Bất đẳng thức Schur

1Bài viết về bất đẳng thức Schur, Vornicu − Schur và kỹ thuật pqrNguyễn Huy TùngLớp 8A1, THCS Hồng Bàng, Hải PhòngEmail: cr7forward@gmail.com Trong thế giới bất đẳng thức hiện nay, bất đ

1Bài viết về bất đẳng thức Schur, Vornicu − Schur và kỹ thuật pqr

Nguyễn Huy TùngLớp 8A1, THCS Hồng Bàng, Hải PhòngEmail: cr7forward@gmail.com

Trong thế giới bất đẳng thức hiện nay, bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh Tuynhiên nó không được đưa vào chương trình phổ thông và đây là một sự thiếu sót khá lớn.Bài viết này sẽ cung cấp cho các bạn một cái nhìn về bất đẳng thức Schur, Vornicu−Schur

và kỹ thuật pqr, một kỹ thuật rất hay để giải các bài toán ba biến

Vậy bất đẳng thức Schur đã được chứng minh

Hai kết quả được sử dụng nhiều nhất là r=1 và r=2 Với r=1, ta có bất đẳng thức Schur bậc ba

a(a−b)(a−c) +b(b−c)(b−a) +c(c−a)(c−b) ≥0 (1)

1 Tài liệu này được sử dụng vì mục đích học tập Bất cứ các thao tác, trao đổi nào trên tài liệu này vì mục đích thương mại đều phải được sự chấp thuận của tác giả.

Các dạng tương đương của bất đẳng thức trên là

a3+b3+c3+3abc≥ ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)(a+b+c)3+9abc≥ 4(a+b+c)(ab+bc+ca)

abc≥ (a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)

a2+b2+c2+ 9abc

a+b+c ≥ 2(ab+bc+ca)a

(hai bất đẳng thức cuối còn có tên gọi khác là bất đẳng thức Schur bậc ba ở dạng phân thức).

Trường hợp r=2, chúng ta thu được bất đẳng thức Schur bậc bốn

a2(a−b)(a−c) +b2(b−c)(b−a) +c2(c−a)(c−b) ≥0 (2)Dạng tương đương của bất đẳng thức trên là

a4+b4+c4+abc(a+b+c) ≥ab(a2+b2) +bc(b2+c2) +ca(c2+a2)

6abc(a+b+c) ≥ (2ab+2bc+2ca−a2−b2−c2)(a2+b2+c2+ab+bc+ca).Bất đẳng thức Schur có hai điểm đẳng thức là a = b= cvà a = b, c= 0 cùng các hoán vịtương ứng Điều này đã tạo nên độ mạnh cho bất đẳng thức này Một điều đáng chú ý làvới r chẵn, bất đẳng thức Schur đúng cho mọi số thực a, b, c

Tiếp theo là kỹ thuật quan trọng mà tác giả muốn chia sẻ với các bạn, đó là kỹ thuật pqr

2 Kỹ thuật pqr Với mọi số thực a, b, c đặt a+b+c = p, ab+bc+ca = q, abc = r, tathu được các đẳng thức sau

Ngoài ra còn rất nhiều đẳng thức khác mà các bạn có thể xây dựng trong quá trình giảitoán.

Từ các đẳng thức trên, ta có một số kết quả (với a, b, c không âm)

Cuối cùng, chúng ta cùng chuyển sang dạng suy rộng của bất đẳng thức Schur, bất đẳngthức Vornicu−Schur

3 Bất đẳng thức Vornicu−Schur Với a ≥ b ≥ c là các số thực bất kỳ và x, y, z là các số thực không âm, xét bất đẳng thức sau

Chứng minh 1 2 3 tương tự như cách chứng minh của bất đẳng thức Schur, tuy nhiênchứng minh cho 4 lại có chút khó khăn.

