(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Đường hypebol

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

H ÌNH HỌC 10

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG

MẶT PHẲNG

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao / Phương pháp giải các dạng toán

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải

như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ4 đờng hypebol

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm cố định F1, F2, với F1F2 = 2c > 0

Tập hợp những điểm M sao cho MF 1 MF 2  = 2a (a là một số không đổỉ và a < c) gọi là một Hypebol

Vậy, ta đợc:

(H) = {M MF1 + MF2 = 2a}

 Hai điểm F1, F2 gọi là hai tiêu điểm của Hypebol.

 Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của Hypebol.

 Trung điểm I của F1F2 gọi là tâm của Hypebol.

 Với điểm M thuộc Hypebol thì các khoảng cách MF1 và MF2 gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M.

2 phơng trình chính tắc của Hypebol

Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F1(c, 0), F2(c, 0) và có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x, y)(H) là 2a (a > c) có phơng trình:

b

y a

x

2 2 2

2



 , với b2 = c2a2

Chú ý: Điểm M(x, y)(H) luôn có:

a F1M =

a

cx

+ a và F2M =

a

cx

a với x > 0

b F1M = 

a

cx a và F2M = 

a

cx + a với x < 0

3 hình dạng của Hypebol

Với Hypebol (H) có phơng trình:

b

y a

x

2 2 2

2





ta xét các tính chất hình học của (H) bằng cách xét

các tính chất đại số tơng ứng của phơng trình trên

a Phơng trình của (H) có bậc chẵn đối với x và y nên:

 Nếu điểm M(x, y)(H) thì các điểm M1(x, y), M2(x, y) và M3(x, y) cũng thuộc (H)

 (H) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng.

b (H) cắt các trục toạ độ tại hai điểm:

 (H)Ox = {A1, A2} có toạ độ là A1(a, 0), A2(a, 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi

là trụ cthực của (H) có độ dài bằng 2a.

 (H) không cắt Oy, đặt B1(0, b); B2(0, b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là trục ảo

của (H) có độ dài bằng 2b

 Vậy trục thực của Hyperbol là trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo là trục đối xứng không cắt Hyperbol

Q y

x O

A

1

F

2

A

2

B

2

B

1

P

S R

 Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh của Hypebol (H)

Lu ý: Hai tiêu điểm của Hypebol (H) luôn ở trên trục thực.

c Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đờng thẳng

x = a và các đờng thẳng y = b đợc gọi là hình chữ nhật cơ sở của (H)

d Từ M(x, y)(H)



2

2

a

x

 1  x a  





 a x a x

Nh vậy Hyperbol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau

 Tập con của (H) chứa những điểm M(x, y) thoả mãn xa gọi là nhánh bên phải của Hyperbol.

 Tập con của (H) chứa những điểm M(x, y) thoả mãn xa gọi là nhánh bên trái của Hyperbol.

 Hai nhánh này đối xứng nhau qua trục ảo và cả hai đều nhận trục thực làm trục đối xứng

e Hyperbol (H) có 2 đờng tiệm cận là: y = 

a

b

x

f Cách dựng Hyperbol (H)

 Xác định vị trí các điểm A1(a, 0) ;A2(a, 0), B1(0, b), B2(0, b) trên hệ toạ độ

 Dựng các đờng thẳng x = a và y = b cắt nhau tại P, Q, R, S

 Hình chữa nhật PQRS có kích thớc 2a, 2b gọi là hình chữ nhật cơ sở của

Hyperbol

 Kẻ hai đờng tiệm cận là hai đơng chéo của hình chữ nhật cơ sở

 Dựa trên hai đỉnh A1, A2 và hai đờng tiệm cận để vẽ Hyperbol

3.1 Hyperbol liên hợp

Định nghĩa 3 Hai Hyperbol có phơng trình:

b

y a

x

2 2 2

2



 và (H2):

2 2 2 2

b

y a

x

 = 1 gọi là hai Hyperbol liên hợp

Chú ý: Hai Hyperbol liên hợp:

- Có chung các đợng tiệm cận và hình chữ nhật

cơ sở

- Có các tiêu điểm và đỉnh khác nhau

Trục thực của Hyperbol này là trục ảo của

Hyperbol kia và ngợc lại

4 Tâm sai của Hypebol

Tâm sai của Hypebol là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của

Hypebol

 Đối với Hypebol (H): 1

b

y a

x

2 2 2

2



 thì e =

a

c

 Đối với Hypebol (H): 1

b

y a

x

2 2 2

2





b

c

Chú ý: Mọi Hypebol đều có tâm sai lớn hơn 1.

phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp

Bài toán 1:Xác định các thuộc tính của Hypebol (H)

Phơng pháp thực hiện

Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu của Hypebol (H) về dạng chính tắc

y

x O

A

1

F1 A F2

2

B2

B1

(H):

2 2

b

y a

x

 = 1

Bớc 2: Xét các khả năng:

Khả năng 1: Nếu

(H):

2 2 2 2

b

y a

x

 = 1

ta đợc:

 (H) có trục thực thuộc Ox, độ dài bằng 2a

chứa hai tiêu điểm

F1(c, 0), F2(c, 0) với c2 = a2 + b2

 (H) có trục ảo thuộc Oy với độ dài bằng 2b

 Tâm sai e =

a

c

Khả năng 2: Nếu

(H):

2 2 2 2

b

y a

x

 = 1

ta đợc:

 (H) có trục thực thuộc Oy, độ dài bằng 2b

chứa hai tiêu điểm

F1(0, c), F2(0, c) với c2 = a2 + b2

 (H) có trục ảo thuộc Ox với độ dài bằng 2a

 Tâm sai e =

b

c

Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình của (H) có dạng:

(H):

2 2 2

2

b

) y ( a

) x







= 1

ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY

với công thức đổi trục:

















y Y

x X

 











 Y y X x

ta đợc:

b

Y a

X

2 2 2

2







từ đó chỉ ra các thuộc tính của (H) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (H)

trong hệ trục Oxy

Ví dụ 1: Cho Hyperbol (H) có phơng trình:

(H): 9x216yy2 = 144

a Chuyển phơng trình của (H) về dạng chính tắc Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ

các tiêu điểm, tính tâm sai, các đờng tiệm cận của (H) và xác định phơng trình

tham số của (H)

b Viết phơng trình Hyperbol (H1) liên hợp của (H) Tìm các thuộc tính của (H1)

và xác định phơng trình tham số của (H1)

c Viết phơng trình chính tắc và phơng trình tham số của Elíp (E) có tiêu điểm

trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)

Giải

y

x O

A

1

F

1

F

2

A

2

y

x O

F

1

F

2

B

2

B

1

a Đa phơng trình Hyperbol về dạng

(H):

9

y 16y

x2 2

 = 1  a = 4, b = 3 và c = 5

Từ đó:

 Tâm O(0, 0)

 Toạ độ các đỉnh A1(4, 0), A2(4, 0)

 Toạ độ các tiêu điểm F1(5, 0), F2(5, 0)

 Tâm sai e =

4

5

 Phơng trình hai đờng tiệm cận là y = 

4

3

x

 Phơng trình tham số của (H) có dạng:

(H):







 tgt 3 y

t cos

4 x

, t[0, 2)\{

2



,

2

3

}

b Phơng trình Hyperbol (H1) liên hợp của (H) có dạng:

(H1):

9

y 16y

x2 2

 = 1

Các thuộc tính của (H 1 ) và phơng trình tham số của (H 1 ) bạn dọc tự làm

c Giả sử phơng trình chính tắc của Elíp có dạng:

b

y a

x

2 2 2

2



 P(4, 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) Để Elíp (E) ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)

 P(4, 3)(E)  9a2 + 16yb2 a2.b2 = 0 (3)

Từ (2), (3) suy ra a2 = 40, b2 = 15

Vậy phơng trình chính tắc (E): 1

15

y 40

x2 2



và phơng trình tham số có dạng:

(E): 







t cos 15 y

t sin 10 2 x

, t[0, 2)

Bài toán 2:Lập phơng trình của Hypebol (H)

