Trước hết ta bắt đầu với bài toán.. Bất đẳng thức Schur và các hệ quả. a) Bất đẳng thức Schur.. Một số bài toán ứng dụng hệ quả của bất đẳng thức Schur.[r]
Trang 1Ứng dụng của một hệ quả của
bất đẳng thức Schur
Trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông thì bài tập chứng minh bất đẳng thức là một trong những loại bài tập khó Cái khó của loại bài tập này là ở chỗ, mỗi bài nó có một cách tiếp cận riêng, cách giải riêng và độc đáo Chứa đựng trong chúng là những kiến thức sâu rộng và những kĩ năng phức tạp, nó đòi hỏi chúng ta cần phải có tư duy linh hoạt, kĩ năng thuần thục tới độ “linh cảm” Mặc dù chúng ta đã biết rất nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết, phương pháp quy nạp, phương pháp đánh giá đại diện, phương pháp phản chứng ; cũng như
đã có nhiều kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức là rất phong phú Trong khi đó nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông lại đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy, khả năng linh hoạt và óc sáng tạo; đồng thời nó cũng giúp học sinh rèn luyện tính cần cù, tinh thần vượt khó Hơn thế nữa, mỗi bất đẳng thức và cách chứng minh bất đẳng thức đó có một
vẻ đẹp lộng lẫy và sức hấp dẫn kì lạ đối với mỗi người nghiên cứu chúng nên việc nghiên cứu chúng còn có tác dụng kích thích sự say mê trong học tập môn Toán cũng như các môn học khác Bên cạnh đó, sau khi giải xong một bài tập về bất đẳng thức, một câu hỏi thường được đặt ra với chúng ta là: Bất đẳng thức này từ đâu mà có? Bất đẳng thức này có thể ứng dụng để chứng minh được các bài toán nào? Để trả lời câu hỏi này thật không đơn giản chút nào
Trước hết ta bắt đầu với bài toán Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng
(a b c a b c b c a+ − )( − + )( + − )abc
Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đối xứng ba biến và nó là một hệ quả của bất đẳng
thức Schur Có ba cách giải đều rất hiệu quả như sau
Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a b c, ,
Cách 1 Khi đó a b c+ − 0;a c b+ − 0
Nếu b c a+ − 0 thì bất đẳng thức đã cho đúng
Do đó ta chỉ còn xét cả ba đại lượng a b c a c b b c a+ − ; + − ; + − đều dương
Theo bất đẳng thức Cauchy
+ − + − +
− + − + +
+ − + + −
2 2
2 2
2 2
2 2 2
a b c a b c
a b c a b c
b c a a b c
Do cả hai vế của các bất đẳng thức trên đều dương, nên nhân vế với vế ta được
Hay ta được (a b c a b c b c a+ − )( − + )( + − )abc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Cách 2 Ta có bất đẳng thức hiển nhiên 2− −( )2 2
a b c a hay
Trang 2( + − )( − + ) 2
Tương tự ta có thêm hai bất đẳng thức nữa
( + − )( + − ) 2 ( + − )( + − ) 2
;
Do cả hai vế của các bất đẳng thức trên đều dương, nên nhân vế với vế ta được
Hay ta được (a b c a b c b c a+ − )( − + )( + − )abc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Cách 3 Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được
Không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c Khi đó ta có
2
0 3
Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh
Khá bất ngờ với cách giải thứ ba bởi vì khi biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được một hệ quả khác của bất đẳng thức Schur, thông thường với bài toán trên ta thường sử dụng cách thứ nhất hoặc cách thứ hai Một vấn đề được đặt ra ở đây là từ bất đẳng thức
(a b c a b c b c a+ − )( − + )( + − )abc
Ta có thể ứng dụng để chứng minh được một lớp những bất đẳng thức nào?
