Chương 6 Tích phân xác định.doc

Chương 6 Tích phân xác định.doc

Tích phân xác định:

1/ Bài toán diện tích hình thang cong: 4

2/ Định nghĩa tích phân xác định: 5

3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction): 5

4/ Các tính chất của tích phân xác định: 8

5/ Công thức Newton – Leibnitz:         b b a a f x F b  F a F x  11

6/ Tính gần đúng tích phân xác định: 13

a/ Đa thức nội suy: 13

Công thức hình thang: 14

Công thức Simpson: 15

7/ Ứng dụng hình học của tích phân xác định: 17

7.1/ Tính diện tích hình phẳng: 17

          a a a 0 * I f x dx 2 f x dx with f x là hàm chan : f x f x       19

        a a * I f x dx 0 with f x là hàm le : f x f x      20

7.2/ Trường hợp biên của hình phẳng cho trong tọa độ cực 21

7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng 22

7.4/ Tính thể tích vật thể 24

7.5/ Tính thể tích vật thể tròn xoay 25

7.6/ Tính diện tích mặt tròn xoay 26

8/ Sơ đồ ứng dụng tích phân 27

9/ Tích phân suy rộng 28

9.1/ Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn: 28

9.2/ Trường hợp hàm số lấy tích phân ko bị chặn 29

9.3/ Tiêu chuẩn so sánh: 29

9.4/ Hội tụ tuyệt đối 31

Cách đưa tích phân suy rộng loại 2 về tích phân suy rộng loại 1 31

Bài tập 32

ax 2 2 0 b * I e sin bx.dx a b      32

1/ Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng: 33

  1 p 0 ln x dx 7 / J x   34

 

n /2

0

i 0

2i

2n!!

2n 1 !!

2i 1

















45

t 2 2t 0 te 7 / I dt 8 1 e         47

      n 1 n a n 1 0 1 n! * x ln x dx a 1      48

  1 n 2 0 1 * x ln x.dx n 1     48

1 2 2 2 0 t log t 8 / I dt 1 8 t 1       48

3/ Dùng định nghĩa tính các tích phân: 49

4/ Tính các đạo hàm: 51

5/ Tính các giới hạn 51

    n 1 1 1 1 1 / I lim a 0, b 0 n.a n.a b n.a 2b n.a n 1 b                    .51

  n n 2n ! 1 4 3 / lim n n! e    52

  b a b n n n i 1 1 a b a b 4 / lim n.a i.b n a e                            53

i n 2 n 4 n i 1 i 1 5 / lim n e            54

  2 n 3 a 1 2 a a 1 n i 1 1 i 7 / lim ln i e n n              56

    n n 2k 2k 1 n i 1 n i 1 2k 1 !! i i 2k!! 8 / lim sin 9 / lim sin 2n 2n 2k!! 2 2n 2n 2k 1 !!                             .57

1/ Bài toán diện tích hình thang cong:

Cho hàm số y  f(x), xác định, liên tục trên khoảng đóng [a, b] Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) trên [a, b], các đường thẳng x  a, x b và trục hoành Ox Ta định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB

Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

Bay gio, tu cac diem chia x i 0,n ta dung cac duong thang x x ,

nhu the ta da chia hình thang cong AabB

thành n hình thang cong nho P x x P i 1,n

moi hình thang cong nho dó có day x x x i 1,n

Theo gia thiet, hàm so f x lien tuc tren a,b ,

x xi 1 i,x

ên cung liên tuc trên x , x , i 1,n

do dó f x dat dc giá tri nho nhat m min f x

and giá tri lon nhat M max f x

Về mặt hình học: tích số m xi  i chính là diện tích của hình chữ nhật trong có chiều rộng

là xi và chiều dài là m Tích số i M xi  i chính là diện tích của hình chữ nhật ngoài có chiều rộng là xi và chiều dài là M , hình thang cong nhỏ thứ i i P xi 1 i 1 i i  x P luôn bị các hình chữ nhật trong và ngoài kẹp

