TOÁN SUY LUẬN đề THI HSG QUỐC tế TOÁN VUI

Bình luận: Khi đọc xong đề bài chúng ta có cảm giác đề bài hết sức vô lý vì tuổi của một người bất kỳ ở năm liền sau với năm liền trước chỉ cách nhau 2 tuổi, không thể cách 3 tuổi

TOÁN SƯU TẦM

Tác giả: LPT Nguồn: Sưu tầm BÀI TOÁN CHIA BÁNH

BÀI

TOÁN XỔ SỐ

Trong một giải Xổ số Toán học, mỗi tấm vé số là một bộ gồm 5 số tự nhiên không sắp thứ

tự (a; b; c; d; e) nằm từ 1 đến 90 Vào ngày ban tổ chức quay số trúng thưởng, ông A và ông B trao đổi với nhau:

A: Ông có biết hôm nay kết quả xổ số là gì không?

B: Trong kết quả 5 số xuất hiện ở vé trúng thưởng, có một “số đặc biệt” là ước của tổng 2số bất kỳ trong 4 số còn lại!

A: Thế số đó là gì?

B: Tôi mà nói ra thì anh sẽ biết ngay vé số trúng thưởng

A: Ít nhất thì cũng nói cho tôi số đó là chẵn hay lẻ?

Khi ông B vừa trả lời cho ông A, thì ông A nhảy bật lên sung sướng:

- Tôi trúng xổ số rồi! Thắng rồi! Thắng rồi!

Hỏi “số đặc biệt” là số nào và vé trúng thưởng là bộ gồm 5 số nào?

Bài giải:

1 Sai lầm thường gặp

Với e = 16 ta có bộ số duy nhất là 1 hoán vị của (16 ; 32 ; 48 ; 64 ; 80)

Nguyên nhân sai lầm : Với e = 16 ta còn có bộ số (8 ; 16 ; 24 ; 40 ; 56)

Từ đó suy ra:

Nếu e chẵn thì có thể chỉ ra 2 trường hợp của e đều có bộ nghiệm duy nhất (a;b;c;d) tương ứng

+ ) Với e = 22 thì (a;b;c;d) là 1 hoán vị của ( 11 ; 33 ; 55 ; 77)

+ ) Với e = 24 thì (a;b;c;d) là 1 hoán vị của ( 12 ; 36 ; 60 ; 84)

Như vậy e chẵn bị loại

Với e lẻ ta có thể chứng minh được các số a ; b ; c ; d cùng phải chia hết cho e Từ đó suy

ra chỉ có duy nhất e = 17 tương ứng với bộ duy nhất (a;b;c;d) là 1 hoán vị của (34 ; 51 ;

68 ; 85 ), và vé trúng thưởng là 1 hoán vị của ( 17 ; 34 ; 51 ; 68 ; 85)

BÀI TOÁN CHIA TÀI SẢN

Một người đàn ông giàu có nói với người vợ đang mang thai là nếu sinh con trai sẽ chia cho đứa bé 1/2 tài sản, là con gái thì chia cho 2/3 Vậy nếu bà vợ sinh đôi một trai, một gái thì tài sản sẽ được chia như thế nào? (Vũ Duy Minh)

Bình luận: Bài toán này không thể giải được về mặt Toán học và mấu chốt do tổng tài

sản của con trai và con gái là 1/2 + 2/3 = 7/6 > 1

Ta có thể thấy rõ điều này nếu thay đổi các phân số để tổng của chúng < 1 thì bất cứ ai cũng có thể chia được và sẽ không tạo ra sự bàn luận sôi nổi về bài toán này! Xét 3 ví dụ sau đây:

+ Con trai nhận 1/2, con gái nhận 1/3 thì 1/2 + 1/3 = 5/6 < 1 và khi đó chia tài sản thành 6phần, con trai 3 phần và con gái 2 phần

+ Con trai nhận 1/4, con gái nhận 1/3 thì 1/4 + 1/3 = 7/12 < 1 và khi đó chia tài sản thành

12 phần, con trai 3 phần và con gái 4 phần

+ Con trai nhận 1/2, con gái nhận 2/5 thì 1/2 + 2/5 = 9/10 < 1 và khi đó chia tài sản thành

10 phần, con trai 4 phần và con gái 5 phần

Nhưng nếu chúng ta là Tòa án mà phải giải quyết bài toán thực tế: "Phân chia tài sản theo

di chúc cho 1 con trai và 1 con gái" thì làm thế nào? Không nhẽ lại nói không thể chia được và xung toàn bộ tài sản vào "Quỹ Quốc gia"?

Trong trường hợp bài toán đã nêu, để xử lý điều kiện phi logic: Tổng tài sản của con trai

và con gái là 1/2 + 2/3 = 7/6 > 1 ta có 2 cách tiếp cận sau đây:

+ Nếu lấy tổng tài sản làm thước đo trung gian thì tỷ lệ tài sản của con trai với con gái là: (1/2) : (2/3)= 3/4 thì sẽ có vô số cách chia như sau: "Chia tài sản thành n ≥ 7 phần bằng nhau tùy ý, con trai nhận 3 phần, con gái nhận 4 phần" Nhưng khi đó cả 3 đại lượng tài sản con trai, tài sản con gái, tài sản còn lại luôn thay đổi theo n tức là cách tiếp cận này hoàn toàn không có giá trị thực tiễn

+ Nếu hiểu thông tin của người cha theo "logic mềm": Ông ta không lường trước được chuyện sinh đôi 1 trai, 1 gái và ý tưởng của ông ta là chia tài sản theo tương quan tỷ lệ giữa tài sản nhận được của con trai hoặc của con gái với tài sản còn lại thì ta có lời giải sau đây:

Lời giải:

Tài sản con trai bằng 1/2 tổng tài sản nên tài sản còn lại cũng bằng 1/2 tổng tài sản Tức

là tài sản con trai bằng tài sản còn lại (1)

Tài sản con gái bằng 2/3 tổng tài sản nên tài sản còn lại bằng 1/3 tổng tài sản Tức là tài sản con gái bằng 2 lần tài sản còn lại (2)

Từ (1) và (2) suy ra tài sản con gái gấp đôi tài sản con trai và gấp đôi tài sản còn lại Từ đó suy ra cách chia tài sản của ông bố ra làm 4 phần bằng nhau Con trai được chia 1 phần và con gái được chia 2 phần

Kết luận:

Bài toán trên gần giống bài toán cổ chia ngựa trong di chúc của ông bố cho các con: “Mộtông bố viết di chúc chia tất cả 17 con ngựa cho 3 đứa con, đứa lớn nhất được 1/2 tổng số ngựa Đứa thứ 2 được 1/3 tổng số ngựa, và đứa út được 1/9 tổng số ngựa” Vì 17 không chia hết cho các mẫu số nên các con không thể chia theo di chúc được mà đưa ra Tòa phán xử Khi đó, Tòa đã mượn thêm 1 con ngựa để có 18 con ngựa, và lần lượt 3 người con nhận được 9, 6, 2 con ngựa tương ứng với 1/2, 1/3, 1/9 trong tổng số 18 con ngựa Vì

9 + 6 + 2 = 17 nên vẫn thừa ra 1 con ngựa để hoàn trả lại

Như vậy, bài toán chia tài sản sai về mặt Toán học bởi tổng tài sản thừa 1/2 + 2/3 = 7/6 >

1 thì bài toán chia ngựa sai bởi tổng giá trị thiếu 1/2 + 1/3 + 1/9 < 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 Việc mượn thêm 1 con ngựa rồi mới thực hiện phép chia sẽ làm cho mỗi người con đều nhận được số ngựa lớn hơn so với việc chia ngay theo tỉ lê từ 17 và quan trọng hơn số ngựa nhận được của mỗi người đều là các số nguyên nên họ dễ dàng đồng ý với cách chiacủa Tòa Đây chính là giải pháp tối ưu cho các bài toán thực tế, dù sai logic về mặt Toán học

BÀI TOÁN ĐOÁN NGÀY SINH NHẬT

Đề bài: Một chàng trai hỏi ngày sinh nhật của một cô gái mới quen Cô gái kiêu kỳ trả

lời: "Hai ngày trước em 17 tuổi, nhưng năm tới em sẽ 20 tuổi cơ đấy!" Bạn hãy giúp chàng trai đoán ngày sinh nhật của cô gái

Bình luận: Khi đọc xong đề bài chúng ta có cảm giác đề bài hết sức vô lý vì tuổi của một

người bất kỳ ở năm liền sau với năm liền trước chỉ cách nhau 2 tuổi, không thể cách 3 tuổi được Điều hay nhất của bài toán nằm ở một nút thắt rất tinh vi: "Cô gái có duy nhất

