Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình mũ

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b >0.. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.. Nếu hàm số y f x= liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương trình mũ cơ bản a x=b a 0, 1( > a≠ )

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b >0

● Phương trình vô nghiệm khi b ≤0

2 Biến đổi, quy về cùng cơ số

( ) ( ) 1

f x g x

a =a ⇔ = hoặc a 0f x( )a 1g x( )

< ≠



3 Đặt ẩn phụ

( ) 0 0( 1 ) ( ) ( ) 0

0

g x

f t

 = >



Ta thường gặp các dạng:

● m a 2f x( ) +n a f x( )+ =p 0

● m a f x( ) +n b f x( )+ =p 0, trong đó a b = 1 Đặt t a= f x( ), t>0, suy ra b f x( ) 1

t

=

● m a 2f x( ) +n a b .( )f x( ) +p b 2f x( ) =0 Chia hai vế cho b 2 f x( ) và đặt a f x( ) t 0

b

  = >

 

4 Logarit hóa

● Phương trình ( ) 0( ) 1, 0log

f x

a

< ≠ >



● Phương trình f x( ) g x( ) log f x( ) log g x( ) ( ) ( ).log

hoặc log f x( ) log g x( ) ( ).log ( )

5 Giải bằng phương pháp đồ thị

o Giải phương trình: a x= f x( ) (0< ≠ a 1) ( )∗

o Xem phương trình ( )∗ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y a= x (0< ≠ và a 1)

( )

y f x= Khi đó ta thực hiện hai bước:

 Bước 1 Vẽ đồ thị các hàm số y a= x (0< ≠ và a 1) y f x= ( )

 Bước 2 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị

6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

o Tính chất 1 Nếu hàm số y f x= ( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ( )a b thì số ; nghiệm của phương trình f x( )= trên k ( )a b không nhiều hơn một và ; f u( )= f v( )⇔ = u v,

( )

o Tính chất 2 Nếu hàm số y f x= ( ) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số

( )

y g x= liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x( )=g x( ) không nhiều hơn một

o Tính chất 3 Nếu hàm số y f x= ( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f u( )> f v( )⇔ >u v hoac ( u v< ), ,∀u v D∈

đồng biến trênD thì: f u( )< f v( )⇒ < u v

nghịch biến trênD thì: f u( )< f v( )⇒ > u v

7 Sử dụng đánh giá

o Giải phương trình f x( )=g x( )

o Nếu ta đánh giá được ( )

( )

≥





≤

 thì f x( ) g x( ) f x( ) ( ) m

=



=

8 Bất phương trình mũ

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

f x g x

a

a

 >

 >





> ⇔  < <



 <



Tương tự với bất phương trình dạng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x

f x g x



<





≤



• Trong trường hợp cơ sốacó chứa ẩn số thì: a M >a N ⇔(a−1)(M N− )>0

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: + Đưa về cùng cơ số

+ Đặt ẩn phụ

+ Sử dụng tính đơn điệu: ( )

( )

y f x

y f x

=





=



B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1 Cho phương trình 3x2 − + 4 5x =9 tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là:

A 28 B 27 Hướng dẫn giải C 26 D 25

Ta có:

3

x

 Suy ra 1 33+ 3 =28 Chọn đáp án A

Câu 2 Cho phương trình : 3x2 − + 3 8x =92x 1 − , khi đó tập nghiệm của phương trình là:

S=  − + 

Hướng dẫn giải

2

2

5

2

x x

x

=

=



 Vậy S ={ }2;5

9

x x

= +    có bao nhiêu nghiệm âm?

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với 3 2 1 3 1 2 1 2

x

= +  ⇔   = + 

Đặt 1

3

x

t  =    , t >0 Phương trình trở thành 2 2 1

2

t

t

=





● Với t =1, ta được 1 1 0

3

x

x

  = ⇔ =

 

3

3

x

x

 

Vậy phương trình có một nghiệm âm

Câu 4 Số nghiệm của phương trình

2 2

3

x

x+   + − =

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với

1

1

3

x x

+

  +   − =

 

2

x

x

 

Đặt t = , 3x t >0 Phương trình trở thành 2 1

4 3 0

3

t

t

=



− + = ⇔  =



● Với t =1, ta được 3 1x = ⇔ =x 0

● Với t =3, ta được 3x = ⇔ =3 x 1

Vậy phương trình có nghiệm x = , 0 x = 1

x 1 3

2 x+ =16 − Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

B Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

D Phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn giải

2

28 4

2

3

7

3

x

x

+

−

≤ − ∨ ≥





≤ − ∨ ≥



 = −













Nghiệm của phương trình là : 7 ;3

3

S = − 

 