Gọi S and S là tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong và ngoài, để cho gọn, gọi* *

Và lap tong: A f c x with x x x

if when n and max x 0 A có gioi han huu han I lim A I

thi I dc goi là tich phan xac dinh cua hàm so f x lay trên khoang dong a, b

Khi đó, ta cũng nói rằng hàm số f(x) khả tích (intergrable) in [a, b]

Diện tích (area) hình thang cong AabB là:  

b a

Sf x dx

3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction):

* Định lí (theorem): dk (condiction) để (of) hàm số (function) f(x) khả tích (intergrability)trên [a, b] là:  

trong do s m x là tong tich phan duoi,

S M x là tong tich phan tren

Prove that: gia su ton tai tich phan I f x dx lim A A f c x

gia su assume có has lim S s 0 mà s I S, s A S A I

f kha tich intergrable trên a, b

let M m dc goi là dao dong cua f trong x , x

xi 0i 10

i

2

* Calculate I x dx because f x continuous lien tuc in 0,1

f x intergrable kha tich in 0,1 x dx lim c x

b i

a

* Calculate I sin x.dx because f x sin x continuous lien tuc in 0,1

f x intergrable kha tich in 0,1

therefore do dó can be choose phan diem sao cho :

b a

x a, x a ih with h , i 1, n khi do max x x h

nchoose c a i 1 h sin x.dx li

m sin c h

sin a i 1 h h.2sin h/2dat A sin c h sin a i 1 h h

I sin x.dx lim cos a

sin2

Cm : gia su a c b and f x kha tich tren a, b Xét 1 phân diem P trong do diem c

dc chon làm diem chia : f d x f d x f d x d x

7/ Định lí trung bình 1: cho f(x) khả tích trên [a, b], and m  f(x)  M with x  [a, b], khi

đó tồn tại c sao cho:

ton tai d a, b sao cho f d c; m c M

8/ Định lí trung bình 2: Giả sử: 1/ f(x) và tích f(x).g(x) khả tích trên [a, b]

2/ m  f(x)  M 3/ g(x) ko đổi dấu trên [a, b] (g(x)  0 or g(x)  0)

4/ f(x) liên tục in [a, b]

G x f t dt, x a, b

If f(t) khả tích trên đoạn [a, b] thì G(x) liên tục đối với x  [a, b]

Cm: cho x 1 số gia ∆x  h sao cho x + h  [a, b], khi đó ta có:

, ta duoc :

Nhu vay G b G a dc bieu dien o dang tong tích phân cua

hàm f x trên doan a, b Cho x 0, ta dc : G b G a f x dx



Cm: Giả sử có 2 đa thức P x , Qn  n x cùng là đa thức nội suy của f(x).Lúc đó theo địnhnghĩa, ta có:

P x y , Q x y  hiệu P xn   Qn x là 1 đa thức có bậc ≤ n và triệt tiêu tại n+ 1 giá trị khác nhau x , i 1, n 1 vì P xi    n i  Qn  xi yi  yi 0 Do vậy đa thức hiệu P xn   Qn  x phải bằng đa thức 0,  P xn  Qn x

Đa thức nội suy Larrange:

Tính I f x dx f x xác dinh và lien tuc trên a, b

Dùng he phân diem deu, chia a, b

thành n doan con bang nhau boi các diem chia :

Script tính gần đúng tích phân xác định b  2

a

sin x dx

 theo công thức hình thang:

a = input('nhap vao can duoi a: ');

b = input('nhap vao can tren b: ');

 theo công thức Simson

a = input('nhap vao can duoi a: ');

b = input('nhap vao can tren b: ');

t1 '

aVay so : a x dx a 1 sin t.a cos tdt a cos tdt

2

a 1a

f cos t dt f cos t dt f cos t dt 2 f cos t dt

because f cos t là hàm chan f cos t f cos t

f sin t dt f sin t dt f sin t dt 0 with f là hàm le

0

Calculate area bounded by 2 curves : y 2px, x 2py

x 0x

x 2p2p

x

2p2p

Calculate area figure limited by cycloide line :