1 Bất đẳng thức Schur và các hệ quả
a) Bất đẳng thức Schur Cho a b c, , là các số thực không âm Khi đó ta có
( − )( − +) ( − )( − +) ( − )( − 0)
b) Hệ quả Cho a b c, , là các số thực không âm Khi đó ta có
• 3+ + +3 3 2( + +) 2( + +) 2( + )
3
• abc(a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − )
2 Một số bài toán ứng dụng hệ quả của bất đẳng thức Schur
Với hai hệ quả trên ta sẽ ứng dụng để chứng minh được một lớp các bất đẳng thức đối xứng bậc ba, qua đó ta sẽ thấy được ứng dụng rộng lớn của bất đẳng thức Schur
Bài toán 1 Cho a b c, , là các số thực không âm Chứng minh rằng
Lời giải
Để ý đến đẳng thức
(a b c ab bc ca+ + )( + + )=a b c2( + +) b c a2( + +) c a b2( + +) 3abc
Khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành
Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức Schur
Bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và cỉ khi a b c= =
Bài toán 2 Cho a b c, , là các số thực không âm Chứng minh rằng
( + + )3+ ( + + )( + + )
Trang 3Lời giải
Để ý đến đẳng thức ( + + )3 = 3+ + +3 3 ( + )( + )( + )
3
Do đó ta được ( + + )3+ = 3+ + +3 3 + ( + )( + )( + )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Schur ta được
( )( )( )
Để ý đến các đẳng thức
a b c b c a c a b abc a b c ab bc ca
a b b c c a abc a b c ab bc ca
Do đó ta được
4
a b c b c a c a b abc a b b c c a
a b c ab bc ca
Suy ra a3+ + +b3 c3 9abc+3(a b b c c a+ )( + )( + ) (4 a b c ab bc ca+ + )( + + )
Hay ( + + )3+ ( + + )( + + )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Bài toán 3 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng
+ +
2
abc
a b c
Lời giải
+ +
2
abc
a b c
Tương đương với ( + + ) + ( + + )
+ +
4
abc
( + + )3+ ( + + )( + + )
Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bài toán 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài toán 4 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng
( )( )( )
4
2
b c c a a b a b b c c a
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( )( )( )
4 2
a a b a c b a b b c c c a b c abc
a b b c a c
Hay tương đương với
3 3
a b c abc a b ab b c bc c a ca
a b c abc a b c b c a c a b
Bất đẳng thức cuối cùng là hệ quả của bất đẳng thức Schur
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Trang 4Bài toán 5 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + = 1 Chứng minh rằng
( + + ) +
Lời giải
Bất đẳng thức có các vế chưa đồng bậc, chú ý đến giả thiết a b c+ + = 1 ta đồng bậc hóa bất đẳng thức thành
( + + )( + + ) + ( + + )3
Đây chính là bất đẳng thức trong bài toán 2
Bài toán 6 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c+ + = 1
Chứng minh rằng + + −2 7
27
Lời giải
Dễ dàng chứng minh được (a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − ) abc
Hay (1 2− a)(1 2− b)(1 2− c)abc, khai triển ra ta được
a b c ab bc ca abc abc
ab bc ca abc
Từ đó suy ra + + 1 9+
4
abc
Mặt khác, từ a b c+ + = 1 và bất đẳng thức Cauchy ta được + + =
3
1
a b c
abc
Bất đẳng thức được chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra tại = = =1
3
Nhận xét Một lớp các bất đẳng thức tương tự
• 7(ab bc ca+ + ) 9abc+ 2
• 2(a3+ +b3 c3)+ 3abc a 2+ +b2 c2
27
ab bc ca abc
• 6(a3+ +b3 c3)+ 9abc1
• 2+ + +2 2 13
4
27
• 8( + + ) 9 +7
3
Bài toán 7 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng
a b b c c a
Lời giải
Áp dụng bất đẳng tức Cauchy dạng + +
+ +
x y z x y z ta được
Trang 5
Ta cần chỉ ra được + + + ( + + )
+ +
2
abc
3
Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức Schur
Như vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài toán 8 Cho a b c, , là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng
( + + )
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau
+ +
3
2
a b b c c a
Theo bất đẳng thức dạng + +
+ +
x y z x y z ta được
Ta cần chỉ ra được + + + ( + + )
+ +
2
abc
3
Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức Schur
Bài toán trên được chứng minh xong
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c= =
Bài toán 9 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc= 1 Chứng minh rằng
2
b c c a a b
Lời giải
Đặt x a y b z c= 3; = 3; = 3xyz =1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2
y z z x x y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
Trang 6( )
( )( ) ( ( )( ) ) ( ( )( ) )
+ + +
2
3
x y z
+ + +
2
3
2
x y z
xy yz zx x y z , bất đẳng thức này tương đương với
Hay 3 2 xy yz zx ( + + )−(x2+y2+z2)
Từ bất đẳng thức quen thuộc (x y z y z x z x y+ − )( + − )( + − )xyz
Khai triển và biến đổi tương đương ta được
(x y z+ + )3+9xyz 4(x y x xy yz zx+ + )( + + )
Do đó ta được ( + + ) (− + + ) =