Vì 7 3 7 0

3

− = − < Chọn đáp án A

2 5−x −x =0,001 10 −x có tổng các nghiệm là:

Hướng dẫn giải

2.5 −x =10 10− − x ⇔10 −x =10 − x ⇔ −8 x = −2 5x⇔ = −x 1;x=6

Ta có : − + =1 6 5 Chọn đáp án A

Câu 7 Phương trình 9 5.3 6 0x− x+ = có nghiệm là:

A.x=1,x=log 23 B x= −1,x=log 23 C x=1,x=log 32 D x= −1,x= −log 23

Hướng dẫn giải

Đặt t = (3x t > ), khi đó phương trình đã cho tương đương với 0

3

5 6 0

x t

=



− + = ⇔  = ⇔  =

Câu 8 Cho phương trình 4.4 9.2x− x+1+ =8 0 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình trên Khi đó, 1, 2

tích x x bằng : 1 2

Hướng dẫn giải

Đặt t = (2x t > ), khi đó phương trình đã cho tương đương với 0

1 2

2

1 2

x t

=



− + = ⇔  = ⇔  = −





Vậy x x = −1 2 1.2= −2 Chọn đáp án A

Câu 9 Cho phương trình 4 4x− 1 −x =3 Khẳng định nào sau đây sai?

A Phương trình vô nghiệm

B Phương trình có một nghiệm

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0

D Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x−3.4 4 0x− =

Hướng dẫn giải

Đặt t = (4x t >0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

1( )

t

=



− − = ⇔ = − ⇔ =

Chọn đáp án A

Câu 10 Cho phương trình 9x x2 + − 1−10.3x x2 + − 2+ =1 0 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

Hướng dẫn giải

Đặt t=3x x2 + − 1 (t >0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

2

2

1 2

1

2

0 3

x x

x x

x

x

t

x

+ − + −

= −





=



= −



Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng −2

Câu 11 Nghiệm của phương trình 2x+2x+ 1=3 3x+ x+ 1 là:

2

3 log 4

3

2 log 3

Hướng dẫn giải

3 2

x

x+ x+ = x+ x+ ⇔ x= x ⇔  = ⇔ =x

 

 

Câu 12 Nghiệm của phương trình 22x−3.2x+2+32 0= là:

A x ∈{ }2;3 B x ∈{ }4;8 C x ∈{ }2;8 D x ∈{ }3;4

Hướng dẫn giải

3

x

x

x x

Câu 13 Nghiệm của phương trình 6.4 13.6 6.9x− x+ x =0 là:

A.x ∈ − { }1; 1 B 2 3;

3 2

x ∈  

  C x ∈ −{ 1;0} D x ∈{ }0;1

Hướng dẫn giải

2

x− x+ x = ⇔   −   + =

x

x

  =

  



⇔  

  =

 



1 1

x x

=



⇔  = −

Câu 14 Nghiệm của phương trình 12.3 3.15 5x+ x− x+1=20 là:

A x =log 5 13 − B x =log 53 C x =log 5 13 + D x =log 3 15 −

Hướng dẫn giải

1

12.3 3.15 5x+ x− x+ =20⇔3.3 5 4 5 5 4x( x+ −) ( x+ )=0 ⇔(5 4 3x+ )( x+1− =5) 0

⇔3x+1=5 ⇔ =x log 5 13 −

Câu 15 Phương trình 9 5.3 6 0x− x+ = có tổng các nghiệm là:

A log 6 3 B log32

3 C log33

2 D −log 63

Hướng dẫn giải

9 5.3 6 0x− x+ = ( )1

1 ⇔ 3 x−5.3 6 0x+ = ⇔ 3x −5.3 6 0 1'x+ =

Đặt t = > Khi đó: 3x 0 ( ) 2 2 ( ) ( )

3

=



⇔ − + = ⇔ 

=



Với t= ⇒2 3x = ⇔ =2 x log 23

Với t= ⇒3 3x = ⇔ =3 x log 3 13 =

Suy ra 1 log 2 log 3 log 2 log 6+ 3 = 3 + 3 = 3

Câu 16 Cho phương trình 21 2 + x+15.2 8 0x− = , khẳng định nào sau dây đúng?