7.2/ Trường hợp biên của hình phẳng cho trong tọa độ cực

Giả sử đường cong của hình phẳng cho trong tọa độ cực Để tính diện tích của hình quạt cong giới hạn bởi 2 tia φ  a, φ  b (a  b) và cung AB của đường cong r  r(φ), ta chia góc AOB thành n góc nhỏ, kí hiệu là i, i 1, n , như thế hình quạt AOB được chia thành n hình quạt nhỏ có diện tích Si xấp xỉ bằng diện tích hình quạt tròn

2 2

7.3/ Tính độ dài đường cong phẳng

Cho hàm số y  f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], AB là đồ thị của f(x)

Lấy trên cung AB những điểm

x t

coi x, y dc bieu dien theo tham so ta dc :

Cho 1 vật thể A giới hạn bởi 1 mặt cong và 2 mặt phẳng x  a, x  b, a  b

Giả sử ta biết diện tích S thiết diện của vật thể trên mặt phẳng vuông góc với trục Ox là S

 S(x), trong đó x là hoành độ giao điểm mặt phẳng cắt trục Ox, S(x) liên tục trong đoạn [a, b], a ≤ x ≤ b Ta sẽ định nghĩa thể tích vật thể trên Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: a x o x1 x n b

Qua mỗi điểm chia x ta dựng 1 mặt phẳng vuông góc trục Ox, các mặt phẳng đó chia vật ithể A thành n vật thể nhỏ Trên mỗi đoạn x , xi i 1  lay 1 diem ci, dựng hình hộp giới hạn bởi các mặt phẳng x x , x x i  i 1

Thể tích của hình hộp đó là S c x , x i  i  i xi 1  xi  thể tích của vật thể A là:

b n

Cat elipxoit boi 1 mat phang vuong góc voi truc Ox

tai diem có hoành do x a,a

d 2 c

V g y dy

Xét cung AB , đồ thị của hàm số y  f(x), x  [a, b], với f(x), f x liên tục trong [a, b], ' 

cho cung AB quay quanh trục Ox và tính diện tích mặt tròn xoay này

Lấy trên cung AB những điểm

khi quay quanh Ox, dây cung M M

sinh ra 1 mat nón cut có dien tích xung quanh là :

Trường hợp đường cong có pt x  g(y), g(y) liên tục trong [c, d] thì điện tích mặt tròn xoay sinh ra bởi cung của đồ thị x  g(y) quay quanh trục Oy là:

d

'2 c

S 2 g y 1 g y dy

Area of vòng xuyến bằng tổng diện tích sinh bởi 2 nửa đường tròn khi quay quanh Ox

Ex: Calculate area of hình vòng xuyến sinh bởi đường tròn x2 y b 2 a2 b a 

quay quanh trục Ox

Nửa đường tròn trên có pt: y1  b a2  x2

Và nửa đường tròn dưới có pt: y2  b a2  x2

 

2 2

Sơ đồ tích phân: chia đoạn [a, b] thành n phần bởi phân điểm:

Giả sử điện tích e dc đặt ở gốc tọa độ O, hãy tính công của lực F sinh ra do điện tích 1 e 2

di chuyển từ điểm M (có hoành độ a) đến điểm 1 M (có hoành độ b) trên Ox 2

Gọi A(x) là công của lực đẩy F sinh ra do e di chuyển từ điểm 2 M có hoành độ x đến 1điểm M có hoành độ x + dx sao cho dx rất bé Vì dx bé nên có thể coi lực đẩy F trong đoạn [x, x + dx] ko đổi