1 ngày của năm liền sau có khoảng cách 3 tuổi so với năm liền trước" Để làm sáng tỏ điều này chúng ta có các nhận xét sau đây:

+ Tháng 12 có 31 ngày và ngày cuối năm là ngày 31/12

+ Ngày sinh nhật là ngày cuối cùng của tuổi hiện tại

+ Ngày liền sau sinh nhật là ngày đầu tiên của tuổi hiện tại cộng 1

+ Nghĩ đến ý tưởng: "Ngày cuối cùng của tuổi 17 và ngày đầu tiên của tuổi 20"

Từ những nhận xét trên ta có lời giải sau đây:

Để tạo ra khoảng cách lớn nhất giữa tuổi của năm liền sau với năm liền trước thì thời điểm hiện tại mà cô gái trò chuyện với chàng trai phải là một trong các ngày đầu năm và sinh nhật cô gái là một trong các ngày cuối năm Xét 2 khả năng sau:

+ Nếu ngày hiện tại ≥ 2/1 thì dễ thấy toàn bộ các ngày trong năm liền sau (năm tới) tuổi của cô gái không vượt quá 19

+ Nếu ngày hiện tại là ngày 1/1 thì trước đó 2 ngày là ngày 30/12 của năm liền trước, đây

là ngày sinh nhật và là ngày cuối ở tuổi 17 của cô gái Trong năm hiện tại từ ngày 1/1 đếnngày 30/12 cô gái 18 tuổi Trong năm liền sau (năm tới) từ ngày 1/1 đến ngày 30/12 cô gái 19 tuổi và ngày 31/12 là ngày đầu tiên cũng là ngày duy nhất trong năm cô gái bước sang tuổi 20

Kêt luận: Sinh nhật của cô gái là ngày 30/12.

BÀI TOÁN NGƯỜI NHỌ MẶT

Trên một đoàn tàu hỏa, phụ trách toa tàu thông báo trong toa có một số người bị nhọ mặt

và ra hiệu lệnh: Mọi người tập hợp xung quanh tôi, không được soi gương, nói chuyện hay bất kỳ hành động nào có thể giúp cho người khác biết về tình trạng nhọ hay không nhọ

Chỉ được phép nhìn nhau và suy nghĩ, nếu ai biết chắc chắn mình bị nhọ thì khi tàu dừng sẽ xuống rửa Kết quả là sau khi tầu dừng ở ga thứ 4 thì không còn ai bị nhọ Hỏi ban đầutrong toa tàu có bao nhiêu người bị nhọ mặt?

Đáp án:

Ta sẽ biện luận bài toán theo các tình huống sau:

TH1: Giả sử chỉ có một người bị nhọ mặt Người đó sẽ thấy tất cả mọi người còn lại đều không nhọ nên khẳng định chính mình bị nhọ và xuống rửa ở ga thứ 1 Nhưng theo đề bàilại là ga thứ 4, vậy giả sử này sai.

TH2: Giả sử có 2 người bị nhọ mặt Cả hai người sẽ nhìn thấy chỉ có một người bị nhọ vànghĩ: Nếu như mình không bị nhọ, người còn lại sẽ nghĩ như TH1 và xuống rửa ở ga thứ

1 Nhưng qua ga thứ 1, cả hai đều không xuống nên nhận ra mình cũng bị nhọ và sẽ xuống rửa xong ở ga thứ 2 Vậy giả sử này cũng sai

TH3: Giả sử có 3 người bị nhọ mặt Cả ba người sẽ nhìn thấy có hai người còn lại bị nhọ

và nghĩ: Nếu như mình không bị nhọ, hai người sẽ nghĩ như TH2 và xuống rửa ở ga thứ

2 Nhưng qua ga thứ 2, cả 3 đều không xuống nên nhận ra mình cũng bị nhọ và sẽ xuống rửa xong ở ga thứ 3 Vậy giả sử này cũng sai

Tiếp tục suy diễn như trên và kết hợp với giả thiết khi tầu dừng ở ga thứ 4 thì không còn

ai bị nhọ Ta kết luận có 4 người bị nhọ mặt

BÀI TOÁN ĐỒNG XU

Có 10 đồng xu mặt ngửa và 10 đồng xu mặt úp nằm lẫn lộn trên bàn Giả sử bạn bị bịt mắt lại và đeo găng tay để không cảm nhận được đồng xu nào là ngửa hay úp, làm cách nào để chia số đồng xu trên thành hai phần bằng nhau sao cho số đồng xu ngửa của phần này bằng số đồng xu ngửa của phần kia? Bạn chỉ có thể di chuyển và lật những đồng xu qua lại

BÀI TOÁN ĐỔI VỊ TRÍ CHỮ SỐ

Đề bài: Tuấn viết lên bảng một đẳng thức sai 1995 + 146 = 210 + 1117 Bạn có thể giúp

Tuấn làm cho đẳng thức này đúng bằng cách dịch chuyển 2 chữ số có mặt trong đẳng thức sai từ vị trí ban đầu của chúng đến hai vị trí mới ? (Cho phép nhét một chữ số vào giữa hai chữ số khác)

Phạm quy: Dịch chuyển 4 chữ số 0, 1, 7, 9

Hướng dẫn lời giải

Bài toán này nếu không dùng phần mềm trợ giúp thì nó là bài toán không dễ tìm được lời giải trong một thời gian ngắn Nếu tổ hợp hết tất cả các khả năng trong Toán học thì từ

đẳng thức sai ban đầu 1995 + 146 = 210 + 1117 ta có thể tạo ra hàng triệu các đẳng thức khác nhau bằng cách chỉ thay đổi đúng 2 vị trí chữ số.

Vì thế nếu đặt nó là bài toán giải trí, không đặt nặng mục đích phải tìm bằng được ngay lời giải bất chấp mọi thủ thuật, thì ta sẽ thấy nó thú vị hơn Khi giải bài toán chúng ta cần hiểu rằng, thuật ngữ: “Cho phép nhét một chữ số vào giữa hai chữ số khác” có nghĩa là khi đó chỉ được tính 1 lần dịch chuyển 1 chữ số và đó chính là chữ số mang đi nhét Ngoài ra kết hợp với phương pháp đánh giá và nhận xét chữ số tận cùng ta có thể chỉ cần xét dưới 10 khả năng để đưa ra một đáp án duy nhất khi không có thêm phép toán là:

1975 + 146 = 210 + 1911

BÀI TOÁN ĐI QUA ĐƯỜNG HẦM

Bốn cô gái A, B, C, D muốn đi qua một đường hầm tối nhưng họ chỉ có một ngọn đuốc Biết A, B, C, D mỗi người lần lượt có thể đi qua đường hầm trong 1 phút; 2 phút; 5 phút;

10 phút

Giả sử rằng, họ cần đuốc để đi qua mỗi lần và đường hầm cho phép tối đa 2 cô gái đi qua trong một lần Hỏi số thời gian ít nhất để cho cả 4 cô gái đi qua được đường hầm là bao nhiêu? (Chú ý: Nếu 2 người cùng đi một lượt qua đường hầm thì thời gian chung tính theo thời gian của cô gái đi chậm hơn)

BÀI TOÁN THAY LỐP Ô TÔ

Đề bài:

Một chiếc ôtô có 4 bánh Mỗi lốp ở hai bánh trước sử dụng được tối đa 300 km, mỗi lốp

ở hai bánh sau sử dụng được tối đa 450 km Nếu có thể thay đổi vị trí giữa lốp trước và lốp sau thì quãng đường lớn nhất xe có thể đi với một bộ 4 lốp là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử khi ôtô đi được a km thì ta thực hiện đổi 2 lốp trước và 2 lốp sau cho nhau Sau khi đổi lốp, ôtô đi được thêm b km nữa Ta có các nhận xét sau:

- Tại thời điểm đổi lốp thì lốp trước bị hao mòn a/300 và lốp sau bị hao mòn a/450

- Từ thời điểm thay lốp đến thời điểm ôtô đi được quãng đường tối đa thì lốp trước bị haomòn thêm b/300; lốp sau bị hao mòn thêm b/450

- Để ôtô chạy được quãng đường xa nhất thì cả 4 lốp mòn tối đa cùng một lúc

Từ các nhận xét trên ta có phương trình:

(a/300) + (b/450) = (a/450) + (b/300) = 1

Giải phương trình ta có: a = b = 1 : [(1/300) + (1/450)] = 180 (km)

Vậy quãng đường lớn nhất xe có thể đi với một bộ 4 lốp như nhau là 360 km

BÀI TOÁN VẼ QUỸ ĐẠO CÁC CHUYỂN ĐỘNG

Đề bài:

