MỘT SỐ BÀI PT HAY VÀ ĐẶC SẮC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH].
Trang 1Bài 1: [ĐVH] Giải phương trình 2x− + − + =1 x2 3x 1 0
Bài 2: [ĐVH] Giải phương trình x−2 x− − −1 (x 1) x+ x2− =x 0
Bài 3: [ĐVH] Giải phương trình 4x2+ 2x+ =3 8x+1
Bài 4: [ĐVH] Giải phương trình (x+1) x2−2x+ =3 x2+1
Bài 5: [ĐVH] Giải phương trình (3x+1) x2+ =3 3x2+2x+3
Bài 6: [ĐVH].Giải phương trình: 3x2+2x−3(3x− −1 3x+ =3) 4
Lời giải:
Nhận xét: ( ) ( )
= − − − +
− + = + −
nên ta có pt⇔ − − − +x 1 (x 3) 3x2+2x−3(3x− −1 3x+ = ∗3) 0( )
Đặt:
3
3
1 3
= −
= − +
ta có phương trình mới 3 3 ( ) ( )( )2
a b
= −
+ − + = ⇔ + − = ⇔
=
S
− = − + = −
= ∅
− = +
Vậy phương trình có nghiệm x = − 1
Bài 7: [ĐVH].Giải phương trình: ( )2 ( ) ( 2 )
3 x − +1 2 3x−4 x+1 x + −x 2 =0
Lời giải:
Điều kiện: ( ) ( 2 ) 1
x
x
≥
+ + − ≥ ⇔
− ≤ ≤ −
Phương trình đã cho 2 4 ( ) ( 2 )
3
⇔ + − − − + − =
3
⇔ + − + + − + + − = ∗
Nhận xét: x+ =1 0 không là nghiệm, chia cả hai vế của ( ) ∗ cho x + 1 ta có phương trình:
1 0
2
3
3
t
x x
=
= ≥ ⇒ ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔
Khóa LTĐH Nâng cao môn Toán
09 MỘT SỐ BÀI PT HAY VÀ ĐẶC SẮC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2• Với
2
2
x
x x
= +
• Với
2
2
3 2 7 0 22 1
x
+ −
+
Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: x= −{1 6 1; + 6; 22 1− }
Bài 8: [ĐVH].Giải phương trình: x2+ − +x 6 3 x− −1 2 x2−2x+ =6 0
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
6 0
2 6 0
Phương trình đã cho ⇔ x2+ − +x 6 3 x− =1 2 x2−2x+6
⇔ + − + + − − + − = − +
2 x 2 x 3 x 1 x 6x 13 2 x 2 x 2x 3 x 2x 3 8 x 2
Nhận xét: x− =2 0 không là nghiệm, chia cả hai vế cho x−2 ta được phương trình:
2 3
2
x
Điều kiện của t là 0 4 2 6 20
x
≥
⇔
∆ = − + ≥
2
Với
2
2 3
x
= + + −
Vậy phương trình có hai nghiệm: {7− 20 7; + 20}
x
−
Lời giải:
Ta có phương trình ( ) ( ) ( ) 2
x
−
Do 2( ) (2 )2
x x− + +x > ∀ ∈, x R nên x là nghiệm của phương trình 2
0
1 1
0
x
x x
x
>
⇔ − > ⇔ >
Với điều kiện này ta có 2( ) (2 )2 ( )2 ( )( ) ( )
1 1
a x x
a b x
b x
= −
→ + = +
= +
Khi đó phương trình ( ) ∗ trở thành:
2 2
1
+ = + ⇔ + = +
Trang 3Đặt: a t t( 0)
( )
1 2
a
Vậy phương trình có nghiệm: x = + 1 2
8x −25x+ =18 3 16x −96x +218x −216x+81
Lời giải:
