cực trị của hàm số

o x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a b; chứa x0 sao cho a b; Kvà Điểm cực đại của f Giá trị cực đại cực đại của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu

Trang 1

Trang 62 https://www.facebook.com/ThayHaiToan.LTDH

I ĐỊNH NGHĨA

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0K Ta nói:

o x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( )a b; chứa x0 sao cho ( )a b; K

và f x( ) ( ) f x0 , x ( )  a b; \ x0

Khi đó f x( )0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

o x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( )a b; chứa x0 sao cho ( )a b; Kvà

Điểm cực đại của f Giá trị cực đại (cực đại) của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f

Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f

Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của đồ thị hàm số f

Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x f x0; ( )0 ) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

 Nhận xét:

o Giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm

số f trên tập D; f x( )0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng

( )a b; nào đó chứa x0hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại (cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng

;

a b chứa x0 sao cho f x( )0 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng ( )a b;

o Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K Hàm số có thể không

có cực trị trên một tập cho trước

LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

A

=

Trang 2

II ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

 Định lí 1: Giả sử hàm số y= f x( )đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu y= f x( ) có đạo hàm tại điểm x0 thì f x( )0 =0

 Chú ý:

o Đạo hàm f x( ) có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0

o Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

Như vậy: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

III ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

 Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên ( )a b; chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng

Trang 3

Hàm số f đạt cực đại tại x c= Hàm số f đạt cực tiểu tại x c=

IV QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

 Quy tắc 1:

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Tính f x( ) Tìm các điểm tại đó f x( )= 0 hoặcf x( ) không xác định

Bước 3. Lập bảng biến thiên

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Bước 2 Tính f x( ) Tìm các điểm tại đó f x( )= 0 hoặc f x( ) không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

B

=

Trang 4

 Nhận xét: Hàm số = + (  −  )

ax b

cx d không có cực trị, hàm số luôn đồng biến

hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Vậy hàm số đạt cực đại tại x= −1,y=6 và hàm số đạt cực tiểu tại x=1,y= −2

Bài toán 2:Tìm cực trị của hàm số 3 2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0,y= −4 và hàm số đạt cực đại tại x=2,y=0

Trang 5

1

−

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Bài toán 4:Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

x

 = −

 =   =

Bảng biến thiên:

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(−1; 8 ,) (B 2; 19− )

Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x y+ + =1 0

Bài toán 5:Cho hàm số 3 2

3

y=x − x có đồ thị ( )C Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị ( )C

và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó

x

 =

 =   =

 Bảng biến thiên:

Bài toán 6:Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M −( 1;1) và vuông góc với đường thẳng

đi qua điểm cực trị của ( )C : 3 2

Trang 6

 =

 =   =

Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A( ) (1; 2 ,B 3; 2− ) Suy ra AB =(2; 4− ) là y= −2x+4

Ta có phương trình đường thẳng d đi qua M −( 1;1) và vuông góc với AB có phương trình là

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y =1 và hàm số đạt cực đại tại x =0, y =2

24

2

32

+

Trang 7

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x =0, y = −6

2

x y x

Trang 8

y 2

−

+

2

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Bài toán 2:Tìm cực trị của hàm số 2

1

x y x

− −

=+ .

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −3, y = −7 và đạt cực tiểu tại x =1, y =1

Bài toán 2:Tìm cực trị của hàm số 2 2 1

1

x x y

Trang 9

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = −3, y =8 và đạt cực đại tại x =1, y =0

Bài toán 3:Tìm cực trị của hàm số 2 2 15

3

x x y

x x

=+ − .