Vẽ quỹ đạo của các chuyển động sau:

a) Một con kiến bò quanh miệng giếng

b) Một quả dừa lăn theo một dốc nghiêng

c) Một con chim ngã từ cành cây xuống đất

d) Một con chim bay theo một đường thẳng

Phân tích:

a) Bạn có thể nghĩ đến một đường tròn là quỹ đạo của con kiến Nhưng không chắc vì miệng giếng chưa chắc đã là một đường tròn Và ngay khi miệng giếng là đường tròn thì không có giả thiết nào nói rằng con kiến sẽ bò theo một đường tròn

b) Vì không chắc quả dừa có tròn không và dốc nghiêng có nhẵn không nên nếu bạn nghĩ đến quỹ đạo của quả dừa là một đường thẳng thì chưa chắc đúng

c) Thoạt tiên có thể bạn nghĩ quỹ đạo của con chim là một đường thẳng vuông góc với mặt đất, giống như con chim đang rơi tự do Một người khác có thể lập luận rằng ở đây con chim “ngã” từ cành cây xuống nên sẽ có một đoạn đường cong ban đầu sau đó mới rơi thẳng Vì chúng ta không biết sức cản của gió lúc con chim rơi nên cả hai phương án đều chưa chắc đúng Có thể bạn còn nghĩ đến chuyển động quay của con chim trong lúc rơi nữa, nhưng không chắc vì không biết “cách ngã” của chim

d) Câu này có vẻ chắc chắn nhất vì đề bài nói rõ là con chim bay thẳng Vậy chỉ cần vẽ một đường thẳng? Không hẳn vậy vì đầu bài không cho biết con chim bay theo phương nào Giả sử bạn vẽ đường thẳng có phương ngang chẳng hạn, như thế bạn đã “bắt” con chim bay thẳng theo phương ngang Chúng ta hoàn toàn chưa biết con chim bay theo phương nào nên không thể vẽ được

Kết luận:

Như vậy bài toán khá đơn giản nhưng lại không có đáp số vì chưa đủ giả thiết Để tìm lời giải cho một bài toán cần xem có đủ giả thiết hay không rồi mới thực hiện các suy luận logic để tìm kết quả Chúng ta không nên đặt “niềm tin vào một thói quen nào đó” để đưa

ra cách giải, đáp số và lại càng không nên cố đưa ra kết luận khi giả thiết còn chưa đủ

BÀI TOÀN ĐIỀN VÀO CHỖ TRỐNG

Đề bài:

Điền vào chỗ trống với các con số sao cho câu trong hộp này là đúng:

Trong hộp này, số chữ số 0 là _, số chữ số 1 là _, số chữ số 2 là _, số chữ số 3 là _, số chữ số 4 là _, số chữ số 5 là _, số chữ số 6 là _, số chữ số

7 là _, số chữ số 8 là _, và số chữ số 9 là _

Đáp án:

"Trong hộp này số chữ số 0 là 1, số chữ số 1 là 7, số chữ số 2 là 3, số chữ

số 3 là 2, số chữ số 4 là 1, số chữ số 5 là 1, số chữ số 6 là 1, số chữ số 7 là

2, số chữ số 8 là 1, số chữ số 9 là 1"

BÀI TOÁN BỐ CHỞ CON ĐI HỌC

Đề bài:

Bố và hai con trai đi thăm bà nội cách thành phố 33 km Bố đi xe Honda có thể chạy với vận tốc 25 km/h và nếu chở thêm một người thì có vận tốc 20 km/h (xe không thể chở 3) Hai anh em có thể đi bộ với vận tốc 5 km/h Hãy tìm cách để họ đến thăm bà sau khoảng thời gian ngắn nhất có thể (thời gian được tính từ lúc đi đến lúc tất cả đều về đến nhà bà)

Đáp án:

Bố chở con trai thứ nhất đi trong vòng 1,2 giờ, được 24km rồi bỏ con trai thứ nhất xuống

rồi quay lại đón con trai thứ hai

Lúc này, con trai thứ hai cũng đã đi được 1,2 x 5 = 6 (km), do đó quãng đường giữa hai bố con là 18km

Hai bố con đi ngược chiều nhau với tổng vận tốc là 30km giờ nên họ gặp nhau sau 18/30

Như vậy họ sẽ tốn thêm 24/20 = 6/5 = 1,2 giờ để cùng đến nhà bà.

Vậy tổng số thời gian đến nhà bà là: 1,2 + 0,6 + 1,2 = 3 giờ

BÀI TOÁN NHỮNG VIÊN ĐÁ CUỘI

Đề bài:

Có 100 đống đá cuội trên một cái bàn chứa lần lượt 1, 2, 3,…, 99, 100 viên.Trong một bước bạn có thể giảm một số viên cuội từ bất kỳ nhóm viên cuội nào, miễn rằng bạn phải lấy ra cùng một số cuội từ mỗi nhóm Hỏi bạn phải cần ít nhất bao nhiêu bước để lấy hết tất cả các viên đá cuội ra khỏi bàn?

Hướng dẫn giải:

Xét số abcdefghk thỏa mãn yêu cầu bài toán Từ giả thiết suy ra:

(b, d, f, h) là hoán vị của (2, 4, 6, 8)

(a, c, e, g, k) là hoán vị của (1, 3, 5, 7, 9)

Do abcde chia hết cho 5 nên e = 5

Do abcdefgh chia hết cho 8 mà f chẵn nên gh chia hết cho 8, kết hợp với g lẻ và khác 5 suy ra gh = 16, 32, 72

Do abc chia hết cho 3 và abcdef chia hết cho 6 nên def chia hết cho 3, kết hợp với

abcdefghk chia hết cho 9 nên ghk chia hết cho 3

Từ đó suy ra ghk = 165 (loại vì e = 5); 321; 327; 723; 729, dẫn đến h = 2

Do abcd chia hết cho 4 mà c lẻ nên d = 6, suy ra def = 654

Do đó b = 8

Ta có abcdefghk = a8c654g2k

Do a8c654g chia hết cho 7 nên theo dấu hiệu chia hết cho 7 ta có (a + 54g – 8c6) chia hết cho 7, từ đó suy ra (a + g – 3c) chia hết cho 7.

Nếu g = 3 thì a = 9, c = 4 (loại vì c lẻ) hoặc c = 9, a = 3 (loại vì g = 3)

Nếu g = 7 thì a = 3, c = 1 và số cần tìm là 381654729

Hướng dẫn làm bài:

Ta đánh số 6 mặt cần tìm từ trái qua phải là 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ta thấy 3 kề 1, 3, 4, 6 suy ra đối diện của 3 là 5 1 kề 2, 3, 6 (trên hình) và kề 5 (do 5 và 3đối diện nhau), suy ra đối diện của 1 là 4 Và đối diện của 6 là 2

Từ đây dễ dàng suy ra mặt 6 có số 2 (đối diện 6) Hai mặt 4, 5 có số là 2, 6 (ta nhìn thấy các mặt 3, 4, đối diện chúng là 5, 1) Hai mặt 2, 3 có số là 4, 1 (ta nhìn thấy hai mặt 3, 2, đối diện chúng là 5, 6)

Cuối cùng, ở quân xúc xắc đầu tiên, ta nhìn thấy 2 mặt 1, 2 Đối diện của chúng là 4, 6 Vậy hai mặt còn lại là 3, 5 Nhưng mặt úp vào trong là số mấy?

Dựa vào thông tin các mặt đối diện, đặc biệt là vào quân xúc xắc ta nhìn thấy 3 mặt Ta suy ra quân xúc xắc có dạng sau:

BÀI TOÁN “KÌNH NGƯ QUÁ HẢI”

Đề bài:

Nhà hàng "Cá vàng" chuyên phục vụ các món đặc sản biển Riêng món "Kình ngư quá hải", một món mang thương hiệu của nhà hàng luôn được phục vụ vào thứ hai và thứ nămhàng tuần Vài năm trước, bếp trưởng nhận xét rằng trong tháng 1 năm đó, nhà hàng đã phục vụ món Kình ngư quá hải trong 8 ngày Hỏi ngày 1/1 năm đó rơi vào ngày thứ mấy?

