Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.. có cạnh đáy 2a và cạnh bên a 6.Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD...
Trang 1MẶT CẦU
Diện tích mặt cầu:
BT1 Tính bán kính, diện tích, thể tích khối cầu
a Tính bán kính của khối cầu có thể tích
36 cm
V ĐS: r3 cm
………
………
………
………
b Một mặt cầu có diện tích 16 thì bán kính mặt cầu bằng ĐS: r2 ………
………
………
………
c Tính thể tích V của khối cầu có bán kính r4 ĐS: 256 3 V ………
………
………
………
d Khối cầu bán kính R2a có thể tích là ĐS: 3 32 3 a ………
………
………
………
BT2 Khối cầu ngoại tiếp khối chóp
+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với
đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)
+ Xác định mặt phẳng trung trực P của một cạnh bên (hoặc trục của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên)
+ Giao điểm I của P và d (hoặc của và d )là tâm mặt cầu ngoại tiếp
+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp
Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn
thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu
S 4R2
V 4 R3
3
Trang 2- Tâm cầu I là trung điểm của SC
-
2
SC
R
- Tâm cầu I là trung điểm của SC
-
2
SC
R
a Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam
giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt
phẳng ABC và SC2a Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
ĐS: Ra
………
b Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SAa 2 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD theo a
ĐS: 4 3 3 V a
………
C
B A
S
D
C B
A S
Trang 3c Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vuông .
cân tại B, AB a SA , 2 ,a SA vuông góc
với ABC Xác định tâm I và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
ĐS: I là trung điểm AC, 2 2 a R
………
d Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC bằng a 3 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAa 6 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ĐS: R2a
………
BT3 Khối cầu ngoại tiếp khối chóp đều
2
2
SA R SO
C
B A
S
C
B A
S
Trang 4a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp tam giác đều S ABC, biết các cạnh đáy
có độ dài bằng a, cạnh bên SAa 3
ĐS: 3 6 8 a
………
b Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a ĐS: 2 14 7 a
………
………
c Cho hình chóp tam giác đều S ABC có ABa và cạnh bên SA2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên ĐS: 48 2 11a
………
d Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có ABa và cạnh bên SA2a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp trên ĐS: 64 14 3 147 a
………
H
C
B A
S
D
C B
A
S
H
C
B A
S
D
C B
A
S
Trang 5e Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam
giác đều cạnh bằng 1 Hình chiếu của đỉnh S
lên mặt đáy trùng với tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC Biết rằng bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng 2
3
Tính thể tích khối chóp ĐS: 7
28
………
f Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy 2a và cạnh bên a 6.Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
ĐS: 9 a 2
………
BT4 Khối cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
2 2
2
đ
R R h
H
C
B A
S
D
C B
A
S
Trang 6a Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vuông góc
với đáy, ABC là tam giác vuông tại A, biết
6
AB a, AC 8 a, SA10a Tìm bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
ĐS: 5a 2
………
b Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác đều cạnh bằng a, 2 SA a Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ĐS: 2 3 3 a
………
c Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác cân tại A và AB a 120 BAC , SA2a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ĐS: a 2
………
d Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc Biết rằng OA a , OB b , OCc Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ĐS: 2 2 2 2 a b c
………
S
B
B A
S
B
B A
S
B
B A
C
B
A O
Trang 7e Cho hình chóp tam giác đều S ABC có đáy
ABC là tam giác đều cạnh a, 2
3
a
SA Gọi D
là điểm đối xứng của A qua BC Tính bán kính
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BCD
ĐS : 21 6 a
………
………
………
………
BT5 Khối cầu ngoại tiếp khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy 2 2 2 4 đ b R R R Gọi h là chiều cao hình chóp và R b, R đlà bán kính của mặt bên, mặt đáy, là độ dài cạnh cạnh chung của mặt bên vuông góc và đáy a Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho ĐS: 5 15 54 V
………
H
C
B A
S
H S
C
B A
H S
C
B A
Trang 8b Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình
vuông cạnh 2 ,a tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với ABCD
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp trên ĐS: 21
3
a
………
………
………
………
………
c Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ĐS: 3 7 21 54 a
………
………
………
………
………
d Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , f x m Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.
ĐS: 2 5 3 a S
………
………
………
………
………
……… BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
S
D
C B
A
S
D
C B
A
S
D
C B
A
Trang 9KHỐI CẦU
þ Dạng 01: Tính bán kính khối cầu
Câu 1 Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30 Đông là 40 (cm) Độ dài đường xích
đạo là:
A 40 3 (cm) B 40 (cm) C 80 (cm) D. 80
3
(cm)
Câu 2 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a
3
a
R . B. Ra C. R2 3a D. R 3a
Câu 3 Trong mặt phẳng P cho tam giác OAB cân tại O , OAOB2 ,a AOB120 Trên
đường thẳng vuông góc với P tại O lấy hai điểm C D, nằm về hai phía của mặt phẳng
P sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD
A. 3 2
2
a
3
a
2
a
3
a
Câu 4 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và mỗi cạnh bên bằng a 2 Khi
đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:
A. 15
5
a
5
a
5
a
4
a
þ Dạng 02: Tính diện tích mặt cầu
Câu 5 Cho khối cầu S có thể tích bằng 36 ( 3
cm ) Diện tích mặt cầu S bằng bao nhiêu?
A. 2
64 cm B. 2
18 cm C. 2
36 cm D. 2
27 cm
Câu 6 Một hình cầu có bán kính bằng 2(m) Hỏi diện tích của mặt cầu bằng bao nhiêu?