Viết lại bất đẳng thức dưới dạng

x· a−c

b−c+z·

a−c

a−b ≥ y,hay là

Như vậy 4 đã được chứng minh xong

Ngoài ra còn rất nhiều các tiêu chuẩn khác mà các bạn có thể tìm thấy trong các tài liệu vềbất đẳng thức

Chắc đang có nhiều bạn tự hỏi rằng: "Làm cách nào để có thể đưa một bất đẳng thức vềdạng chuẩn tắc theo Vornicu−Schur?" Bằng kinh nghiệm của bản thân, tác giả xin giớithiệu tới các bạn một cách chuyển đổi, có thể là chưa "tối ưu" và "hoàn hảo" cho lắm Trướctiên ta sẽ đưa bất đẳng thức trên về dạng

và bất đẳng thức Vornicu−Schur

Trong quá trình giải toán, nếu kết hợp kỹ thuật pqr, bất đẳng thức Schur và bất đẳng thứcVornicu−Schur với các phương pháp như cổ điển, dồn biến, SOS, sẽ tạo ra một sứcmạnh "không tưởng" Điều này sẽ được chứng minh trong phần sau

II Áp dụng

1 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)

(Darij Grinberg)

Lời giải.Theo bất đẳng thức AM−GM, ta có

2abc+1= abc+abc+1 ≥33

2 Với mọi số thực không âm a, b, c, ta luôn có

5(a+b+c) = 5

6 ·2·3· (a+b+c) ≤

56

h

9+ (a+b+c)2i,hay là

7a2+b2+c2+ 27abc

(a+b+c) ≥10(ab+bc+ca)

Mà 4 a2+b2+c2 ≥4(ab+bc+ca)(theo AM−GM) nên bài toán được đưa về

a2+b2+c2+ 9abc

a+b+c ≥2(ab+bc+ca).Nhưng đây chỉ là bất đẳng thức Schur bậc ba ở dạng phân thức Đẳng thức xảy ra khi vàchỉ khi a=b= c=1

3 Nếu a, b, c là các số thực không âm thì

Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b=c=1

4 Giả sử a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a5+b5+c5 =3 Chứng minh

trong đó x=a5, y=b5, c= z5và x+y+z=3 Bất đẳng thức trên tương đương với

(x+y+z)(xy+yz+zx) +3(xy+yz+zx) ≤15+3xyz,hay là

4(a2+bc)2+4(b2+ca)2+4(c2+ab)2 ≥3(a2+b2+c2)2.Bất đẳng thức này tương đương với

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b, c=0 cùng các hoán vị.

6 Cho a, b, c là các số thực không âm, tất cả không đồng thời bằng 0 Chứng minh

a3+b3+c3+3abc≥ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a).Tuy nhiên đây lại là bất đẳng thức Schur bậc ba nên nó hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy rakhi và chỉ khi a=b=choặc(a, b, c) ∼ (1, 1, 0)cùng các hoán vị

7 Cho a, b, c là các số thực không âm trong chúng không có hai số nào đồng thời bằng 0 Chứng

= ∑ ab(a−b)

2

(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)

Nên bất đẳng thức đã cho có thể được viết lại thành

(Iurie Borieco, Ivan Borsenco)

Lời giải.Cho x = y = 1, z = 0, ta thu được a ≥ a0 = 3 ln 3−4 ln 2

2 ln 2−ln 3 ≈ 1.81884 Ta

sẽ chứng minh đây là giá trị nhỏ nhất của a, tức là

 x+y+z3

a 0 xy+yz+zx

3

3 − a0 2

≥ (x+y)(y+z)(z+x)

Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đồng bậc cho x, y, z nên không mất tính tổng quát,

ta có thể chuẩn hóa cho p= x+y+z=1 Đặt q=xy+yz+zx, r=xyz, khi đó bất đẳngthức trên được viết lại thành

r+8q3−2a0

33+2a0

≥q

−q

=q3−2a0

8

33+2a0

− 14

a0 − 1 2

 Do đó

f(q) ≥min



f 13

, f 14

Do đó ta chỉ cần chứng minh được

√

2∑ab(a+b) −6abc≤1.

Đổi biến theo p, q, r, ta có q= p2−1

2 Bất đẳng thức trên tương đương với

11 Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1 Chứng minh

Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= 3+√

3

6 , b=

3−√3

6 , c= 0cùng các hoán vị

12 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca+6abc = 9 Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng

a+b+c+3abc≥6

(Lê Trung Kiên, Võ Quốc Bá Cẩn)

Lời giải. Đổi biến theo p, q, r, ta có q+6r = 9, và bất đẳng thức đã cho tương đươngvới

p+3r≥6,hay là

Lời giải. Đặt theo p, q, r và biến đổi tương đương, rút gọn, bất đẳng thức đã cho đượcviết lại thành