Lời giải:

Mỗi tháng có ít nhất 4 ngày thứ hai và nhiều nhất 5 ngày thứ hai Tương tự với thứ năm Tháng đó nhà hàng đã phục vụ món Kình ngư quá hải trong 8 ngày, suy ra tháng đó có 4 ngày thứ hai và 4 ngày thứ năm

Nếu ngày 1/1 rơi vào ngày thứ 2 thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ hai, mâu thuẫn

Nếu ngày 1/1 rơi vào ngày thứ ba, thứ tư hoặc thứ năm thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ năm, mâu thuẫn

Cuối cùng, nếu ngày 1/1 rơi vào thứ bảy hoặc chủ nhật thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ hai, mâu thuẫn Vậy chỉ có khả năng duy nhất còn lại là 1/1 rơi vào ngày thứ sáu Kiểm tra lại

ta thấy đúng là trong trường hợp này có 4 ngày thứ hai và 4 ngày thứ tư

Đáp số: Thứ sáu

BÀI TOÁN THAY CHỮ CÁI BẰNG CHỮ SỐ

Đề bài:

Điền các chữ số thích hợp vào đẳng thức sau để được một phép tính đúng Chữ cái giống nhau được thay bằng các chữ số giống nhau, chữ cái khác nhau được thay bằng các chữ cái khác nhau:

TEN + TEN + FORTY = SIXTY

E + E + T + (0 hoặc 1) = T + (0 hoặc 10) => E + E + T + (0 hoặc 1) = (0 hoặc 10)

Nếu có nhớ 1 từ hàng đơn vị sang thì vế trái lẻ, vế phải chẵn, mâu thuẫn

Vậy phép cộng hàng đơn vị không nhớ, suy ra N = 0 Và từ đây suy ra E = 5

Vì S và F khác nhau nên phép cộng ở hàng ngàn phải có nhớ, và ta có S = F+1 Vì phép cộng ở hàng trăm nhớ tối đa là 2, mà I khác 0 nên từ đây để phép cộng ở hàng ngàn có nhớ, ta phải có O = 9 và I = 1 và phép cộng ở hàng trăm phải nhớ 2

Như vậy T phải là 6, 7 hoặc 8

Nếu T = 6 thì do tối đa R có thể bằng 8 và phép cộng hàng chục nhớ 1, do đó X chỉ có thểbằng 0 hoặc 1 (trùng với I = 1 và N = 0)

Nếu T = 7 thì trường hợp R = 6 cho kết quả tương tự, còn R = 8 ta được X = 3 Lúc này các số 0, 1, 3, 5, 7, 8, 9 đã được dùng, ta không còn cặp 2 số liên tiếp nào cho F và S = F+1

Còn lại trường hợp duy nhất T = 8

Lúc này nếu R = 6 thì X = 3 và các số 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9 đã được dùng, ta cũng không còn cặp 2 số liên tiếp nào cho F và S = F+1

Nếu R = 7 thì X = 4, ta còn cặp 2 số liên tiếp duy nhất là 2, 3 cho F và S = F+1 Vậy F =

2, S = 3 Số 6 duy nhất còn lại ta dành cho Y

Khi cộng số trên các cạnh thì các số ở 3 đỉnh sẽ được cộng 2 lần

Do đó nếu gọi x là tổng các số trên một cạnh thì ta có:

3x = 1 + 2 + 3 + + 9 + (tổng ba số ở đỉnh)

Từ đây suy ra tổng ba số ở đỉnh = 3(x-15) sẽ luôn chia hết cho 3

Tổng 3 số đó bé nhất là bằng 6 nên ta có thể bắt đầu từ 6

Ta điền 3 số 1, 2, 3 vào 3 đỉnh

Lúc này x = 17 nên từ đây ta dễ dàng tìm được cách điền (xuất phát từ đỉnh trên cùng theo chiều kim đồng hồ): 1, 6, 8, 2, 5, 7, 3, 9, 4

Chú ý bài toán có nhiều cách điền, nhưng x chỉ có thể bằng 17, 19, 20, 21, 23

BÀI TOÁN TÌM TỔNG SỐ VIÊN KẸO

Đề bài:

Bình có 75 tấm thẻ màu đỏ và 85 tấm thẻ màu xanh Có một chiếc máy tự động mà ở đó Bình có thể bỏ hai thẻ màu đỏ vào và nhận được một viên kẹo và một tấm thẻ màu xanh.Lại có một máy tự động khác mà ở đó Bình có thể bỏ vào 3 tấm thẻ màu xanh để nhận được một viên kẹo và một tấm thẻ màu đỏ Bình liên tục đổi thẻ lấy kẹo cho đến khi không thể đổi được nữa.

Hỏi lúc đó Bình sẽ có tổng cộng bao nhiêu viên kẹo?

Lời giải:

Giả sử trái bóng có m mặt ngũ giác đều và n mặt lục giác đều thì

m + n = 32 (1).

Ta sẽ tính tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng theo 2 cách khác nhau

Tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng theo các mặt ngũ giác là:

Vậy tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng là: 9n/2 = (9 x 20)/2 = 90.

BÀI TOÁN TÌM CHỮ SỐ CUỐI CÙNG

BÀI TOÁN TÌM SỐ ĐỒNG XU

Đề bài:

Tom và Jerry cùng chơi một trò chơi sau Tom có một số đồng xu và Jerry không có đồng

xu nào Jerry có thể lấy một số đồng xu (khác 0) tùy ý từ Tom Sau đó Tom có thể lấy lại một số đồng xu (vẫn phải khác 0) nhưng phải là một con số khác với con số Jerry đã lấy.Tiếp theo, Jerry lại lấy từ Tom một đồng xu, khác 0 và khác với những số đồng xu từng được lấy trước đó (ví dụ lần đầu Jerry lấy 3, sau đó Tom lấy 2 thì lần tiếp theo Jerry không thể lấy 2 hoặc 3 đồng xu) Và cứ như vậy, trò chơi sẽ kết thúc khi có ai đó không

đi được nữa

Hỏi Jerry có thể có tối đa bao nhiêu đồng xu lúc kết thúc trò chơi nếu ban đầu Tom có 13 đồng xu?

Hướng dẫn giải:

Ý tưởng cách chơi của Jerry là dồn Tom vào tình huống chỉ có một lựa chọn duy nhất và dẫn dắt Tom đi theo kịch bản của mình

Cụ thể chiến thuật của Jerry như sau:

Đầu tiên Jerry lấy 2 đồng xu Tom có một phương án duy nhất là lấy lại một đồng xu

Tiếp theo Jerry lấy 3 đồng xu và sẽ có 4 đồng xu Tom có một phương án duy nhất là lấy lại cả 4 đồng xu.

Jerry lại lấy 6 đồng xu Tom có một phương án duy nhất là lấy lại 5 đồng xu

Jerry lại lấy 7 đồng xu và sẽ có 8 đồng xu Tom lại bắt buộc phải lấy lại 8 đồng xu

Và cứ tiếp tục như thế, Jerry lấy 10, Tom lấy lại 9, Jerry lấy 11, Tom lấy lại 12 và cuối cùng là Jerry lấy 13 đồng xu, trò chơi kết thúc vì Tom không đi được nữa

Như vậy, đáp án là 13

Chiến thuật của Jerry có thể tổng quát nếu số đồng xu ban đầu là lẻ Nhưng nếu số đồng

xu ban đầu là chẵn, chẳng hạn là 20 thì Jerry không có cách nào để lấy hết các đồng xu được Chứng minh điều này thế nào? Và lúc đó Jerry có được tối đa bao nhiêu đồng xu? Các câu hỏi này xin dành để bạn đọc tiếp tục suy nghĩ

BÀI TOÁN GARA Ô TÔ

Gara ôtô có hình dạng hình vuông 10x10 ô, mỗi ô có thể để được một ôtô.

Gara có tường rào bao bọc xung quanh, chỉ để một cửa ra vào ở góc trên bên trái (ô A) Người chủ gara muốn sắp xếp ôtô thế nào để một chiếc xe bất kỳ có thể ra vào gara mà không bị chắn bởi các xe khác Trên hình là một phương án thích hợp với 54 chỗ để xe Chắc chắn phương án này chưa phải là tối ưu vì còn quá nhiều chỗ trống

Hãy đề xuất một phương án mà bạn cho là tốt nhất

Xuất xứ bài toán là đề thi Olympic toán của Matxcơva Trong đề cũng ghi rõ: hãy cố gắng tìm phương án càng được nhiều xe sẽ càng được nhiều điểm Trong đáp án nêu ra một phương án với 60 xe và ghi rõ luôn là "cho đến nay, chúng tôi không biết là có phương án nào xếp được nhiều xe hơn hay không".