4 xy yz zx x y z xyz
x y z x y z
Hay ( + + )−( + + )
+ +
2 xy yz zx x y z
x y z
Cuối cúng ta cần chỉ ra rằng
+ +
9
3
x y z hay x y z+ + 3 Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra tại a b c= = = 1
Bài toán 10 Cho a b c, , là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng
( + + ) (3 + − )( + − )( + − ) 2 2 2
27
Lời giải
Xét trường hợp (a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − 0) , bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Xét trường hợp (a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − 0) , khi đó dễ dàng chứng minh được
(a b c+ − ) 0;(b c a+ − )0;(c a b+ − ) 0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( + + ) (3 + − )( + − )( + − ) 3 3 3 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
( + − )( + − )( + − ) ( + − +) ( + − +) ( + − )3
3
Khi đó ta được
( + − )( + − )( + − )( + + )3 ( + + )−( 2+ +2 2)3( + + )3
Như vậy ta cần chứng minh ( + + ) ( + + )−( + + )
Trang 7Hay + + + ( + + )
+ +
2
abc
Khai triển và rút gọn ta được
a b c abc a b c b c a c a b abc a b c b c a c a c
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi a b c, ,
Bất đẳng thức được chứng minh
Bài toán 11 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca+ + = 1 Chứng minh rằng
12
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
3
3
Như vậy ta cần chứng minh ( )
64
ab bc ca hay ta cần chứng minh bất đẳng
thức (1+ab)(1+bc)(1+ca) (8 1−ab)(1−bc)(1−ca)
Đặt x ab y bc z ca= ; = ; = , khi đó x y z, , 0 và x y z+ + = 1
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (1+x)(1+y)(1+z) (8 1−x)(1−y)(1−z), tương đương với bất đẳng thức 9xyz7(xy yz zx+ + )−2
Ta dễ dàng chứng minh được + + + ( + + )
+ +
2
xyz
x y z xy yz zx
x y z
Mà x y z+ + = 1 nên ta suy ra được 9xyz4(xy yz zx+ + )−1
Vì x y z+ + = 1 nên 3(xy yz zx+ + )1, do đó
( + + )− ( + + )−
Điều này dẫn tới 9xyz7(xy yz zx+ + )−2
Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh
Bài toán 12 Cho a b c, , là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng
( 2+ )( 2+ )( 2+ ) ( + + )2
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Hay a b c2 2 2+2(a b2 2+b c2 2+c a2 2)+a2+ + + b2 c2 8 6(ab bc ca+ + )
Áp dụng bất đẳng thức Caychy ta được
Trang 8( )
a b c a b b c c a a b c
a b c a b b c c a a b c abc ab bc ca a b c
Phép chứng minh hoàn tất nếu ta chỉ ra được
Dễ dàng chứng minh được
+ +
2
abc
a b c
Ta cần chỉ ra được + +( )( + + )
+ +
9
a b c
Đánh giá cuối cùng luôn đúng vì theo bất đẳng tức Cauchy thì
Vậy bài toán được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= = = 1
Bài toán 13 Cho a b c, , là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng
( 2+ +2 2)+ + ( + + )
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( + + ) +
+ +
2
9 6
a b c
a b c
Bài toán quy về chứng minh
( + + )+ + ( + + ) +
2
6
Hay 7( 2+ +2 2)+ + 1 5( + + )
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
+
+ +
3 2 2 2
3
abc a b c abc abc abc
a b c abc
Do đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
( + + )+ ( ) ( + + )
+ +
abc
a b c ab bc ca
a b c
+ +
a b c
Theo một đánh giá quen thuộc thì 4(a2 + +b2 c2)4(ab bc ca+ + ) nên ta được
( + + )+ ( + + )+ + ( + + )
Ta cần chỉ ra được
+ +
+ +
3.9
9
2
abc
a b c abc
a b c
Trang 9Đánh giá cuối cùng đã được chứng minh
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= = = 1
Bài toán 14 Cho a b c, , là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng
( )( )( )
2
14
4
b c c a a b a b b c c a
Lời giải
b c c a a b, khi đó ta được
1 1 1 xy yz zx xyz
x y z
Dễ dàng chứng minh được + + 3
2
( + + )2+
Dễ ta chứng minh được
+ +
+ +
2
2
9
4
9
xyz
x y z
xyz
x y z
Từ + + 3
2
+ +
9
6
xyz
xyz
x y z , do đó ta được
+ +
9
14xyz 4 xy yz zx xyz 4 xy yz zx 8xyz 4
x y z
Do đó ta được(x y z+ + )2+14xyz4
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Bài toán 15 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + = 1 Chứng minh rằng
1 2
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
+ +
2
a b c
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
( + + )2 + + ( − )2+ ( − )2+ ( − )2
Hay 1 4 ab a b( + +) 4bc b c( + +) 4ca c a( + +) 3abc
Để ý đến giả thiết ta viết lại được bất đẳng thức trên thành
( + + )3 ( + +) ( + +) ( + +)
Trang 10Hay 3+ + +3 3 ( + +) ( + +) ( + )
3
Biến đổi tương đương ta được abc(a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − )
Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đúng và dễ dàng chứng minh được
Vậy bài toán được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= = = 1 hoặc = =1; =0
2
a b c và các hoán vị
- Hết -