BAI THE TICH 12 NANG CAO

Giả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước 8, 4, 3 như sau : Bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp, ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh

CHƯƠNG I :

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC PHỔ THƠNG VQ

GV: PHAN VĂN VINH

Bài 4 : : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNTHỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

I THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?

(SGK trang 23)

Giả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước 8, 4, 3 như sau :

Bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp,

ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1.

8

4 3

Nếu gọi 1 (đơn vị thể tích) là thể tích khối lập phương có cạnh bằng 1 (đơn vị dài) thì thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước 8 x 4 x 3 bằng bao nhiêu ? Vì sao ?

Làm sao ta có thể đếm được có bao nhiêu khối lập phương đơn vị như vậy ?

V = 1 (đơn vị thể tích)

Theo tính chất 2, thể tích V của khối hộp chữ nhật bằng tổng các thể tích của các khối lập phương nên thể tích của khối hộp chữ nhật trên bằng bao nhiêu ?

Có bao nhiêu khối lập phương đơn vị trong khối hộp chữ nhật trên ?

8

4 3

Như vậy, trong trường hợp ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c đều là những số nguyên dương.

Ta có công thức : V = a.b.c

Định lý 1 : Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích số của ba kích thước.

Trong trường hợp a, b, c là những số dương tùy ý (không nhất thiết phải là số nguyên), người ta chứng minh được rằng công thức nói trên vẫn đúng Như vậy một cách tổng quát, ta có :

Chú ý :

Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng a là : V = a 3

a

C D

C’

D’

A B

C D

S

S’

H

M• •N

Ví dụ 1 : Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.

Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S’, A, B, C, D.

Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các

tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng

MN là một cạnh của khối lập phương.

• Bài giải :

A B

C D

S

S’

H

M• •N

S

B

C D

S’

M

N

I

J

K G

P Q

A

Ví dụ 1 : Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.

• Bài giải :

Ví dụ 1 : Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.

• Bài giải :

Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S’, A, B, C, D.

Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các

tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng

MN là một cạnh của khối lập phương.

Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm

của AB và BC thì M và N lần lượt nằm

trên SM’ và SN’ nên :

3

2 '

N ' M

MN '

SN

SN '

SM

SM

=

=

3

2

⇒

Mà

2

2

a 2

a 2

1 AC

2

1 '

N '

3

2

a 2

2

a 3

2

⇒

27

2 a

2 3

2

a MN

V

3

3









=

=

C D

S

S’

H

N

Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng a và b Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

?1

• Bài giải :

A

A’

C

B

C’

B’

•

•

a b h

Giả sử ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đã cho.

Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của

BC và B’C’.

D’

D

Khi đó, phép đối xứng qua đường thẳng

OO’ biến khối lăng trụ ABC.A’B’C’

thành khối lăng trụ DCB.D’C’B’.

Khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

(với các kích thước a, b, h) có thể tích

gấp đôi thể tích khối lăng trụ đã cho.

Vậy thể tích của khối lăng trụ là : abh (đvtt)

2

1

VABC.A'B'C' =

O

O’

Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng a và b Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

?1

• Cách khác :

A

A’

C

B

C’

B’

a b h

Vậy thể tích của khối lăng trụ là : abh (đvtt)

2

1

VABC.A'B'C' =

C ≡ B1

B ≡ C1

C’ ≡ B’1

B’ ≡ C’1

A1

A1’

Giả sử ABC.A’B’C’ là khối lăng trụ đã cho.

Ghép khối lăng trụ đã cho ABC.A’B’C’

với khối lăng trụ A 1 B 1 C 1 A 1 ’B 1 ’C 1 ’ bằng

nó sao cho :

Khi đó, ta được hình hộp chữ nhật

ABA 1 C.A’B’A 1 ’C’ có thể tích gấp đôi thể

tích khối lăng trụ đã cho.

B 1 ≡ C, C 1 ≡ B, B 1 ’ ≡ C’, C 1 ’ ≡ B’,

A 1 ∈ (ABC), A 1 ’ ∈ (A’B’C’)

Định lý 2 : Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.

3

1

V = S đáy h

3

1

V = B h

hay

• S đáy hay B : diện tích mặt đáy.

• h : chiều cao của khối chóp (h

là khoảng cách từ đỉnh của

khối chóp tới mặt phẳng chứa

đáy của khối chóp)

A

B

C

D H

h

Chú ý :

6

1

V = AB.BC.CD

• Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB,

SC vuông góc với nhau từng đôi một

thì có :

• Tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC,

CD vuông góc với nhau từng đôi một

thì có :

6

1

V = SA.SB.SC

C S

A

B

A

B

C

D

Bài 4 : : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNTHỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

I THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?

(SGK trang 23)

II THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT

V = abc

Định lý 1 : (SGK trang 24)

Ví dụ 1 : (SGK trang 24)

III THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP

Định lý 2 : (SGK trang 25)

Ví dụ 2 : (SGK trang 25) V = S31 đáy h

3

1

V = B.h

hay

Ví dụ 3 : (SGK trang 26)

Ghi chú : Thể tích khối lập phương : V = a 3

Ghi chú : Tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc :

Tứ diện ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc : 1

6

S = SA SB SC

1

6

Diện tích của n giác đều cạnh a là:

























=

n

π cot 2

a n.

S

2

đêê giác n

2

n

aπ

S n .cot

=  ÷   ÷ 

_ Làm các bài tập 4 đến 6 trang 31 sách Hình học 12.

_ Làm các bài tập 15 đến 25 trang 27 đến trang 29 sách Hình học 12.

_ Làm hoàn chỉnh các ví dụ 1, 2, 3, 4 từ trang 24 đến trang 27 sách Hình học.

BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC PHỔ THÔNG

V Q

*************