Vậy: "Liệu 60 xe có phải là phương tốt nhất hay chưa?", "Nếu có thì có thể chứng minh điều này bằng lý thuyết được không?" Tất nhiên là câu hỏi thứ hai khó hơn (và bao trùm)câu hỏi thứ nhất

Chúng tôi có một số lý luận cơ bản sau (ta quy ước ô đen là ô có xe, ô trắng là ô trống):

- Một ô đen phải kề với ít nhất một ô trắng

- Một ô trắng chỉ có thể kề với nhiều nhất 3 ô đen

Từ lý luận này, nếu gọi a là số ô trắng và b là số ô đen thì b ≤ 3a và a + b = 100

Suy ra 4a ≥ 100, a ≥ 25 và b ≤ 75

Lý luận này có thể làm mạnh hơn (điều này cần xét chi tiết hơn một chút) với mệnh đề sau: "Nếu ta có một cách xếp mà có ô trắng kề 3 ô đen thì ta có thể điều chỉnh để ô trắng chỉ kề 2 ô đen nhưng không làm thay đổi số ô đen"

Bằng cách này, ta suy ra b ≤ 2a, 3a ≥ 100 và a ≥ 34, suy ra b ≤ 66

Xét lý thuyết chỉ có thể được đến đó

Để giải quyết câu hỏi 1, cũng là điều mà chúng ta cùng quan tâm, chúng tôi quay sang tìm sự trợ giúp của tin học Vì kích thước 10x10 là khá nhỏ nên chúng tôi dùng phương pháp khá thủ công là duyệt từng bước Cụ thể ý tưởng như sau

- Khảo sát lần lượt từng ô, thử gán ô đen trước, thử gán ô trắng sau

- Điều kiện chặn đệ quy là ước lượng số ô đen tối đa ở phương án hiện tại và so sánh với đáp án tốt nhất hiện có:

* Ước lượng bằng công thức: * thresh + số ô đen hiện có>

* thresh có giá trị thuộc (0, 1]

* Ví dụ ta đang xét ô (2, 2) trên bảng 4x4 và tình trạng bảng hiện tại như sau:

0 1 0 0

0 1 * *

Khi đó, ta đã gán 2 ô đen, nên số ô đen tối đa có thể gán là số ô đánh dấu * nhân với một

hệ số Giá trị tối đa của hệ số là 1, nghĩa là toàn bộ các ô * sẽ đều được gán là 1

* Hệ số thresh này là tỷ lệ tối đa của số ô đen so với số ô cần xử lý, hiện tại giá trị mặc định được đặt là 0.75, nghĩa là cứ 4 ô thì gán được tối đa 3 ô đen Thresh càng nhỏ, đáp

án càng thiếu chính xác nhưng tốc độ càng nhanh, và ngược lại Thresh = 1 đảm bảo có kết quả tối ưu

Chúng tôi đã chạy chương trình và cho ra kết quả: con số tối ưu đúng là 60 Dưới đây là kết quả do chương trình chạy ra

Đây thực sự là một bài toán rất thú vị, tuy nhiên lời giải của nó cũng như các hướng mở rộng (với kích thước lớn chương trình của chúng tôi sẽ chạy chậm và đến một mức nào đó không xử lý được do bùng nổ trường hợp) nằm ngoài khuôn khổ của một chuyên mục mang tính giải trí và giáo dục nhẹ nhàng

BÀI TOÁN TÌM SỐ LƯỢNG LÁ BÀI

Đề bài:

An, Bình, Châu và Danh cùng đánh bài với bộ bài 32 lá Danh chia hết bộ bài cho 4 người, nhưng bạn ấy chia không đều Để sửa lỗi cho Danh, đầu tiên An chia đều một nửa số bài của mình cho Bình và Châu, sau đó Bình lại làm điều tương tự giữa An và Châu

Cuối cùng Châu lại chia một nửa số bài mà mình có cho An và Bình Bây giờ thì cả 4 người đều có số bài như nhau.

Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu lá bài?

Hướng dẫn giải:

Ta giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ dưới lên Chú ý là Danh không tham giavào quá trình chia bài sau đó và cuối cùng Danh cũng có số bài bằng các bạn, do đó Danhcó 32/4 = 8 lá bài

Ta lập bảng sau:

Đáp án An 4, Bình 7, Châu 13, Danh 8

Đáp án:

Ta phát cho mỗi người 9 lá phiếu Sau mỗi đêm, ta sẽ thu lại từ mỗi người 1 hoặc 2 phiếu tùy thuộc đêm trước người đó ngủ cạnh 1 hay 2 người Như thế ta phát tất cả 90 phiếu và sau mỗi đêm ta thu lại 18 phiếu (8 phòng bên trong thu 2 phiếu, 2 phòng đầu hè thu 1 phiếu).

Vậy nhóm bạn ở được tối đa 90/18 = 5 ngày

Việc sắp xếp thế nào để đạt được điều này hóa ra không đơn giản Từ lý luận ở phần trên,

ta rút ra một kết luận quan trọng: Để có thể xếp được đủ 5 ngày thì mỗi người phải dùng đủ 9 phiếu, tức là mỗi người chỉ được ở hai phòng đầu hè một lần Đây là nguyên tắc quan trọng để ta xây dựng ví dụ Dưới đây là một ví dụ:

BÀI TOÁN TÌM SỐ NGUYÊN DƯƠNG

Nếu X không tận cùng bằng 9 thì S(X+1) = S(X) + 1

Như thế cả hai số này không thể cùng chia hết cho 7

Giả sử X = a9 9 (k chữ số 9, sau đó đến số a là một số không tận cùng bằng 9)

Khi đó X+1 = (a+1)0 0 (k chữ số 0)

Vậy ta có S(X) = S(a) + 9k, S(X+1) = S(a) + 1

Suy ra 9k - 1 chia hết cho 7

Như vậy số k nhỏ nhất là số 4

Ta lại chọn a nhỏ nhất sao cho S(a) + 1 chia hết cho 7

a) Hỏi vào hôm kia ở bãi cỏ có bao nhiêu hoa cúc vàng?

b) Ngày mai ở bãi cỏ sẽ có bao nhiêu hoa cúc trắng?

Như vậy tổng cộng ngày hôm kia có: 11 + 14 = 25 hoa cúc vàng

Từ đây cũng suy ra ngày hôm qua có: 20-11 = 9 hoa cúc vàng mới nở

Suy ra ngày mai có 9 hoa cúc trắng

Ta có bảng minh họa sau:

Ngày hôm kia Ngày hôm qua Ngày hôm nay Ngày mai

BÀI TOÁN ROBINSON CÂN ĐÁ

Đề bài:

Sau một thời gian sống trên đảo hoang, Robinson Crusoe thu lượm được 32 hòn đá quý Nhìn bề ngoài không thể phân biệt được hòn đá nào nặng hơn Robinson Crusoe cũng không có cân đồng hồ để cân chính xác khối lượng các hòn đá mà chỉ có thể dùng cân đĩa

nhất, Robinson phải loại đi 31 hòn đá còn lại, do đó cần ít nhất 31 lần cân

Để ý rằng trong quá trình cân, nếu Robinson ghi nhận lại các kết quả thì hòn đá nặng thứ nhì sẽ phải là một trong các hòn đá nhẹ hơn hòn đá nặng nhất Robinson có thể bố trí cách cân để hòn đá nặng nhất chỉ cân với 5 hòn đá khác

Cụ thể:

Lượt 1 cân 16 cặp, loại 16 còn 16

Lượt 2 cân 8 cặp, loại 8 còn 8

Lượt 3 cân 4 cặp, loại 4 còn 4

Lượt 4 cân 2 cặp, loại 2 còn 2

Lượt 5 cân cặp hòn đá còn lại, loại 1 còn 1

Robinson tìm được hòn đá nặng nhất sau: 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 lần cân

Bây giờ Robinson còn 5 hòn đá nhẹ hơn hòn đá nặng nhất Hòn đá nặng nhì phải nằm trong số này Anh ta cần 4 lượt cân nữa để xác định hòn đá nặng nhất trong 5 hòn đá này.Vậy Robinson cần: 31 + 4 = 35 lượt cân để tìm ra 2 hòn đá nặng nhất

BÀI TOÁN 7 CHÚ LÙN CHIA SỮA

Đề bài:

Bảy chú lùn ngồi quanh một cái bàn tròn, trước mặt mỗi chú là một cái cốc có chứa sữa bên trong (có thể có cốc không có sữa) Có tổng cộng nửa lít sữa ở trong tất cả cốc

