuyến đặc sắc

Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với C phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng t

Câu 1 Cho hàm số 3 2

y x  x  Tìm trên ( C ) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C ) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8

LỜI GIẢI

 Gọi M x y o; o là tiếp điểm của tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

y  f x  x  x 

 Hệ số góc của tiếp tuyến là : 2

'( o) (6 o 6 o)

k  f x  x  x

 Phương trình tiếp tuyến tại M x y o; o là :  2    3 2

y x  x xx  x  x 

 Vì tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8 nên tiếp tuyến sẽ đi qua điểm

(0;8)

P

8 6x o 6x o (0x o)2x o3x o  1 x o   1 M  1; 4

Câu 2 Cho hàm số 3 2

yx  x  có đồ thị (C).Tìm hai điểm A B, thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB 4 2

LỜI GIẢI

 Để tiếp tuyến tại A B, song song với nhau k A k B  y A'( ) y B'( )

A B

x x loai vi A B

 



x A  2 x B

 Ta có: AB (x Ax B)2 (y Ay B)2  (2 2 x B)2(x3Ax3B6(x Ax B))2

2

1

B B

B

x

x







 Vậy hai điểm cần tìm là A3;1 , ( 1; 3) B  

Câu 3 Cho hàm số 3 2

y f x x  x  x có đồ thị (C)

Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA2001.OB

LỜI GIẢI

 Phương Trình Tiếp Tuyến của (C) có dạng:ykxm Hoành độ tiếp điểm x là nghiệm o

của phương trình: 2

f x k  x  x  k (1)

 Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt thì

9 3k 0 k 3



       (2) Khi đó tọa độ các tiếp điểm x y o; o của 2 tiếp tuyến là

nghiệm của hệ :



2

2







(Lấy y0 chia cho k)

 Phương trình đường thẳng d đi qua các tiếp điểm là: 6 2 9

y  x 

 Do d cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho: OA2011.OB nên có thể xảy ra:

 Nếu A O thì BO Khi đó d đi qua O  9

2

k 

 Nếu A O thì OAB vuông tại O Ta có: tan OB 2011

OAB

OA

3

k



 

 k 6039 (thoả (2)) hoặc k  6027 (không thoả (2))

 Vậy: 9

2

k  hoặc k 6039

Câu 4 Cho hàm số 3 2

yx   m x  m xm (1) (m là tham số) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d x: y70 góc  , biết

1 26

cos 

LỜI GIẢI

 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến  tiếp tuyến có VTPT n1( ; 1)k 

 Đường thẳng d có VTPT n 2 (1;1)

2

1 2

3

12 26 12 0

2

| | | | 26 2 1

3

k

k















 YCBT thoả mãn  ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:



2

1

3 2(1 2 ) 2

0

3 2(1 2 ) 2

2

2

;

; 1 4

m









hoặc 1

2

m 

3

y f x  mx  m x   m x có đồ thị là (C m) Tìm các giá trị m

sao cho trên đồ thị (C m) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d x: 2y 3 0

LỜI GIẢI

 Để tiếp tuyến vuông góc với d thì k k  1 2 1

 Ta thấy d có 1

2

d

k   tiếp tuyến có hệ số góc k  2

 Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì:

f x k  mx  m x  m mx  m x  m (1)

 YCBT  phương trình (1) có đúng một nghiệm âm

 Nếu m  thì (1)0  2x  2 x (loại) 1

 Nếu m  thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là 0

1

2 3

x

m x

m









 



 Do đó để (1) có một nghiệm âm thì

0

2 3

3

m m







 Vậy m 0 hoặc 2

3

m 

Câu 6 Cho hàm số 1 3 2

3

y mx  m x  m x có đồ thị (C m) Tìm các giá trị m sao cho

trên (C m) tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d x: 2y 3 0

LỜI GIẢI

 Ta có:

2

:







 YCBT  phương trình y ' 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

2

      có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

0

0

0

m

m S

m P



 

 







Vậy 0;1 1 2;

m  

Câu 7 Cho hàm số 3

1

yx mxm có đồ thị (C m) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị ( C m) tại điểm M có hoành độx   cắt đường tròn 1 ( )C có phương trình 2 2