9.2/ Trường hợp hàm số lấy tích phân ko bị chặn

Xét hàm số f(x) ko bị chặn tại điểm b trong đoạn [a, b], f(b) ko xác định và b được gọi là điểm bất thường của f(x) Nếu tồn tại giới hạn  

b c

c 0 alim f x dx



  thì giới hạn đó được gọi là

tích phân suy rộng của hàm f(x) trên đoạn [a, b] và tích phân  

b a

g xthì f x dx hôi tu khi g x dx hôi tu

9.4/ Hội tụ tuyệt đối

f x dx

 hội tụ thì tích phân  

b a

f x dx



hội tụ

Cách đưa tích phân suy rộng loại 2 về tích phân suy rộng loại 1

Cho tích phân suy rộng  

b a

1 a

0

0

0 2

1 p

1 p

a p

1 / I e sin bx.dx dat u e , dv sin bx.dx

 

1

p 0

2 c

1

2 c

xdat u ln x du x dx, dv x dx v x dx

0

0 0

dx

1 x

d 1 xdx

1 1

dùng quy tac LHospital thêm 1 lân nua ta dc :

12 / Xét su hôi tu cua tích phân I x e dx

with p 1 so tích phân I hoi tu, with p 1 so x 0 là diem bat thuong cua IPhân tích I thành 2 tích phân : I x e dx x e dx

13/ Xét sự hội tụ của tích phân: 2

1

1 1

13 / Xét su hoi tu cua tích phân I sin x dx,

dtdoi bien : x t dx

2 t

1 sin t.dt 1 sin t.dt sin t.dt

I

Because lim lim t 0 nên tích phân I hôi tu

2

3 0

d cos tsin t.dt

yêt dôi

I sin x dx hôi tu



dx 2a.cos c.sin c.dc 2b.sin c.cos c.dc 2sin c.cos c b a dc

x a a.cos c b.sin c a a cos c 1 b.sin c sin c b a

b x b a.cos c b.sin c b 1 sin c a.cos c cos c

4 0

ab.du

2 x 0

e dx e dx, and J e dx is convergence

So I e dx is convergence Consider function f t 1 t e

2

2 n

n 2

2 n.x

I 1 x dx, doi bien x cos t

dx sin t.dt, khi x 0 t arccos x ,

2

n 2

2n 1

i 1 0

khi x 1 t 0 I 1 cos t sin t.dt

2 x 0

2 2

2 0

I cos x sin x n 1 sin x cos x

* n 1 sin x cos x.dx n 1 sin x 1 sin x dx

 

/2

n n

2k 11

u.e du(2k 1)

Put dx e du x e d u e , and put y u dy du

   

n 1

n a

n 1 0

f x liên tuc trên doan 1, 2 nên kha tích

trên doan 1, 2 Chia doan 1, 2 thành n doan bang nhau boi hê phân diem :

i n

n n

2 / I a b , Xét hàm so f x , x a, b

Chia a, b thành n doan bang nhau

boi hê phân diem : x a, x a x, x a 2 x,

3 / I a dx, Xét hàm so f x a , x 0,1 , f x kha tích trên doan 0,1

Chia doan 0,1 thành n doan bang nhau boi hê phân diêm :

i 1 1

1n

1 ' n

.a ln an

ln 1 x dxn

 

b

n n

   

b n

ni

1 1

i

1 n

2 a

 

1 2

n 2k 1

n

i 1

i

/2 n

2k 2k

because when x 0, sin x tan x x

x

2 2

0 0

' 2

1/ Cho (give) hình phẳng (plane figure) D giới hạn bởi (limit of) các đường

y x; y 2 x; y 0   Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy

A B

Ta có pt duong thang (d) : y 5 k x 1 y kx k 5

Pt hoành do giao diem cua (P) và (d): 3x kx k 5 3x kx k 5 0

kx

6(d) luôn cat (P) tai A và B

kx

pt tiep tuyen tai diem M là : y y y ' x x x

5/ Cho hình giới hạn elip : x2 y2 1

4   quay quanh trục hoành Tính thể tích của khối trònxoay được tạo nên

dy





2 2

Goi I 4 y dy Dat y 2sin u u ; dy 2cos udu

2 Oy

I 4 4sin t 2cos udu 4 cos u cos udu 4 cos udu

0 5