Bai 27 DABTTL PP don bien p4

Ch ng minh r ng Ch ng minh.

Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

x y z  xy  yz  z x 

4

P     x y z  x y z

GI I

 

2

3

2

* ý: x y,  0;1 nên 4x3x1

Ta ch ng minh:

4

3

ln 4

x

x

 

 

4

P x  y  z  x y z  x y z

4

t t  x y z, t 0

4

g t   t t

 

0

1

t

g t

t







BÀI 27 PH NG PHÁP D N BI N (PH N 4)

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ C VI T

h c B i d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn s d ng hi u

qu , b n c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -

BBT:

2

 

'

21

4

 

g t

    21

1

4

21

4

1 2

2 2 2

P

GI I

Ta có:

a b c  aba b  c c ab   c ab

2

2

1

2

1

2

T đó:

2

2

2

1

1

2 2 2

1

6 2

2 2

1

1

2 2

2 2

c a b

P

c a b

a b

c a b

a b





Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -

t t a b, 0 t 2 3

 

 

 

2

2

2 2

1

2 6 2

1

2

2

f t

t

     











BBT:

 

'

 

2



1

2

a b

c

 



3 [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities – Old and New Method]

Cho a b c d, , , là các s th c d ng th a mãn a   b c d 2, Ch ng minh r ng

3a 13b 13c 13d 1 7

Ch ng minh

Ta c n xác đ nh h s đ b t đ ng th c sau là đúng

2

(2 1)

3a 1 7 m a



D dàng tìm ra b t đ ng th c ph sau

2

0

T ng t v i các bi n còn l i

Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -

Xét hai tr ng h p sau đây

+ Tr ng h p 1

1

12

a b c d   a  b  c  d 

+ Tr ng h p 2

2

2

1 3

d



Xét t ng t v i các bi n còn l i ta tìm ra đi u ph i ch ng minh

ng th c x y ra khi và ch khi 1

2

a   b c d

4 Cho a b c, , là các s th c d ng th a mãn 2 2 2

3

a b c  Ch ng minh r ng

Ch ng minh

B t đ ng th c trên t ng đ ng v i

T đây suy ra ta ch c n ch ng minh tr ng h p 2 2 2

3

a  b c  là đ

Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có

5

a



a x b  y c z lúc đó ta có x  y z 3 và do đó ta ph i ch ng minh

1

1

0

0

cyc

cyc



 Không m t tính t ng quát gi s x    y z x 1 z Xét hai tr ng h p

+ Tr ng h p 1 y z    1 x 2 khi đó ta có

Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -

2x 3x 3 0, 2y 3y 3 0, 2z 3z 3 0

D n đ n bài toán hi n nhiên đúng

+ Tr ng h p 2 y z   1 x 2 khi đó ta có

3 3

x x

      

x





i u này luôn luôn đúng vì v i k 0,1 ta có

3

k

2

k thì bài toán đ c gi i quy t

2

k thì ta có

T y z  1 y z,  0,1

V y bài toán đ c gi i quy t hoàn toàn ng th c x y ra khi và ch khi a  b c 1

5 Tìm h ng s k tôt nhât đê bât đ ng th c sau đung v i moi a b c , ,  0

 

Ch ng minh

Cho a b 1,c0 ta đ c k5 Ta se ch ng minh r ng 5 chính là giá tr c n tì m, t c la qui vê ch ng

minh

 

S dung bât đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta co

Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 6 -

2

  

cyc

a

 



Không mât tinh tông quat ta chuân hoa a  b c 1 và a  b c 0suy ra 1 0

3

a   c Bât đ ng th c cân ch ng minh t ng đ ng v i

1

Ta phai xet hai tr ng h p

+ Tr ng h p 1 1

8

c  ta có

a

+ Tr ng h p 2 1

8

c  ta có

2

2

2

6

c

c

8

c

  vây nên ta se ch ng minh bât đ ng th c sau

1

6a 2a 1 6b 2b 1

3

1 1

6b 2b 1



 

3

b  , áp dung bât đ ng th c Cauchy-Schwarz, ta chi cân ch ng minh

46(a b ) 2( a b) 2

2(a b) c a(   b c) 3(a b )

T gia thiêt 1 3

3

b  ba do đo

Hocmai.vn– Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 7 -

Nh vây bai toan đa đ c ch ng minh ng th c x y ra khi và ch khi a  b c ho c a b c, 0 và các

hoán v H ng sô k tôt nhât cân tim la 5

Giáo viên : Lê c Vi t

Ngu n : Hocmai.vn