(x2) (y3)  4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất

LỜI GIẢI

 Ta có: 2

' 3

y  x m '( 1) 3

( 1) 2 2

  



 



; Đường tròn ( )C có tâm (2;3)

2

I R







 PTTT d tại M( 1; 2 m2)là : y(3m x) m 1 (3m x) ym 1 0

 Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B khi đó 2 2

2

AB



2

2 (3 ) 1

| 4 |

m m



Dấu "=" xảy ra m2

 Dó đó d I d( ; ) đạt lớn nhất m 2 Khi đó: PTTT d y: x3

Câu 8 Cho hàm số 3

3

y xx có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng d y:  x các điểm M mà từ

đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

LỜI GIẢI

 Gọi M m( ;m)D PT đường thẳng qua M có dạng: yy x'( )(o x m )m

  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:

3

2

3 3







 Suy Ra: 3 2

2x 3mx 4m0 (1)

 Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C)  phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

 Ta Sẽ làm 3 cách:

 Cách 1: Cô Lập m

 Từ (1)

3

2

2

x m x

 (2)

 Xét hàm số

3

2

2 ( )

x

f x

x





 Tập xác định \ 2 3 2 3;

DR  

 Ta có:

0

6 24

2 (3 4)

x

f x

x x









 Lập BBT của hàm số f x( ):

 Từ BBT Để Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khi m  2

 Vậy: M ( 2; 2) hoặc M(2; 2)

 Cách 2: Tính chất cực trị hàm bậc 3

 Xét Phương Trình: 3 2

2x 3mx 4m0 (1)

f x  x  mx  m

'( ) 6 6 6

f x  x  mx x x m

4





 Để (1) có 2 nghiệm thì hàm số f x( ) có 2 cực trị thỏa mãn

y y   m m m   m  m  (Vì m 0)

 Trong trường hợp tổng quát f x( ) để tìm y y1, 2 ta có thể viết phương trình đường thẳng

qua 2 điểm cực trị Siêu công thức hoặc Casio

 Phương pháp Siêu Công Thức:

 Xét hàm số 3 2

( )

y f x ax bx cx d Khi đó Nếu hàm số có 2 điểm cực trị ( 2

b  ac

) thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị:

 (d): 2  2 

3

bc

a b  m c d m d y m x m

 Giả Sử hai điểm cực trị A x y 1; 1; Bx y2; 2 Với x x1, 2 là nghiệm của

1 2

1 2

'( ) 0

f x

x x

 



  





 Với

2

2

4 4





ycbt y y   m x  m m x  m  (*)

 Vì m 0nên

 Phương pháp Casio:

 Xét hàm số 3 2

( )

y f x ax bx cxd Khi đó Nếu hàm số có 2 điểm cực trị ( 2

b  ac

) thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị: ' "

18

d

y y

a

f x  x  mx  m

 Suy ra: 2

'( ) 6 6 ; "( ) 12 6

f x  x  mx f x  x m;

 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì f x '( ) 0 có 2 nghiệm phân biệt Suy ra m 0

 Viết Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị ' "

18

d

y y

a

18.2

400 10000 4.100 100 4 100

X i

A m







 



 Suy ra pt đường thẳng qua 2 điểm cực trị: 2

( ) :d y m x4m

 Giả Sử hai điểm cực trị A x y 1; 1; Bx y2; 2 Với x x1, 2 là nghiệm của

1 2

1 2

'( ) 0

f x

x x

 



  





 Với

2

2

4 4





ycbt y y   m x  m m x  m  (*)

 Vì m 0nên

Câu 9 Cho hàm số 3

3 2

yx  x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng d y : 4 các điểm M mà từ

đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

LỜI GIẢI

 Gọi M m( ; 4)d PT đường thẳng  qua M có dạng: yk x( m)4

  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:

3

2

(*)





 



 Thay (2) vào (1) ta được:

x  x  x  xm   x  x  m x m  (3)

1

2 (3 2) 3 2 0(4)

x

 



 



 YCBT  (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt

 TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 m 1

 TH2: (4) có nghiệm kép khác –1  2 2

3

m  v m

Vậy các điểm cần tìm là: (1 ; 4); ( 2; 4); (2; 4)