A 4 (m2) B 16(m2) C 8 (m2) D. (m2)
Câu 7 Gọi R S V, , lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu Công thức nào sau
đây sai?
A. 4 3
3
V R B. SR2 C 3V S R D. S 4R2
Câu 8 Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng BCD
, AB5a, BC3a và CD4a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A. 5 2
2
a
3
a
2
a
3
a
þ Dạng 03: Tính thể tích khối cầu
Câu 9 Thể tích V của khối cầu có bán kính R4 bằng
A.V 64 B. V 48 C. V 36 D. 256
3
V
Trang 10
Câu 10 Bán kính Rcủa khối cầu có thể tích
3 32 3
a
V
là
7a
Câu 11 Mặt cầu S có diện tích bằng 20 , thể tích khối cầu S bằng
A. 20 5
3
3
3
Câu 12 Cho hình chóp tam giác đều S ABC có đáy bằng 3a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
45 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng
A.
3
3
a
3
3
a
D. 4a3 3
Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, ABa 3 và AD a Đường thẳng SA
vuông góc với đáy và SA a Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S BCD bằng
A.
3
6
a
3
24
a
3
25
a
3
8
a
Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với
đáy Biết SC tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45o Tính Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A. 4 π 3
3
3
3
V a D. V πa3
Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm trong
ABC và 2SH=BC, SBC tạo với mặt phẳng ABC một góc Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH sao cho d O AB ; d O AC ; d O SBC ; 1 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
A. 256
81
162
81
48
343
Câu 16 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A Biết
AB AAa, AC2a Gọi M là trung điểm của AC Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C bằng
A.
3
5 5 6
a
3 2 3
a
3 4 3
a
3 3 3
a
Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD
A. 7 21 3
54 a B. 7 21 3
162 a C. 7 21 3
216 a D. 49 21 3
36 a Câu 18 Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên,
chế tạo ra một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2 60 bằng thủy tinh trong suốt Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (hình vẽ)
0 60
Trang 11Biết rằng chiều cao của hình nón bằng 9cm Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng
A. 112 3
cm 3
cm 3
cm 3
cm 3
þ Dạng 05: Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp đa diện
Câu 19 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B Hình chóp có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C Hình chóp có đáy là hình thang thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp
Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SAa 6 và vuông góc
với đáy ABCD Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD
A. 2
2
2a
Câu 21 Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB1, BC 2, cạnh bên SA
vuông góc với đáy và SA 3 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng:
A 6 B. 3
2
Câu 22 Cho hình chóp S ABC có ABC vuông tại B, BAa BC, a 3 Cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
2
a
4
a
R C. R2a 5 D. Ra 5
Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SAABCD và SAa 2 Thể
tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là
A.
3
6
a
3
3
a
3 4 3
a
Câu 24 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BCa , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng ABC Gọi H; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
SB và SC Tính thể tích khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKB
3
6
a
3
2
a
3 2 3
a
Trang 12
Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A. 21
6
a
B. 11
6
a
C. 3
6
a
D. 7
3
a
Câu 26 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính là
A. 3
2
a
B. 3
3
a
C. 3
4
a
D. 3
5
a
Câu 27 Hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD
và SA2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng:
A. 2
a
6 a Câu 28 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết rằng AB CD a , BCADb,
ACBDc
A. a2b2c2 . B. 2 2 2
2 a b c .
C. 1 2 2 2
2 a b c Câu 29 Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có SA6, SB8, SC10 và
SA , SB , SC đôi một vuông góc.
A. S 100 B. S 400 C. S 200 D. S 150
Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình chữ nhật SA12a, SAABCD và AB3a,
4
AD a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A. R6,5a B. R13a C. R12a D. R6a
Câu 31 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh 2a
A. Ra B. R2a 3 C. 3
3
a
R D. R 3a
Câu 32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB2a , AD a Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy là 45 Gọi N là điểm thuộc cạnh SA sao
cho SA4SN , h là chiều cao của khối chóp S ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ giữa R và h là
A 8R5h B 5R4h C 2R5h D. 4
5 5
R h Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật Biết SA ABa, AD2a, SAABCD
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
A. 2 39
13
a
2
a
4
a
2
a
Câu 34 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB a , AC2a, AA 3a nội tiếp mặt cầu S
Tính diện tích mặt cầu
Trang 13A. 2
56 a D. 7 2
2a Câu 35 Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên hợp với đáy
một góc bằng Gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính thể tích của khối cầu
Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA3 Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD
lần lượt tại các điểm M , N , P Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP
A. 125
6
V
3
V
3
V
3
Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD.Biết rằng AB a , và ASB 60 Tính diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.
A.
2 13 2
a
S
2 13 3
a
S
2 11 2
a
S
2 11 3
a
S
Câu 38 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 , mặt bên SAB là tam giác
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của
khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết ASB120
A. 5 15
54
27
V
3
V
27
Câu 39 Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a , BCa 2, SC2a
và ASC 60 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC
A. Ra B. 3
2
a
2
a
R Câu 40 Cho hình chóp S ABCD đều có AB2 và SA3 2 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp đã cho bằng
A. 33
4 Câu 41 Cho hình chóp S ABC có AB3 Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H
thuộc miền trong tam giác ABC sao cho AHB120 Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S HAB, biết SH 4 3
A. R 5 B. R3 5 C. R 15 D. R2 3
Câu 42 Cho tứ diện ABCD có BC3, CD4, BCDABCADC 90 Góc giữa hai đường
thẳng AD và BC bằng 60 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A. 127 127
6
B. 52 13
3
C. 28 7
3
D 32 3
S
3
8 6 27
a
4 6 9
a
4 3 27
a
8 6 9
a
V