4
2 2
8 25 18 2 2 3
− + = − −
Đặt ( )2
2x−3 =a
Vậy phương trình trở thành ( )
a x a x
• Với ( )2
2 3
a= − →x x− = − ⇔ = ∅x S
8
a= x→ x− = x⇔ x − x+ = ⇔ =x ±
Vậy phương trình có hai nghiệm: 17 145
8
x= ±
Bài 11: [ĐVH].Giải phương trình 13 2 ( ) 2
9 10 2 3 1 2 3
2 x + x− = x+ x −
Lời giải:
2
2
Đặt: 2 ( )
2x − =3 t t≥0 Phương trình trở thành 2 ( ) 5 2
2
t − x+ t+ x + x− =
2
∆ = + − + − = − ≥
( )
2 2
2 2
4
7 8 28 0
2
2
x
t
t
+
7 8 28 0
7
x − −x = ⇔ =x ±
• Xét phương trình ( ) ∗ có:
2
= − + = + − + >
Vậy ( ) ∗ vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm là: 4 2 53
7
x= ±
Bài 12: [ĐVH].Giải PT:
1 ( 1)
Trang 4Lời giải:
Đk: x>0
Nhận xét: x4+ + =x2 1 x4+2x2+ −1 x2 =(x2+1)2−x2 =(x2+ +x 1)(x2− +x 1)
PT
Ta đặt:
1
2
1 ( 1)( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 1
a − +ab= ⇔ −b a a+ +b a− = ⇔ −a a b+ + = ⇔ =a
Với a = 1 ta có:
2
1
1
x x
x
x− + = ⇒ = +
Kết luận: x = 2 là nghiệm của PT đã cho
Bài 13: [ĐVH].Giải PT: 5x4+4x2 − x4−3x2−18=5x
Lời giải:
Đk: x4−3x2− ≥ ⇔18 0 (x2+3)(x2− ≥ ⇔6) 0 x2≥6
Khi đó PT
4 2
3 18 5 0, (1)
⇔ + = − − + ⇔
Giải (2) ta có (2) ⇔2x4−9x2+ =9 5x x4−3x2−18 ⇔2x4−9x2+ =9 5x (x2+3)(x2−6)
2x x( 6) 3(x 3) 5x (x 3)(x 6)
Đặt: a=x x2−6,b= x2+3 ta có: 2 2 3 2 5 (2 3 )( ) 0
2 3
a b
=
+ = ⇔ − − = ⇔
=
+) Với a = b ta có: 2 6 2 3 4 0 2 7 61
2
x
≥
− − =
+) Với 2a = 3b ta có: 2 2 6 3 2 3 4 0, ( 2(1)) 3
33 27 0
≥
Kết luận: Vậy PT có 2 nghiệm như trên
Bài 14: [ĐVH].Giải PT: 9x2+6x− =10 (3x+1) 9x2−8
Lời giải:
Đặt t = 9x2−8(t≥0) ta có: t2 =9x2−8
PT⇒t2+6x− =2 (3x+1)t⇔ −t2 (3x+ +1)t 6x− =2 0
(3 1) 4(6 2) 9 18 9 (3 3)
∆ = + − − = − + = −
3 1 3 3
3 1 2
3 1 3 3
2 2
t
+ + −
⇒
+ − +
Trang 5Với 2
1
3
2
x
x
≥
= − ⇒ − = − ⇔ ⇔ =
− = − +
3
t= ⇔ x − = ⇔ = ±x
Bài 15: [ĐVH].Giải PT : 2 2 2
(x +2 )x + +(x 1) 2(x +2x− =1) 13
Lời giải:
Đk: x2+2x≥1
Nhận xét: (x2+2 )x 2− =1 (x2+2x−1)(x2+2x+ =1) (x2+2x−1)(x+1)2
(x 2x 1)(x 1) (x 1) 2(x 2x 1) 12
⇔ + − + + + + − =
( 1) 2( 2 1)
t = +x x + x− ta có 1 2 12 0 4
6 2
t
t t
t
=
+ − = ⇔
= −
+) Với t=4 ta có: ( 1) 2( 2 2 1) 4 12 2
( 1) ( 2 1) 8
x
≥ −
1 ( 1) 2( 1) 8 0 ( 1) 4
x
+) Với t= −6 ta có: ( 1) 2( 2 2 1) 6 12 2
( 1) ( 2 1) 18
x
≤ −
1 1
1 1 19 ( 1) 2( 1) 18 0 ( 1) 1 19
x x
x
≤ −
+ − + − = + = +