3



Câu 10 Cho hàm số 3 2

yx  x  m x m có đồ thị (C m) Tìm m để từ điểm M(1; 2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C m)

LỜI GIẢI

 Gọi x o là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua điểm M(1; 2)

 Ta có pttt tại điểm có hoành độ x o là: yy x'( )(o xx o)y x( )o

 Vì tiếp tuyến đi qua điểm M(1; 2) nên ta có:

o

 Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt

3

f x  x  x  f x  x x

  Các điểm cực trị của (Cm) là: (1; 4 3 ), ( ;2 109 3 )

3 27

 Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt

4 3 109 81

m

A Ox

B Ox

m















Câu 11 Cho hàm số 3 2

y x  x  có đồ thị hàm số ( )C Tìm trên đường thẳng d y : 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

LỜI GIẢI

 Gọi M m( ; 2)d PT đường thẳng  đi qua điểm M có dạng : yk x( m)2

  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm

2

(*)







 Thay (2) và (1) ta được:2x33(m1)x26mx40(x2) 2 x2(3m1)x20

2

2 ( ) 2 (3 1) 2 0 (3)

x





 

 Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt

 (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2

5

3

2

f

m







 Vậy từ các điểm M(m; 2)  (d) với

5 1

3 2

m









có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

Câu 12 Cho hàm số 4 2

y f x x  x Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần

lượt là a và b Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với

nhau

LỜI GIẢI

 Ta có: 3

'( ) 4 4

f x  x  x

 Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là : 3 3

k  f a  a  a k  f b  b  b

 Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:

y f a xa  f a  y f a x f a af a

y f b x b  f b  y f b x f b bf b

 Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi:

k k  a  a b  b (a b a )( 2ab b 21)0 (1)

 Vì A và B phân biệt nên a b , do đó (1)a2ab b 2 1 0 (2)

 Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:

 Giải hệ này ta được nghiệm là ( ; )a b  ( 1;1) hoặc ( ; )a b (1; 1) , hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là ( 1;1) và (1; 1)

 Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là:

1 0 1,

a ab b



  



Câu 13 Cho hàm số 4 2

2

yx  mx m (1) , m là tham số Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm

số (1) có hoành độ bằng 1 Tìm m để khoảng cách từ điểm 3;1

4

B 

  đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A là lớn nhất

LỜI GIẢI

 AC m nên   3

1;1 , ' 4 4 '(1) 4 4

A m y  x  mx y   m

 Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A:

y m  y x   m x y m 



 Khi đó

2

| 1|

d B

m



, Dấu ‘=’ xảy ra  m 1

 Do đó d B ( ; ) lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m 1.

Câu 14 Cho hàm số y| | 1x   2 | | 1x  2 Cho điểm A a( ; 0) Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp

tuyến phân biệt với đồ thị (C)

LỜI GIẢI

 Ta có 4 2

yx  x  PT đường thẳng d đi qua A a( ; 0) và có hệ số góc k : yk x( a)

 d là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm:

3

( )

I







 Ta có:( ) 2 0 ( )

1 0

k

x





 

 



hoặc

2

2

( )

B







 Từ hệ (A), chı̉ cho ta một tiep tuyen duy nhat là d1:y  0

 Vậy đe từ A kẻ được 3 tiep tuyen phân biệt với (C) thı̀ đieu kiện can và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt ( ; )x k với x   , tức là phương trı̀nh (1) phải có 2 nghiệm phân 1

biệt khác 1

 Suy ra

2

1

2 ( 1) 0

a

a f

   



 



hoặc 1 3

2

a

Câu 15 Cho hàm số 2 3

1

x y x





 có đồ thị là (C) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d: 3x4y20bằng 2

LỜI GIẢI

 Giả sử M x y( ;o o) C 2 3

1

o o o

x y x





 Ta có:

2 2

3 4

d M d       x  y  



hoặc 3x o4y o 8 0

 Với

1

2

(0;3)

o

M x







 Với

3

4

7

4

; 1

o o

o

o

x

x

    







 PTTT tại M1(0;3) là y  x 3 ;