Hướng dẫn giải

1 2

2+ x+15.2 8 0x− = ( )2

2 ⇔2.2 x+15.2 8 0x− = ⇔2 2x +15.2 8 0 2'x− =

Đặt t =2x >0 Khi đó: ( ) ( )

( )

2

8

 =



= −



x

Câu 17 Phương trình 5 25x+ 1 −x =6 có tích các nghiệm là :

A log5 1 21

2

  B log5 1 21

2

2

Hướng dẫn giải

( )

1

5 25x+ −x =6 1

( )

x

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = Đặt t = > 5x 0

( ) ( ) ( )

2

5

2

1 21 2

t



=



 +





−

 =



Với t= ⇒5 5x= ⇔ =5 x 1

x

Suy ra: 1.log5 1 21 log5 1 21

=

Câu 18 Phương trình (7 4 3+ ) (x+ +2 3)x=6 có nghiệm là:

A.x=log(2 3+ )2 B x =log 32 C x =log 22( + 3) D x =1

Hướng dẫn giải

Đặt t = +(2 3)x (t >0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

( )

2

2 3

2

3( )

t

=



2

x

  >

 

  là:

A. x ∈ −∞ − ( ; 5) B x ∈ −∞( ;5) C x ∈ − +∞ ( 5; ) D x ∈ +∞ (5; )

Hướng dẫn giải

2

x

  >

 

 

5

   

⇔  > 

    ⇔ < −x 5

Câu 20 Cho hàm số f x =( ) 2 32x sin 2x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. f x( )< ⇔1 xln 4 sin x ln 3 0+ 2 < B f x( )< ⇔1 2x+2sin log 3 0x 2 <

3

1 log 2 sin 0

2

f x < ⇔ +x <

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A

Câu 21 Tập nghiệm của bất phương trình 2x+2x+ 1 ≤3 3x+ x− 1

A.x ∈ +∞ [2; ) B x ∈(2;+∞) C x ∈ −∞( ;2) D (2;+∞ )

Hướng dẫn giải

2x+2x+ ≤3 3x+ x− 3.2 4.3

3

x

 

⇔  ≥

  ⇔ ≥x 2

9

x+

  >

 

  là:

A 2

x

x

< −



− < <

 B x < − 2 C 1− < <x 0 D 1− ≤ <x 0

Hướng dẫn giải

( ) 1 ln 2 3( 2x sin 2x) ln1 ln 4 sin x ln 3 02

Điều kiện: x ≠ − 1

2

x

1

x

x x

x x

< −

⇔ + < ⇔ − < <

 Kết hợp với điều kiện 2

x x

< −



⇒ − < <



Câu 23 Tập nghiệm của bất phương trình 16 4 6 0x− x− ≤ là

A. x ≤log 3.4 B x >log 3.4 C x 1.≥ D x ≥ 3

Hướng dẫn giải

Đặt t = (4x t > ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 0

2

4

t − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ < ≤ ⇔ ≤t t t x

3 2

x

x <

− là:

A.

3

1 log 2

x

x

>



 <

 B x >log 23 C x <1 D log 23 < <x 1

Hướng dẫn giải

3

1

log 2

x

x x

 >  >

−

< ⇔ > ⇔ ⇔ <

Câu 25 Tập nghiệm của bất phương trình 11 x+ 6 ≥11x là:

A.− ≤ ≤6 x 3 B x < −6 C x >3 D ∅

Hướng dẫn giải

6

2

0

6 0

0

6

x

x x

x

x

+

 <

− ≤ <





 + ≥



≥

+ ≥





3 5 3x ≤ x+ 1

+ − là:

A.− < ≤1 x 1 B x ≤ −1 C x > 1 D 1< <x 2

Hướng dẫn giải

Đặt t =3x (t > ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 0

3 1 0

t

− >



≤ ⇔ − ≤ + ⇔ < ≤ ⇔ − < ≤

Câu 27 Cho bất phương trình

2 1 2x 1

x x− + −

  > 

    , tập nghiệm của bất phương trình có dạng S=( )a b; Giá trị của biểu thức A b a= − nhận giá trị nào sau đây?

