Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng các định lý của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p6 docx

Hàm hyperbole phức đơn trị, tuần hoàn, giải tích, có đạo hàm và có các tính chất khác tương tự hàm hyperbole thực... Biến hình bảo giác • ánh xạ f : D →∀ gọi là biến hình bảo giác tại đ

Đ6 Hàm mũ

Hàm mũ phức

• Hàm mũ phức

w = ez = ex(cosy + isiny), z ∈∀ (2.6.1)

có phần thực u = excosy và phần ảo v = exsiny thoả điều kiện (C - R) nên giải tích trên

toàn tập số phức, có đạo hàm

Hàm mũ phức tuần hoàn chu kỳ T = 2πi

ez+i2 π = ez

và có các tính chất khác tương tự như hàm mũ thực

• Hàm mũ phức là hàm đa diệp

1

z

e = ⇔ Rez = Rez1 và Imz = Imz1 [2π] (2.6.3) Suy ra miền đơn diệp là băng đứng α< Imz <α + 2π

Kí hiệu z = x + iy suy ra | w | = ex và Argw = y + k2π

Qua ánh xạ mũ phức

Đường thẳng y = β biến thành tia argw = β

Băng ngang 0 < Imz < 2π biến thành góc 0 < argw < 2π

Một mặt phẳng (z) biến thành ∞ - mặt phẳng (w)

Hàm logarit phức

• Hàm logarit phức

là hàm ngược của hàm mũ phức Do hàm mũ phức là hàm đa diệp nên hàm logarit phức

là hàm đa trị

Giả sử w = u + iv, ta có

eu = | z | và v = argz + k2π với k ∈9

Suy ra

w = ln| z | + i(argz + k2π) với k ∈9 (2.6.5) Lập luận tương tự như hàm căn phức, điểm gốc là điểm rẽ nhánh của hàm logarit và để

tách nhánh đơn trị cần phải cắt mặt phẳng phức bằng một tia từ 0 ra ∞

Imz=0

Imz=2π

argw=2π

argw=0

• Miền đơn trị của hàm logarit phức là D = ∀ - (-∞, 0] Với k = 0, hàm

là hàm đơn trị, giải tích trên miền D, có đạo hàm w’(z) =

z

và có các tính chất khác tương tự hàm logarit thực

Ví dụ Ln(-1) = ln| -1 | + iarg(-1) = iπ, i

1

i = ilni

1

e = e2

π

Đ7 Hàm lượng giác

Hàm lượng giác phức

• Kí hiệu cosz = (e e )

2

1 iz + ư iz sinz = (e e )

i 2

1 iz ư ư iz tgz =

z cos

z sin (2.7.1)

Các hàm biến phức w = cosz, w = sinz và w = tgz gọi là các hàm lượng giác phức

Hàm lượng giác phức đơn trị, tuần hoàn, giải tích, có đạo hàm (cosz)’ = - sinz (sinz)’ = cosz, (2.7.2)

và có các tính chất khác tương tự hàm lượng giác thực

Chú ý Với z = x ∈3, cosz =

2

1 (eix + e-ix) ≡ cosx Tuy nhiên cos(i) =

2

1 (e-1 + e) > 1

Hàm hyperbole phức

• Kí hiệu chz = (e e ) 2

1 z + ư z shz = (e e )

2

1 z ư ư z thz =

chz

shz (2.7.3)

Các hàm biến phức w = chz, w = shz và w = thz gọi là các hàm hyperbole phức

Hàm hyperbole phức đơn trị, tuần hoàn, giải tích, có đạo hàm

và có các tính chất khác tương tự hàm hyperbole thực

• Ngoài ra, ta có các liên hệ giữa hàm lượng giác và hàm hyperbole chiz = cosz cosiz = chz shiz = isinz siniz = ishz (2.7.5)

Ví dụ Tìm ảnh của miền

-2

π < Rez <

2

π qua ánh xạ w = sinz

Ta có w = sin(x + iy) = sinxcosiy + cosxsiniy = sinxchy + icosxshy

Suy ra u = sinxchy và v = cosxshy

Qua ánh xạ w = sin z

Đường thẳng x = ±

2

π biến thành tia u = ±chy, v = 0

Đường thẳng x = α biến thành hyperbole u = sinαchy, v = cosαshy Miền

-2

π < Rez <

2

π biến thành miền (w) - (-∞, -1] ∪ [1, +∞)

• Lập luận tương tự tìm ảnh các hàm lượng giác, hàm hyperbole khác

Đ8 Biến hình bảo giác

• ánh xạ f : D →∀ gọi là biến hình bảo giác tại điểm a nếu nó bảo toàn góc định hướng

giữa các đường cong đi qua điểm a Anh xạ f gọi là phép biến hình bảo giác trên miền D

nếu nó là đơn diệp và bảo giác tại mọi điểm thuộc D

Theo các kết quả ở trên hàm giải tích và có đạo hàm khác không tại điểm a là một song

ánh, R - khả vi và bảo giác trong lân cận điểm a, gọi là một vi phôi bảo giác Ngược lại

một vi phôi bảo giác tại điểm a là hàm giải tích và có đạo hàm khác không tại điểm a

Bài toán Tìm phép biến hình bảo giác f biến miền đơn liên D thành miền đơn liên G