Trang 10

x x

−

 =

− + Cho y =  − =  =0 x 1 0 x 1 Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x =1, y =2

Bài toán 3:Tìm cực trị của hàm số 2

x y

Trang 11

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = −1, giá trị cực đại tương ứng là y −( )1 =1; hàm số đạt cực tiểu tại x =0, giá trị cực tiểu tương ứng là y( )0 =0

Bài toán 5:Tìm cực trị của hàm số y= f x( )=2 sin 2x−3

Trang 12

Cho 0 1 2 cos 2 0 cos 2 1

2cos

32

x k x

Và hàm số đạt cực tiểu tại x=k , y=y k( ) = −3 2 cosk−cos 2k  = −2 2 cosk

II TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Sau đây là một số dạng toán thường gặp cho các hàm số phổ biến nhất Hàm số +

=+

ax b y

cx d không có cực trị nên ta không đề cập trong phần này

Trang 13

Đối với trường hợp hàm bậc ba có hai điểm cực trị, ta có bài toán tổng quát sau đây:

1.2 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT :

Cho hàm số = ( )= 3+ 2 + +

thỏa mãn điều kiện K cho trước?

o Bước 2: Hàm số có cực trị (hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

 Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt

o Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P Từ đó giải ra tìm được m D 2

o Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m=D1D2

1.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU

KIỆN CHO TRƯỚC

Gọi x x1, 2 là các điểm cực trị của hàm số; y y1, 2 là các giá trị cực trị của hàm số

1.3.1 Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu

y P

y

S P

y

S P

y P

1.3.2 Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn:

Trang 14

a, có 3

nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là = −3 d

x

a

1.3.3 Tìm điều kiện để hai hàm số có hai cực trị x x,

1 2 nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng

Cho 2 điểm A x y( 1; 1) (, B x y2; 2) và đường thẳng :ax by c+ + =0

o Nếu (ax1+by1+c ax)( 2+by2+ c) 0 thì hai điểm A B, nằm về hai phía so với 

o Nếu (ax1+by1+c ax)( 2+by2+ c) 0 thì hai điểm A B, nằm cùng phía so với 

1.3.4 Viết phương trình đi qua các điểm cực trị

Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức y cho y để có:y x( ) ( ) ( )=p x y x +Ax B+

Như vậy, nếu x0 là điểm cực trị của hàm số  y x( )0 =0  y x( )0 =Ax0+B

Suy ra đường thẳng :y x1( )=Ax B+ là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của ( )C

Đối với đường thẳng qua hai cực trị của hàm số bậc 3, ta có công thức:

( )= −  + −

2 1

b ac e

a

Trang 15

1.3.5 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d y: =px q+

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: k=p (hoặc = −1

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: − = 

1

k p

kp (Đặc biệt nếu d  Ox, thì giải điều kiện: k = tan)

1.3.7 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước)

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện  =1 ( ; ) =

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Gọi I là trung điểm của AB

– Giải điều kiện: ⊥

 



d

I d

1.3.9 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước

– Giải điều kiện: d A d( ) ( ); =d B d;

1.3.10 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B

là lớn nhất (nhỏ nhất)

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng pt đường thẳng qua hai điểm cực trị)

– Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB

1.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Trang 16

Bài toán 1: Tìm tất cả tham số m để hàm số ( ) 3 2

y = m+ x + x m+ Hàm số có cực đại, cực tiểu thì trước hết m + 2 0  m  −2 ( )1

Khi đó y là tam thức bậc hai có ( 2 )

Kết hợp với ( )1 và ( )2 ta có những giá trị của m thỏa mãn là: m  − −( 3; 2) ( −2;1)

Bài toán 2: Tìm các giá trị của m để hàm số 3

y=x − mx + m − x+ , m là tham số thực.Tìm tất cả các giá trị của m

để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x =2

m

m m



   = .Kết luận : Giá trị m cần tìm là m=0 , m=2

Bài toán 5:Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 2

y=x − mx + m − x+ đạt cực tiểu tại x =2.

Lời giải

Tập xác định D =

Trang 17

x − mx− = có hai nghiệm phân biệt x x A, B m2+ 1 0 (luôn đúng)

x +x =  x +x − x x =  − m + = m=

Trang 18

Theo Viet ta có x1+x2 =2 và giả thuyết x1 =3x2

Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y có hai nghiệm phân biệt  t x( ) có hai

nghiệm phân biệt    0

2 1313

m m

Trang 19

So với điều kiện ( )1 , ta thấy chỉ 2

3

m = thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 12: Tìm m để hàm số y= − +x3 3x2+3(m2−1)x−3m2−1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Do đó: y có cực đại, cực tiểu  y có hai nghiệm phân biệt

 t x( ) có hai nghiệm phân biệt    0 m 0 ( )1

Khi đó y có các nghiệm là x= 1 m

 Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(1−m; 2 2− − m3) và B(1+m; 2 2− + m3)

m m

Bài toán 13:Tìm m để đồ thị của hàm số 3

y= − +x mx+ có 2 điểm cực trị A B, sao cho tam giác

OABvuông tại O (với O là gốc tọa độ )

y=x − mx+ (1) Cho A(2; 3), tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm

cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

Trang 20

Gọi M là trung điểm của BC thì M(0;1), nên AM = − −( 2; 2)