Một chú lùn đứng dậy và chia đều lượng sữa trong cốc của chú vào cốc các bạn Sau đó lần lượt các chú lùn khác cũng làm như vậy Sau khi chú lùn thứ bảy chia xong sữa thì mọi chú lùn đều có một lượng sữa bằng lượng sữa mà họ có lúc ban đầu Hỏi lượng sữa có trong mỗi cốc lúc đầu là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Gọi lượng sữa của mỗi chú lùn theo thứ tự chia sữa là a1, a2, …, a7, đồng thời lượng sữa

mà mỗi chú lùn này chia cho những người còn lại theo thứ tự là s1; s2; …; s7

Đặt s1 + s2 + s3 + … + s7 = S

Chú lùn thứ nhất chia cho mỗi người khác s1 và sau đó được nhận vềa1 = s2 + s3 + … + s7

mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ nhất là a1 = 6s1

nên ta có: 7s1 = a1 + s1 = S

Chú lùn thứ 2 chia cho mỗi người khác s2 và sau đó được nhận vềa2 = s3 + s4 + … + s7

mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ 2 là a2 + s1 = 6s2

nên ta có: 7s2 = a2 + s1 + s2 = S

Chú lùn thứ 3 chia cho mỗi người khác s3 và sau đó được nhận vềa3 = s4 + s5 + s6 + s7

mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ 3 là a3 + s1 + s2 = 6s3

nên ta có: 7s3 = a3 + s1 + s2 + s3 = S

Tương tự ta sẽ có S = 7s4 = 7s5 = 7s6 = 7s7 Þs1 = s2 = s3 = … = s7 = (1/7)S

Suy ra: a1 = (6/7)S; a2 = (5/7)S; a3 = (4/7)S; …; a7 = 0

Theo đề bài ta có: a1 + a2 + …+ a7 =1/2 nên 3S=1/2 hay S=1/6

Vậy lượng sữa có trong mỗi cốc của 7 chú lùn lần lượt là: 1/7 lít, 5/42 lít, 2/21 lít, 1/14 lít, 1/21 lít, 1/42 lít và 0 lít

BÀI TOÁN GỬI TIỀN NGÂN HÀNG

Vào dịp đầu năm mới 2015, giám đốc một công ty tin học đến làm việc với Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin về việc hợp tác phát triển nguồn nhân lực

Bên cạnh các hoạt động như giáo dục hướng nghiệp, tham quan thực tập, đào tạo chuyên môn chuyên ngành, công ty còn đề xuất sẽ trao học bổng cho các sinh viên của khoa vào dịp cuối năm Tổng học bổng mỗi năm là 100 triệu đồng và được trao trong vòng 10 năm.(Như vậy tổng quỹ học bổng là một tỷ đồng) Công ty sẽ gửi vào ngân hàng một khoản tiền để vừa đủ thực hiện cam kết trong vòng 10 năm

Giả định rằng lãi suất huy động của ngân hàng trong suốt 10 năm cố định ở mức

10%/năm, thì công ty sẽ cần gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền vào đầu năm 2015?

BÀI TOÁN TRÒ CHƠI BỐC KẸO

Đề bài:

Hai bạn An và Bình chơi trò chơi bốc kẹo Ban đầu trên bàn có 25 viên kẹo Bắt đầu từ

An, hai bạn luân phiên nhau bốc kẹo, mỗi lần được phép bốc 1, 2 hoặc 3 viên Đến khi hết kẹo trên bàn ai bốc được tổng cộng một số chẵn viên kẹo sẽ thắng

Hỏi ai là người có chiến thuật thắng nếu cả hai cùng chơi đúng?

Hướng dẫn giải:

Ta giải bài toán bằng cách đi ngược từ dưới lên Vì tổng số kẹo là 25 nên nếu cuối cùng một người bốc được số lẻ viên kẹo sẽ thua, do người kia sẽ bốc được một số chẵn viên kẹo

Ta ký hiệu mỗi trạng thái đến lượt An hay Bình đi bằng hai tham số (CL, k), trong đó CL

là tính chẵn lẻ của số kẹo mà người chơi đang có, k là số kẹo còn lại trên bàn Ta viết f(CL, k) = 1 nếu người đi có chiến thuật thắng từ trạng thái này Trong trường hợp ngược lại f(CL, k) = 0 Mục đích của chúng ta là cần tính F(C, 25) Nếu giá trị này bằng 1 thì Anthắng, ngược lại nếu giá trị này bằng 0 thì Bình thắng

Ví dụ f(C, 1) = 0 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và bắt buộc phải bốc viên kẹo cuốicùng, kết thúc cuộc chơi f(C, 2) = 1 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và có thể bốc 2viên kẹo cuối cùng để giành chiến thắng Cũng như vậy f(C, 3) = 1 (bốc 2) Tương tự nhưthế thì f(L, 1) = 1 (bốc 1), F(L, 2) = 1 (bốc 1), F(L, 3) = 1 (bốc 3)

Để tính f(C, 4) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số lẻ viên kẹo Nếu ta bốc 1, 2 hoặc 3 viên thì sẽ đưa đối thủ đến các trạng thái (L, 3), (L, 2), (L, 1) tương ứng, và đều là các trạng thái thắng của đối thủ Suy ra f(C, 4) = 0 Với f(L, 4) ta bốc 3 viên, đưa đối thủ vào trạng thái thua (C, 1) và giành chiến thắng

Tiếp tục, để tính f(C, 5) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số chẵn viên kẹo Do đó ta bốc 1 viên và đưa đối thủ vào trạng thái (C, 4) là trạng thái thua, như vậy f(C,5) = 1 Ngược lại từ (L, 5) ta chỉ có thể đưa về (L, 4), (L, 3), (L, 2) là các trạng thái thắng, suy ra f(L, 5) = 0

Nói tóm lại, một trạng thái là thua nếu mọi cách đi đều đưa về trạng tháng thắng (cho đối thủ), một trạng thái là thắng nếu có một cách đi đưa về trạng thái thua (cho đối thủ) Bằng

lý luận này, ta lập được bảng giá trị sau

Như vậy f(C, 25) = 0, tức là Bình có chiến thuật thắng.

(Đây là bài toán khá khó trong lý thuyết thuật toán và trò chơi)

BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH

Đề bài:

Phương Vy đi từ nhà mình (V) đến nhà bà ngoại (B) Con đường từ nhà Vy đến nhà bà có chỗ bằng phẳng, có chỗ lên dốc, có chỗ xuống dốc Vy đi trên đường phẳng với tốc độ 5 km/h, lên dốc với tốc độ 4 km/h và xuống dốc với tốc độ 6 km/h Vy mất 1 giờ 36 phút để

đi từ V đến B và mất 1 giờ 39 phút để đi từ B đến V

Nếu đoạn đường phẳng có độ dài 2,5 km thì khoảng cách từ V đến B bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

BÀI TOÁN BÓNG ĐÁ

Đề bài:

Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt Đội thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua thì 0 điểm Sau khi kết thúc giải, người ta thấy đội vô địchthua đúng 1 trận và có số điểm bằng tổng điểm của hai đội xếp nhì, ba và bằng tổng điểm của ba đội xếp cuối

Hãy tìm số điểm của đội vô địch và đội xếp cuối

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài thì đội vô địch thua đúng 1 trận, do đó được tối đa 4 x 3 = 12 điểm Cũng theo đề bài, đội vô địch có số điểm bằng 1/2 tổng điểm của 5 đội còn lại 5 đội này đấu với nhau 10 trận, đem lại ít nhất cho tổng điểm là 20 điểm (mỗi trận hòa đem lại 2 điểm, mỗi trận thắng thua đem lại 3 điểm) Ngoài ra, họ có lấy được ít nhất 3 điểm từ đội vô địch

Suy ra tổng điểm của 5 đội ít nhất là 23

Suy ra đội vô địch được ít nhất 11,5 điểm

Từ các lý luận trên, vì điểm của một đội là số nguyên nên đội vô địch được 12 điểm

Từ đây, 5 đội còn lại có tổng điểm là 24 Họ lấy được 3 điểm từ trận thắng đội vô địch Suy ra trong 10 trận đấu giữa họ với nhau, họ tạo ra được 21 điểm

Suy ra chỉ có 1 trận thắng - thua trong 10 trận này, còn lại 9 trận hòa Như vậy 5 đội còn lại chỉ có 2 trận thắng

Ta có nhận xét rằng, do đội vô địch không có trận hòa nào, nên nếu một đội bóng được 5 điểm trở lên thì đội bóng đó thắng ít nhất 1 trận Do vậy đội thứ tư được không quá 4 điểm (ngược lại, sẽ có 3 đội được 5 điểm trở lên, mỗi đội sẽ thắng ít nhất 1 trận, mâu thuẫn)

Do tổng điểm của 3 đội xếp cuối là 12 nên từ đây suy ra đội cuối bảng được 4 điểm.Vậy đội vô địch được 12 điểm, đội xếp cuối được 4 điểm Thực tế giải đấu như vậy có thể xảy ra với kết quả các trận đấu như bảng dưới đây:

3 acacias, 1 monkey, 4 acacias, 3 monkeys, 3 otters, 3 captives, 1 hibiscus, 1 engineer, 3 lotuses, 3 engineers, 2 horses, 4 engineers, 4 horses, 1 hooligan, 4 giantesses, 4 hooligans,

2 orchids

Hãy xếp lại phần dịch nghĩa tiếng Anh theo đúng thứ tự Giải thích rõ lý luận của bạn

Hướng dẫn làm bài:

Ta thấy các cụm từ tiếng Thái có 3 thành tố, đó là số từ, danh từ riêng và 1 thành tố khác