• Để giải bài toán trên người ta thường sử dụng các kết quả dưới đây, gọi là các nguyên

lý biến hình bảo giác Việc chứng minh các nguyên lý biến hình bảo giác là rất phức tạp

và phải sử dụng nhiều kết quả khác Ơ đây chúng ta chỉ trình bày sơ lược các ý tưởng

của các phép chứng minh Bạn đọc quan tâm đến các phép chứng minh chi tiết có thể

tìm xem ở phần tài liệu tham khảo

α

α

1 -1

α

Nguyên lý tồn tại Cho D và G là các miền đơn liên giới nội Khi đó tồn tại vô số hàm

giải tích w = f(z) biến hình bảo giác miền D thành miền G Phép biến hình được xác

định duy nhất nếu có thêm một trong hai điều kiện sau đây

1 Cho biết w0 = f(z0) và w1 = f(z1) với z0∈D0 và z1∈∂D

2 Cho biết w0 = f(z0) và arg f’(z0) = α với z0∈ D0

Chứng minh

• Kí hiệu

U = { z ∈∀ : | z | < 1}, S = { g ∈ H(D, ∀) : ∀ z ∈ D, | g(z) | < 1} và a ∈ D

Ta công nhận

∃ fa∈ S sao cho | fa(a) | =

S g

Max

∈ | g(a) |

Khi đó hàm giải tích fa là phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền U

Có thể tìm được vô số hàm giải tích f : D → U như vậy Tuy nhiên ta có liên hệ

f = fa o h với h : U → U, h(z) = ei α

z 1

a z

ư

ư

, h(a) = 0

Từ đó suy ra nếu có thêm các điều kiện bổ sung thì có thể xác định duy nhất hàm f

• Giả sử f : D → U và g : G → U là các phép biến hình bảo giác Khi đó g-1of : D → G là phép biến hình bảo giác biến miền D thành miền G

Nguyên lý bảo toàn miền Cho D là miền đơn liên giới nội, hàm f : D →∀ liên tục trên

D , giải tích trong D và không phải là hàm hằng Khi đó G = f(D) cũng là miền đơn liên

Chứng minh

• Do hàm f liên tục nên bảo toàn đường cong suy ra bảo toàn tính liên thông

• Với mọi b = f(a) ∈ G, do miền D mở và f ≠ const nên có hình tròn B(a, R) ⊂ D sao cho với mọi z ∈ B(a, R), f(z) ≠ b

Kí hiệu

Γ

∈

z

Min | f(z) - b | với Γ = ∂B

NB[f(z) - b] là số không điểm của hàm f(z) - b trong hình tròn B(a, R) Với w ∈ B(b, à) tuỳ ý, ta có

f(z) - w = f(z) - b + b - w và | f(z) - b | > à > | b - w| với z ∈ B(a, R) Theo định lý Rouché (Đ8, chương 4)

NB[f(z) - w] = NB[f(z) - b] = 1

Do đó ∃ z ∈ B(a, R) sao cho w = f(z) ∈ G

Vì điểm w tuỳ ý nên B(b, à) ⊂ G và suy ra tập G là tập mở

Nguyên lý tương ứng biên Cho D, G là các miền đơn liên giới nội, hàm f : D →∀ liên tục trên D , giải tích trong D và biến hình bảo giác ∂D+ thành ∂G+ Khi đó hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G

Chứng minh

• Với mọi b ∈ G, kí hiệu ∆Γ[f(z) - b] là số gia argument của hàm f(z) - b khi z chạy trên

đường cong Γ Theo nguyên lý argument (Đ8, chương 4)

ND[f(z) - b] =

π

2

1 ∆∂ D[f(z) - b] =

π

2

1 ∆∂ G(w - b) = 1

Do đó ∃ a ∈ D sao cho b = f(a)

Lập luận tương tự với b ∉ G

ND[f(z) - b] =

π

2

1 ∆∂ D[f(z) - b] =

π

2

1 ∆∂ G(w - b) = 0 Suy ra hàm f biến hình bảo giác miền D thành miền G

Nguyên lý đối xứng Cho các miền đơn liên giới nội D1 đối xứng với D2 qua đoạn thẳng

hoặc cung tròn L ⊂∂D1 ∩∂D2 và hàm f1 : D1 →∀ liên tục trên D , giải tích trong D1 1,

biến hình bảo giác miền D1 thành miền G1 sao cho cung L+ thành cung Γ+⊂∂G1 Khi đó

có hàm giải tích f : D1 ∪ D2→∀ biến hình bảo giác miền D1∪ D2 thành miền G1∪ G2

với G2 là miền đối xứng với G1 qua cung Γ

Chứng minh

• Xét trường hợp L và Γ là các đoạn thẳng nằm trên trục thực Khi đó hàm

f2 : D2→∀, z α f2(z) = f1(z) và f2(z) = f1(z), ∀ z ∈ L

là hàm giải tích biến hình bảo giác miền D2 thành miền G2 Hàm f xác định như sau

f : D1∪ D2 →∀, f(z) = f1(z), z ∈ D1∪ L và f(z) = f2(z), z ∈ D2

là hàm giải tích biến hình bảo giác miền D1∪ D2 thành miền G1∪ G2

• Trường hợp tổng quát, chúng ta dùng hàm giải tích biến các cung L và Γ thành các

Đ9 Hàm tuyến tính và hàm nghịch đảo

Hàm tuyến tính

• Hàm tuyến tính

là hàm giải tích, có đạo hàm

w’(z) = a ≠ 0

và do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z) lên mặt phẳng (w)

• Kí hiệu λ = | a | và α = arg(a) Phân tích

Suy ra phép biến hình tuyến tính là tích của các phép biến hình sau đây