Hướng dẫn giải

2 1 2x 1

x x

  >  ⇔ − + < − ⇔ − + < ⇔ < <

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =( )1;2 Chọn đáp án A

Câu 28 Tập nghiệm của bất phương trình 4 3.2x− x+ >2 0 là:

Hướng dẫn giải

2 2

2 1

x

x

 >

− + > ⇔ 

<



1 0

x x

>



⇔  <



Câu 29 Tập nghiệm của bất phương trình 3 2x x+1≥72 là:

A x ∈ +∞ [2; ) B.x ∈(2;+∞) C.x ∈ −∞( ;2 ) D x ∈ −∞( ;2 ]

Hướng dẫn giải

1

3 2x x+ ≥72⇔2.6x ≥72⇔ ≥x 2

Câu 30 Tập nghiệm của bất phương trình 3x+ 1−22 1x+ −122x <0 là:

A. x ∈(0;+∞) B x ∈ +∞ (1; ) C. x ∈ −∞( ;0 ) D x ∈ −∞( ;1 )

Hướng dẫn giải

3x+ −2 x+ −12x <0⇔3.92x −2.16 122x− 2x <0 3 2. 16 2 4 2 0

⇔ −   −  <

2

3

x

 

⇔  >

  ⇔ >x 0

3 2

x x

x x

+

2

0;log 3

  B x ∈( )1;3 C x ∈(1;3 ] D 3

2

0;log 3

x∈  

Hướng dẫn giải

2

3 2

x x

x x

+

−

3

2

x

x

  −

 

 

  −

 

 

3

2

x

x

  −

 

 

  −

 

 

2

x

x

  −

 

 

  −

 

 

3

2

x

 

⇔ <  ≤

  ⇔ < ≤0 x log 332

Câu 32 Tập nghiệm của bất phương trình

x

    là:

A 0; 1

3

3

3

−∞ 

3

−∞ ∪ +∞

Hướng dẫn giải

Vì 2 1

5 < nên bất phương trình tương đương với

3

−

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 0;1

3

Câu 33 Tập nghiệm của bất phương trình 2x+4.5 4 10x− < x là:

A 0

2

x

x

<



 >

Hướng dẫn giải

2x+4.5 4 10x− < x ⇔2 10x− x+4.5 4 0x− < ⇔2 1 5x( − x) (−4 1 5− x)< ⇔ −0 (1 5 2 4x)( x− )<0

( ) ( )

0

x

x x

 − <  >

− > > >

<

 − >  < 

 − <  <

Câu 34 Tập nghiệm của bất phương trình 2 x −21 − x <1 là:

A − ≤ ≤1 x 1 B (−8;0 ) C ( )1;9 D (0;1 ]

Hướng dẫn giải

1

2 x −2− x <1 ( )1 Điều kiện: x ≥ 0

( )1 2 2 1 2( )

2

x x

⇔ − < Đặt t=2 Do x x≥ ⇒ ≥0 t 1

x

t

≥



− <  − − <



VẬN DỤNG Câu 35 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4x2− + 3 2x +4x2+ + 6 5x =42x2+ + 3 7x + 1

A x∈ − −{ 5; 1;1;2 } B x∈ − −{ 5; 1;1;3 } C x∈ − −{ 5; 1;1; 2 − } D x∈ −{5; 1;1;2 }

Hướng dẫn giải

2 3 2 2 6 5 2 2 3 7

4x − +x +4x + +x =4 x+ +x +1⇔4x2 − + 3 2x +4x2 + + 6 5x =4x2 − + 3 2x 4x2 + + 6 5x +1

2 3 2 2 6 5 2 6 5

4x− +x 1 4x+ +x 1 4x + +x 0

⇔ − − − = ⇔(4x2 − + 3 2x −1 1 4)( − x2 + + 6 5x )= 0

2

2

3 2

6 5

x x

x x

− + + +

⇔ 



2 2

⇔ 



= − ∨ = −



⇔  = ∨ =

Câu 36 Phương trình ( 3− 2) (x+ 3+ 2) ( )x = 10 x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

Hướng dẫn giải

⇔  +  =

f x = −  + + 

Ta có: f ( )2 1=

Hàm số f x nghịch biến trên  do các cơ số 3( ) 2 1; 3 2 1

− < + <

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =2

Câu 37 Phương trình 32x+2 3 1 4.3 5 0x( x+ −) x− = có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?