Vậy tam giácABC là tam giác cân khi và chỉ khi

 − + − = có 2 nghiệm phân biệt  =  1 0, m

Cực đại của đồ thị hàm số là A m( −1; 2 2− m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B m( + − −1; 2 2m)

Vậy có hai giá trị của m là m = − −3 2 2 và m = − +3 2 2

3

y= x −mx + m− x+ Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của

hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục tung

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 2m 0  m 0 ( )1

Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; 3m3), B(2 ;m m− 3)

Trang 21

3

y=x − x ( )C Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị

( )C tạo với đường thẳng :x my+ + =3 0 một góc  biết cos 4

x

 =

 =   =

Vậy tọa độ điểm cực đại của ( )C là ( )0; 0 và tọa độ điểm cực tiểu là (2; 4− )

Đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là 1: 2x y+ =0VTPT n1 =( )2;1

m m

Trang 22

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y= −6x+6

Bài toán 20:Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là y=2x m− 2+ m

Bài toán 21:Gọi d là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Trang 23

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y =0 có hai nghiệm phân biệt   = + 9 3m 0 m −3

Chia y cho y ta được

Trang 24

b Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại

2.2 MỘT SỐ CÔNG THỨC VỀ BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG

với  =b2−4ac tạo thành ABC.Đặt  =BAC

Nhận xét: ABC cân tại A, hai điểm B và C đối xứng nhau qua trục Oy

Khi đó ta có thêm các kết quả sau:

Trang 25

.2

Từ đó chúng ta có thể tìm được tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC

▪ Tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC: 0; 1

c I

▪ Trục hoành chia ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau b2 =4 2 ac

▪ ABCcó điểm cực trị cách đều trục hoành 2

Trang 26

2.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài toán 1: Cho hàm số 4 2

−    Vậy m 0thỏa YCBT

Bài toán 2:Cho hàm số 4 ( ) 2

Hàm số có 3 điểm cực trị hay phương trình y =0 có 3 nghiệm phân biệt

Vậy ( )I có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay 0m1

m m

Trang 27

y=x +  hàm số chỉ có cực tiểu (x =0) mà không có cực đại

 m = −1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 28

 Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1 m=0 không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x =1

Vậy m =3 thỏa yêu cầu bài toán

Bài toán 9:Cho hàm số 4 ( ) 2

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y có 3 nghiệm phân biệt

 t x( ) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Khi đó, ta có: y =0 

0

11

Trang 29

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

y có 3 nghiệm phân biệt  t x( ) có 2 nghiệm phân biệt khác 0  m + 1 0  m  −1 ( )*

Khi đó, ta có: y =0 

0

11

m m

y=mx − x + có ba điểm cực trị là các đỉnh của một tam

giác vuông cân

Trang 30

Do ABC luôn cân tại A vì AB=AC

Nên ABC đều khi 0 1

Trang 31

13

Do ABC luôn cân tại A vì AB=AC

Gọi H là trung điểm của BC nên ( 4 2 )

Trang 32

Hàm số có 3 cực trịy=0 có 3 nghiệm phân biệt m0

AB AC BC R

amx anx bn mc y

Trang 33

m C 0m1 D 0m1

Lời giải

Trước hết ta thấy nếu có dấu bằng xảy ra với đạo hàm bậc ba hoặc hàm bậc hai trên bậc nhất thì

hàm số sẽ không có cực trị, do đó chúng ta loại được đáp án D

m m

  −

  

Suy ra, hàm số có cực đại và cực tiểu khi m  −1 hoặc m 1

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là ( )

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	1,8 MB