Ta thấy ở phần tiếng Thái chữ khon xuất hiện 7 lần, dok xuất hiện 5 lần, tua xuất hiện 5 lần, trong khi đó bên tiếng Anh, chỉ có số 3 xuất hiện 6 lần và số 4 xuất hiện 5 lần Vậy thành tố cuối trong tiếng Thái không phải là danh từ riêng hoặc số từ

Sử dụng tư duy ngữ pháp tiếng Việt, ta có thể đoán thành tố cuối này chỉ người, con vật hay đồ vật (hoa) Phân tích số lần xuất hiện ta tìm đượckhon chỉ người

Tiếp tục phân tích số lần xuất hiện, ta thấy nếu loại đi thành tố cuối thì chỉ có chữ sam xuất hiện 6 lần Suy ra sam = 3 Tương tự si = 4 Với cặp số từ này, ta thấy chỉ có 3 acacias, 4 acacias và 3 engineers, 4 engineers là có 3, 4 Chỉ có engineers mới đi với chữ khon nên ta tìm được chang sam khon = 3 engineers, chang si khon = 4 engineers

Bằng phép loại trừ, ta suy ra krathinthet sam dok = 3 acacias, krathinthet si dok = 3 acacias Như vậy dok chỉ loài hoa, còn tua chỉ loài vật

Lại phân tích số lần xuất hiện của các số từ còn lại, ta tìm đượng nueng = 1và song = 2

Sử dụng các thông tin này, phân tích số lần xuất hiện, ta tìm được toàn bộ tương ứng một cách dễ dàng.

krathinthet sam dok = 3 acacias, durong si tua = 4 horses, krathinthet si dok = 4 acacias,

se song dok = 2 orchids, nakleng nueng khon = 1 hooligan, nakleng si khon = 4

hooligans, nangyak si khon = 4 giantesses, chang nueng khon = 1 engineer, kabin nueng tua = 1 monkey, chang sam khon = 3 engineers, chaba nueng dok = 1 hibiscus, bua sam dok = 3 lotuses, nak sam tua = 3 otters, chang si khon = 4 engineers, durong song tua = 2 horses, kabin sam tua = 3 monkeys, chaloei sam khon = 3 captives

BÀI TOÁN CÔ BÉ QUÀNG KHĂN ĐỎ

Đề bài:

Cô bé quàng khăn đỏ có một hộp gồm 1.000 viên kẹo Ở bên ngoài có một số lượng tùy ýthanh chocolate và bánh kem

Cô bé quàng khăn đỏ có thể thay:

- Hai viên kẹo trong hộp bằng 1 thanh chocolate

- Hai bánh kem trong hộp bằng 1 thanh chocolate

- Hai thanh chocolate trong hộp bằng 1 viên kẹo và 1 bánh kem

- Một viên kẹo vào một thanh chocolate trong hộp bằng 1 bánh kem

- Một bánh kem và một thanh chocolate trong hộp bằng một viên kẹo

Hỏi, có thể xảy ra tình huống sau một thời gian, trong hộp chỉ còn lại:

Thật vậy, ban đầu S chẵn Duyệt qua các phép biến đổi:

- Hai viên kẹo trong hộp bằng 1 thanh chocolate > S giảm 2

- Hai bánh kem trong hộp bằng 1 thanh chocolate > S giảm 2

- Hai thanh chocolate trong hộp bằng 1 viên kẹo và 1 bánh kem > S tăng 2

- Một viên kẹo và một thanh chocolate trong hộp bằng 1 bánh kem > S không đổi

- Một bánh kem và một thanh chocolate trong hộp bằng một viên kẹo > S không đổi.

=> Như vậy ta có điều phải chứng minh

Do S luôn là số chẵn, do đó các tình huống a), b) không thể xảy ra

Để giải câu c), ta cũng làm tương tự, nhưng tinh tế hơn.

Giả sử 1 viên kẹo giá 1 đồng, bánh kem giá 3 đồng và một thanh chocolate giá 2 đồng, khi đó, các phép đổi đồ ăn có giá như sau:

1 Đổi 2 kẹo lấy 1 chocolate: Đổi 2 đồng thành 2 đồng

2 Đổi 2 bánh kem lấy 1 chocolate: Đổi 6 đồng thành 2 đồng

3 Đổi 2 chocolate lấy 1 kẹo, 1 bánh kem: Đổi 4 đồng thành 4 đồng

4 Đổi 1 kẹo + 1 chocolate lấy 1 bánh kem: Đổi 3 đồng thành 3 đồng

5 Đổi 1 bánh kem + 1 chocolate lấy 1 kẹo: Đổi 5 đồng thành 1 đồng

Như vậy, ở mỗi phép đổi, hoặc số tiền bảo toàn, hoặc giảm đi 4 đồng Ban đầu có 1.000 kẹo sẽ tương ứng với 1.000 đồng, như vậy quá trình đổi không thể kết thúc bằng 1, 2, hoặc 3 đồng, nên bài toán vô nghiệm

Chú ý rằng cách giải này áp dụng được cho cả hai câu a), b)

Đề bài:

Cửa hàng thức ăn nhanh Mc Donald's có 3 loại hộp bánh chicken mcnuggets là hộp 6 bánh, hộp 10 bánh và hộp 15 bánh Một khách hàng thắc mắc nếu ai đó muốn mua, chẳnghạn 29 cái bánh thì sẽ không lấy nguyên hộp được

Giám đốc cửa hàng trả lời rằng: "Đúng là có những tình huống như thế, và lúc đó chúng tôi đành phải xé lẻ Tuy nhiên, đối tượng chính của chúng tôi là các trường học, họ luôn mua đủ nhiều và vì thế chúng tôi luôn có thể bán nguyên hộp đúng số lượng họ cần".Tìm số nguyên N nhỏ nhất mà với mọi n ≥ N, ta có thể chọn ra một số hộp bánh các loại như trên có tổng số bánh đúng bằng n

Đáp án:

Ta thấy không thể lấy được đúng 29 cái bánh Giả sử ngược lại lấy được đúng 29 cái bánh, do 6 và 10 đều chẵn nên ta phải dùng ít nhất một hộp 15 Lúc này chỉ còn lại 14 cái bánh Rõ ràng là ta không lấy đúng được từ các hộp 6, 10

Bây giờ ta chứng minh từ 30 cái bánh trở đi ta luôn lấy đúng được Thật vậy, ta có:

Vậy N = 30 là số nhỏ nhất cần tìm

BÀI TOÁN TIỀN GIẢ TIỀN THẬT

BÀI TOÁN TÌM NGƯỜI NÓI DỐI

Đề bài:

Có 5 người ngồi xung quanh một cái bàn tròn và tất cả họ đều khẳng định “Cả hai người ngồi cạnh tôi đều nói dối” Bạn biết rằng người nói dối luôn nói dối, còn người không phải là người nói dối thì luôn nói thật Trên bàn này mọi người đều biết ai nói dối, ai không

Hỏi có bao nhiêu người nói dối ngồi quanh bàn?

Lời giải:

Bên cạnh người nói dối phải có ít nhất một người nói thật, bên cạnh người nói thật phải làhai người nói dối Do đó quanh bàn phải có đủ cả hai loại người

Do 2 người nói thật không thể ngồi cạnh nhau nên có tối đa 2 người nói thật

Trường hợp có một người nói thật không thể xảy ra, vì khi đó sẽ có 4 người nói dối kề nhau, và 2 người ở giữa họ sẽ không có người ngồi bên cạnh nói thật

Vậy phải có 2 người nói thật và 3 người nói dối

Về mặt logic, phủ định của câu nói "Cả hai người cạnh tôi đều nói dối" là "Không phải cảhai người cạnh tôi đều nói dối" Như vậy, bên cạnh người nói dối có thể là hai người nói thật, nhưng cũng có thể là một người nói dối, một người nói thật

Họ có thể sắp xếp như sau: dối - thật - dối - thật - dối

Nhóm đầu có 7 số và ta lấy tối đa được 4 số

Nhóm 2 có 6 số, ta lấy tối đa được 3 số

Nhóm 3 có 5 số, ta lấy được tối đa 3 số

3 nhóm sau có 4 số, ta lấy được tối đa 2 số

7 nhóm sau có 3 số, ta lấy được tối đa 2 số

Các nhóm bắt đầu từ 27 đến 99 có 1 hoặc 2 số, ta lấy được tối đa 1 số

Có (99 – 27)/2 + 1 = 37 nhóm như vậy

Vậy tổng cộng ta lấy được tối đa: 4 + 3 + 3 + 10.2 + 37 = 67 số

Để có được 67 số này, nguyên tắc là trong mỗi nhóm, ta lấy số đầu tiên, sau đó lấy cách 1

BÀI TOÁN SỐ NGUYÊN

Đề bài:

Có 10 số nguyên (không nhất thiết khác nhau) có tính chất là nếu đem tất cả các số ngoại trừ một số cộng lại thì các tổng lần lượt là: 82, 83, 84, 85, 87, 89, 90, 91, 92 Tổng thứ 10 lặp lại với một trong các tổng trên

Hỏi tổng tất cả 10 số bằng bao nhiêu?