Hướng dẫn giải

2

3 x+2 3 1 4.3 5 0x x+ − x− = ⇔(32x− +1 2 3 1) x( x+ −) (4.3 4x+ )=0

(3 1 3 1x )( x ) (2x 4 3 1 0) ( x )

⇔ − + + − + = ⇔(3 2x+ x−5 3 1 0)( x+ =) ⇔3 2x+ x− = 5 0

Xét hàm số f x( )=3 2x+ x− , ta có :5 f ( )1 0=

( )

' 3 ln 3 2 0;x

f x = + > ∀ ∈  Do đó hàm số x f x đồng biến trên  ( )

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x =1

Câu 38 Phương trình 2x− 3 =3x2 − + 5 6x có hai nghiệm x x trong đó 1, 2 x x1< 2 , hãy chọn phát biểu đúng?

A 3x1−2x2 =log 83 B 2x1−3x2 =log 83

C 2x1+3x2 =log 54.3 D 3x1+2x2 =log 54.3

Hướng dẫn giải

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: ( ) 3 2 5 6

3 ⇔log 2x− =log 3x− +x

2

3

log 3

x

=





Câu 39 Cho phương trình (7 4 3+ ) (x+ +2 3)x =6 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Phương trình có một nghiệm vô tỉ B Phương trình có một nghiệm hữu tỉ

C Phương trình có hai nghiệm trái dấu D Tích của hai nghiệm bằng −6

Hướng dẫn giải

(7 4 3+ ) (x+ +2 3)x =6 ( )8

( )8 ⇔(2+ 3) (2x+ +2 3)x− = ⇔6 0 (2+ 3) (x2+ +2 3)x− =6 0 8'( )

Đặt t = +(2 3)x>0

Khi đó: ( ) 2 2 ( ) ( )

3

=



⇔ + − = ⇔ 

= −

 Với t= ⇒2 (2+ 3)x = ⇔2 x=log(2+ 3)2 Chọn đáp án A

Câu 40 Phương trình 33 3 + x+33 3 − x+34 +x+34 −x =103có tổng các nghiệm là ?

Hướng dẫn giải

3+ x+3− x+3 +x+3 −x =10 ( )7

Đặt 3 1 2 3 1 2

Côsi

3

Khi đó: ( )7' 27( 3 3 ) 81 103 3 103 10 2 ( )

Với 10 3 1 10 7''( )

( )

1 10

3

3

=







Với y= ⇒3 3x = ⇔ =3 x 1

y= ⇒ = ⇔ = −x

Câu 41 Phương trình 9sin 2x+9cos 2x =6 có họ nghiệm là ?

A , .( )

4 2

π kπ

2 2

π kπ

π kπ

π kπ

Hướng dẫn giải

2

cos

9

9

x

−

Đặt t=9cos 2x, 1( ≤ ≤t 9) Khi đó: ( )* 9 t 6 0 t2 6 9 0t t 3

t

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = Với 3 9cos 2 3 32cos 2 31 2cos2 1 0 cos 2 0 , ( )

Câu 42 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (2+ 3) (x+ 2− 3)x=m vô nghiệm?

Câu 43 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (2+ 3) (x+ 2− 3)x =m có hai nghiệm phân

biệt?

Hướng dẫn giải câu 8 & 9

Nhận xét: (2+ 3 2)( − 3)= ⇔1 (2+ 3) (x 2− 3)x=1

Đặt t (2 3) (x 2 3)x 1, t (0, )

t

( )1 t 1 m f t( ) t 1 m 1' ,( ) t (0, )

Xét hàm số f t( ) t 1

t

= + xác định và liên tục trên(0,+∞ )

Ta có: f t'( ) 1 12 t22 1

−

= − = Cho f t'( )= ⇔ = ± 0 t 1 Bảng biến thiên:

t − 1 0 1 +∞

( )

'

− 0 +

( )

f t +∞ +∞

2

Dựa vào bảng biến thiên:

+ Nếu m <2 thì phương trình ( )1' vô nghiệm⇒ pt( )1 vô nghiệm

Câu 8 chọn đáp án A

+ Nếu m =2 thì phương trình ( )1' có đúng một nghiệmt =1⇒ pt( )1 có đúng một nghiệm

+ Nếu m >2thì phương trình ( )1' có hai nghiệm phân biệt⇒ pt( )1 có hai nghiệm phân biệt

Câu 9 chọn đáp án A

Câu 44 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình 2x2+ 4 =22( )x2+1 + 22(x2+2)−2x2+ 3+ Khi đó, tổng hai 1

nghiệm bằng?