PTTT tại 2 1 11; 9 47

M   y  x

 PTTT tại 3 5;7 1 23

M  y x

 PTTT tại 4 4; 1 9 13

3

M    y  x

Câu 16 Cho hàm so 2 1

1

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm

(1; 2)

I đến tiếp tuyến bằng 2

LỜI GIẢI

 Tiếp tuyến của (C) tại điểm M x( ; ( ))o f x o  C có phương trình:

'( )(o o) ( )o

y f x xx  f x

       (*)

 Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 4

0

2

o o

o o

x x

x x









 Các tiếp tuyến cần tìm : xy 1 0 và xy 5 0

Câu 17 Cho hàm số 2

2

x y x



 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

LỜI GIẢI

 Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a   thuộc (C) có phương trình: 2

2

a

 Tâm đối xứng của (C) làI ( 2; 2) Ta có:

d I d

a



 d I d( ; ) lớn nhất khi 2

0 ( 2) 4

4

a a

a





     



 Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến yx và yx8

Câu 18 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), ( 4; 2)B  

LỜI GIẢI

 Gọi x o là hoành độ tiếp điểm (x   o 1)

2

1

o

x



d A d d B d   x   x  x     x   x  x 

 Suy ra: x o 1v x o 0v x o  2

 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: 1 5; 1; 5

y x yx yx

Câu 19 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI

LỜI GIẢI

 Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2) Gọi ( ; )   2 1

1

a

a



 (a 1)

 PTTT của (C) tại M: 1 2( ) 2 1

a

 PT đường thẳng MI: 1 2 ( 1) 2

( 1)

a

 Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: 1 2 1 2 1 0( 1)

2( 3) ( 1) ( 1)





     

 Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0;1),M2(2;3)

Câu 20 Cho hàm số

2 (2 1)

1

y

x



 .Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng

yx

LỜI GIẢI

 +TXĐ: DR\ 1 

 Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng yx thì:

2

2

2

(1) 1

1(2)

x x

m x















 Từ (2) ta có 2 2

( 1) ( 1)

2

x m





      



 Với x m , thay vào (*) ta được: 0m  (thoả với mọi m ) Vì 0 x 1 nên m 1

 Với x 2 m , thay vào (*) ta được: 2

(2m1)(2m)m (2m)(2m1)

 Suy ra: 2

4(m 1) 0 m 1 x 1( )l

 Vậy với m 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng yx

Câu 21 Cho hàm số: 2

1

x y x





 (C) Cho điểm A(0; )a Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới

đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành

LỜI GIẢI

 Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; )a và có hệ số góc k y: kxa

 d là tiếp tuyến của (C)  Hệ PT

2

2 1 3 ( 1)

x

kx a x

k x





 

 







 





có nghiệm

 Suy ra PT: 2

(1a x) 2(a2)x(a2)0 (1) có nghiệm x  1

 Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x x 1, 2

 Suy ra 1 1  *

 Khi đó ta có: 1 2 2( 2); 1 2 2

 Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y y  1 2 0

x x x x

 Kết hợp với điều kiện (*) ta được:

2 3 1

a a











 



Câu 22 Cho hàm số 2

1

x y x





 Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, là một tiếp tuyến bất

kỳ của đồ thị (C) d là khoảng cách từ I đến Tìm giá trị lớn nhất của d

LỜI GIẢI

 Ta có: ' 1 2

y x







 Giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( 1;1)

 Giả sử ; 2  

1

o o o

x

x





 Phương trình tiếp tuyến với đồ thi hàm số tại M là:

2 2

2 1

o

x





 Khoảng cách từ I đến là

4

2 2

2 1

o

o

o o

x d

x

x x





 Vậy GTLN của d bằng 2 khi x  hoặc o 0 x   o 2

Câu 23 Cho hàm số 1

x y x

 



 Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d y: xm luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Gọi k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A 1, 2

và B Tìm m để tổng k1k2 đạt giá trị lớn nhất

LỜI GIẢI

 PT hoành độ giao điểm của d và ( ) : 1

x

x

 

1 2

x







 



 Vì

2

1 0 2

g





  



  

 



nên (*) luôn có 2 nghiệp phân biệt x x1, 2