Giải:

Bài toán sẽ được giải xong nếu ta tìm được tổng thứ 10 bằng bao nhiêu

Nếu có đủ 10 tổng thì mỗi số sẽ xuất hiện trong 9 tổng, do đó mỗi số được cộng 9 lần.Như vậy tổng của 10 tổng phải chia hết cho 9

Vì 82 + 83 + 84 + 85 + 87 + 89 + 90 + 91 + 92 chia hết cho 9, nên tổng còn lại cũng phải chia hết cho 9

Theo đề bài, tổng thứ 10 này lặp lại 9 tổng trước, do đó tổng thứ 10 phải bằng 90

Từ đây tổng của 10 số bằng:

đa là 2 × 2 + 5 × 3 = 19

Tương tự, số tượng tối đa trên các ô trắng là 19 Suy ra số tượng tối đa có thể xếp lên bàn

cờ là 2 × 19 = 38

BÀI TOÁN TÌM SỐ NGƯỜI Ở LÀNG NÓI DỐI

Ngày hôm qua cũng có một cuộc họp như vậy, nhưng có một thành viên vắng mặt, kết quả là có 216 lần câu “nói dối” được dùng đến Hỏi làng đó có bao nhiêu thành viên?

Giải:

Giả sử có x người nói thật, y người nói dối thì mỗi người nói thật sẽ nói câu “anh ta là người nói dối” y lần, mỗi người nói dối sẽ nói “anh ta là người nói dối” x lần

Suy ra tổng số các câu “anh ta là người nói dối” là: xy + yx = 2xy

Theo đề bài ta có 2xy = 240

Suy ra xy = 120

Nếu vắng đi 1 người thì người đó có thể là người nói thật hoặc người nói dối Do vai trò hoàn toàn đối xứng, ta có thể giả sử đó là người nói thật.

Khi đó, tương tự như trên ta sẽ có 2(x-1)y = 216

suy ra (x-1)y = 108

Từ đây suy ra y = 12 và x = 10

Vậy nhóm có 12 + 10 = 22 thành viên

BÀI TOÁN HÌNH TAM GIÁC VÀ CHỮ SỐ

Đề bài:

BÀI TOÁN KHỐI LẬP PHƯƠNG

Đề bài:

bỏ trên một cái đĩa và được úp lại bằng một cái tô.

Người chơi đặt tiền vào các cửa Sau đó nhà cái lắc đĩa và mở ra Nếu người chơi đặt 1.000 đồng vào cửa tôm mà ra một con tôm sẽ được trả 1.000, ra 2 con tôm được trả 2.000, ra 3 con tôm được trả 3.000

Nhiều người cho rằng đây là một trò chơi công bằng, 50-50 Nhà cái chỉ lấy của người này trả cho người khác Sở dĩ có thắng thua là vì người chơi đặt không đều Thực ra không phải vậy

Giả sử có 6 người chơi, mỗi ván đặt 1.000 đồng vào 6 cửa (mỗi người một cửa) Nếu họ chơi như vậy với số ván đủ nhiều thì tỷ lệ thắng của nhà cái là bao nhiêu?

Giải:

Ta thấy rằng với cách chơi đều như vậy, nếu ra 3 quân khác nhau thì nhà cái sẽ hòa: có 3 cửa thắng, 3 cửa thua và nhà cái lấy tiền của 3 cửa thua trả cho 3 cửa thắng Nhưng nếu có 2 quân nào đó giống nhau, ví dụ 2 bầu, 1 cua thì các cửa tôm, cá, nai, gà thua Nhà cái thu 4.000 và chỉ phải trả cho cửa bầu 2.000, cửa cua 1.000, lời 1.000 Đặc biệt nếu ra 3 quân giống nhau thì nhà cái lời 2.000

Vì xác suất ra các quân là như nhau nên có tất cả 6 × 6 × 6 = 216 trường hợp khác nhau Trong số 216 trường hợp này, có 6 × 5 × 4 = 120 trường hợp ra 3 quân khác nhau, 1 trường hợp ra 3 quân giống nhau và 216 – 120 – 1 = 95 trường hợp ra 2 quân này và 1 quân khác

Như vậy, tỷ lệ ván mà nhà cái thắng là 96:216 = 44%

Nếu tính theo tỷ lệ tiền lời/số tiền đặt thì giả sử họ chơi 216 ván và ra 216 kết quả khác nhau như trên (thực tế, tất nhiên sẽ khó xảy ra như vậy, nhưng nếu chơi đủ nhiều thì tỷ lệ sẽ khá đúng) thì kết quả là:

Một tỷ lệ rất lớn nếu tính là 1 ván chơi chỉ diễn ra trong chừng vài phút!

Do vậy, ngày Tết ta có thể chơi vui, chứ đừng nghĩ là có thể kiếm tiền bằng cách chơi Bầu – Cua – Tôm – Cá (và đánh bạc nói chung) Đó là chưa kể người ta còn nghĩ ra nhiềuthiết bị để kiểm soát, thay đổi kết quả

BÀI TOÁN TÌM SỐ NGƯỜI ĐI CHÚC TẾT

Đề bài:

Một nhóm người đi chúc Tết họ hàng trong dịp Tết Ất Mùi Biết rằng, trong nhóm người này có các mối quan hệ: bố, mẹ, con trai, con gái, anh (em) trai, chị (em) gái, anh (chị, em) họ, cháu trai, cháu gái, chú (bác), cô (dì)

Hỏi nhóm người đi chúc Tết đó có ít nhất mấy người?

Hướng dẫn giải:

Bố và con trai là 2 người nam khác nhau; mẹ và con gái là 2 người nữ khác nhau

Do đó nhóm này có ít nhất 4 người Ta sẽ chỉ ra một khả năng nhóm 4 người thỏa mãn yêu cầu bài toán:

Anh và em gái, người anh có 1 con trai và người em gái có 1 con gái

Vị khách A mừng tuổi tất cả 2015 học sinh, mỗi học sinh nhận được 1.000 đồng Sau đó,

vị khách B thông báo tất cả các học sinh có số thứ tự là bội của 3 sẽ được mừng tuổi thay thế mệnh giá từ 1.000 đồng thành 10.000 đồng

Sau đó, vị khách C thông báo tất cả các học sinh có số thứ tự là bội của 5 sẽ được mừng tuổi thay thế mệnh giá từ số tiền hiện tại thành 5.000 đồng

Sau đó, vị khách D thông báo tất cả các học sinh có số thứ tự là bội của 7 sẽ được mừng tuổi thay thế mệnh giá từ số tiền hiện tại thành 20.000 đồng.

Tính tổng giá trị số tiền mừng tuổi của các vị khách cho tất cả các học sinh

Hướng dẫn giải:

Từ 1 đến 2015 có: 671 số chia hết cho 3

403 số chia hết cho 5

287 số chia hết cho 7

134 số chia hết cho 15

95 số chia hết cho 21

57 số chia hết cho 35

19 số chia hết cho 105

Suy ra có 403 − 57 = 346 số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 7

và 671 − (134 + 95 − 19) = 461 số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 5 và 7Số học sinh có số thứ tự không chia hết cho 3 hoặc 5 hoặc 7 là:

Đáp án:

Gọi n là số miền, a là số ô của mỗi miền và s là tổng các số của mỗi miền Ta thấy rằng hình có chứa 56 ô và tổng các số trên hình là 63

Như thế ta có na = 56 và ns = 63

Ta biết rằng n, a, s là các số nguyên và n > 1 Như vậy n phải là ước chung khác 1 của 56

và 63 Chỉ có một số như vậy là 7, vậy n = 7 và như thế a = 8 và s = 9

Vậy, ta sẽ có 7 miền, mỗi miền chứa 8 ô vuông đơn vị và tổng các số trên mỗi miền bằng 9

Tiếp theo, ta thấy rằng các số 5 và 6 ở góc trên bên phải phải thuộc vào các miền khác nhau Các số 6 chỉ có thể kết hợp với số 3 và số 5 phải kết hợp với số 4 ở dưới nó Các sốcòn lại là 1, 1, 1, 2, 3, và 7 số 4

Trong các số này, cách duy nhất để tạo ra tổng bằng 9 chứa số 1 là 1, 4, 4 Vì có 3 số 1, sẽcó 3 miền chứa các số 1,4,4 Miền cuối cùng chứa các số 2,3,4 Từ đây, bằng cách thử và sai, ta có thể tìm được một cách chia như sau