108−48q+39r−3r2≥0,hay là

4(9−4q+3r) +r(1−r) ≥0

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng do 9−4q+3r ≥ 0 (bất đẳng thức Schur bậc ba)

và 1 ≥ r (AM−GM) nên ta có điều cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

15 Với các số thực không âm a, b, c trong chúng không có hai số nào cùng bằng 0, ta luôn có

(Ji Chen, Iran TST 1996, Crux Mathematicorum)

Lời giải.Đổi biến theo p, q, r, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(p2+q)2−4p(pq−r)(pq−r)2 ≥ 9

4q,hay là

3pq(p3+9r−4pq) +q(p4+6q2+4pr−5p2q) +r(pq−9r) ≥0

Bất đẳng thức trên đúng do p3+9r ≥ 4pq, p4+6q2+4pr ≥ 5p2q(Schur) và pq ≥ 9r(AM−GM) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=choặc a=b, c=0 cùng các hoán vị.

16 Cho các số thực không âm a, b, c trong chúng có ít nhất hai số dương Chứng minh

a

b+c

2

+

b

c+a

2

+

c

(Trần Quốc Anh, Dương Đức Lâm)

Lời giải. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức đã cho với (a+b)(b+c)(c+a), ta có thểviết lại nó dưới dạng

là bất đẳng thức Schur bậc ba Phép chứng minh được hoàn tất

17 Với mọi số dương x, y, z, ta luôn có

12x2+yz+

12y2+zx +

12z2+xy ≤

13

√

abc,

tương đương với

∑a(aa−2+b)(2bca−c)+

13

√

abc ≥

a+b+c

ab+bc+ca.Theo bất đẳng thức Vornicu−Schur, ta có ∑a(a−b)(a−c)

q(2q−9r)

27r2+2(2−9q)r+2q3 ≤ q

2

r ,hay là

19 Cho a, b, c là các số thực không âm, trong chúng không có hai số nào cùng bằng 0 Chứng

nên cũng theo định lý 1 ta có điều phải chứng minh Bất đẳng thức bên trái có đẳng thứckhi a=b=choặc a=b, c=0 cùng các hoán vị, bất đẳng thức bên phải có đẳng thức khi

Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b≥ c Dễ thấy b+ac ≥ b

c + a nên định lý 1 cho ta điềuphải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = choặc a = b, c = 0 cùng cáchoán vị

21 Chứng minh với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca > 0, ta có bất đẳng thức

a2a+c ≥

b2b+c.Suy ra

s

9(a3+b3+c3)(a+b+c)3

 a3+b3+c3



Do đó ta chỉ cần chứng minh được

a3+b3+c3

36(a3+b3+c3)(a+b+c)3

36(a3+b3+c3)(a+b+c)3 −4 = 4 ∑(8a+5b+5c)(a−b)(a−c)

(a+b+c)3 ,

ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng

x(a−b)(a−c) +y(b−c)(b−a) +z(c−a)(c−b) ≥0,với

x= a+b+c

4(8a+5b+5c)(a+b+c)3

và các biểu thức y, z tương tự Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c Dễ thấy

x ≤ y ≤ znên ta chỉ cần chứng minh x≥0 là đủ Chuẩn hóa cho b+c=1, khi đó a ≥ 12

và

x= a+1

4(8a+5)(a+1)3 ≥ 4(a+1)

4(8a+5)(a+1)3

Vậy ta luôn có z ≥ y ≥ x ≥ 0 Từ đây, theo định lý 1 ta có điều phải chứng minh Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi a=b= c

Qua những bài toán trên hẳn các bạn đã thấy được tầm ứng dạng rộng rãi và hiệu quảcủa bất đẳng thức Schur, Vornicu−Schur và kỹ thuật pqr Sau đây là một số bài tập để cácbạn thử sức

Bài tập 1. Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = 3, hãychứng minh bất đẳng thức

trong đó a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca>0

(Lê Trung Kiên)

Bài tập 3. Cho a, b, c là các số thực không âm, trong chúng không có hai số nào cùngbằng 0 Chứng minh

Bài tập 9. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca+abc = 4 Chứngminh

a3+b3+c3+9abc≥4(a+b+c)

(Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh)

Bài tập 10.Cho a, b, c là các số dương có tổng bình phương bằng 3 Chứng minh

Bài tập 12.Với a, b, c là các số dương có tổng bằng 3, hãy chứng minh