Phơng pháp thực hiện

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng phơng trình chính tắc của Hypebol

b

y a

x

2 2 2

2







Từ đó cần tìm a, b (hoặc a2, b2) bằng cách thiết lập một hệ hai phơng trình với ẩn

a, b (hoặc a2, b2)

Cách 2: Sử dụng định nghĩa

Chú ý:

1 Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phơng trình thích hợp Trong trờng hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Hypebol (H)

có phơng trình:

(H): 1

b

y a

x

2

2 Trong nhiều trờng hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phơng pháp quỹ tích để xác phơng trình Hypebol hoặc chứng minh tập hợp điểm là Hypebol, trong trờng hợp này này chúng ta thờng thực hiện theo hai bớc sau:

Bớc 1: Chứng minh tập hợp điểm là Hypebol (H) bằng việc chỉ ra hai điểm cố

định A, B và M thoả mãn MAMB = 2a  không đổi

Bớc 2: Lập phơng trình chính tắc của Hypebol (H) nhận A, B làm tiêu điểm và

có độ dài trục thực bằng 2a

Ví dụ 2: Cho ba điểm F1(4, 0), F2(4, 0) và điểm A(2, 0)

a Lập phơng trình Hyperbol (H) đi qua A và có tiêu điểm F1, F2

b Tìm toạ độ điểm M trên (H) sao cho MF2 = 2MF1

Giải

a Vì hai tiêu điểm F1 và F2 thuộc Ox và đối xứng qua Oy nên Hypebol (H) có dạng:

b

y a

x

2 2 2

2



- Từ (2), (3) suy ra a2 = 4, b2 = 12

Vậy phơng trình (H): 1

12

y 4

x2 2



b Giả sử M(x0, y0)(H) sao cho MF2 = 2MF1, ta có:

MF1MF2 = 2a  MF1 = 2a  2

1

MF = 4a2

 [(4x0)2 + y20] = 4.16y  [(4 + x0)2 + y02] = 6y4

(4)

Mặt khác M(x0, y0)(H)

12

y 4

x20 20



Giải hệ tạo bởi (4), (5), ta đợc M1(3,  15), M2(3, 15)

Ví dụ 3: Lập phơng trình chính tắc và phơng trình tham số của Hypebol (H) đi qua

điểm M(5, 4) và mỗi đờng tiệm cận tạo với trục hoành một góc 450

Giải

Xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Với Hyperbol (H) có phơng trình:

(H):

2 2 2 2

b

y a

x

 Điểm M(2, 3)(H)  25b216ya2 = a2.b2 (2)

 Tiệm cận của (H) tạo với trục hoành một góc 450



a

b

Giải hệ phơng trình tạo bởi (2), (3) ta đợc a = b = 3

Vậy phơng trình chính tắc của Hypebol (H)

(H):

9

y 9

x2 2

 = 1,

và khi đó phơng trình tham số của (H) có dạng:

(H):







t cos 3 y

tgt 3 x

, t[0, 2)\{

2



,

2

3

}

Trờng hợp 2: Với Hyperbol (H) có phơng trình:

(H):

2 2 2 2

b

y a

x

 = 1 giải tơng tự.

Chú ý : Bằng cách lập luận có thể khẳng định Hypebol (H) chỉ có thể là dạng:

2 2 2 2

b

y a

x

 = 1

Bài toán 3:Xét vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng và Hypebol

Phơng pháp thực hiện

Bằng việc xét hệ phơng trình tạo bởi (H) và (d), khi đó số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (d) và (H)

Ví dụ 4: Cho Hypebol (H) có phơng trình:

9

y 4

x2 2



 Gọi (d) là đờng thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đờng thẳng qua O và vuông góc với (d)

a Tìm điều kiện đối với k để (d) và (d') đều cắt (H)

b Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d), (d') và (H)

c Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất

Giải

a Ta lần lợt có:

 Đờng thẳng (d) qua O có hệ số góc k có dạng: y = kx

 Đờng thẳng (d') qua O và vuông góc với (d) có dạng: y = 

k

1

x

Toạ độ giao điểm A, C của (d) và (H) là nghiệm của hệ :









 kx y

1 9 y 4

x 2 2

 (94k2)x2 = 36y (1) Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi:

94k2 > 0  k < 3/2

(2)

Khi đó:

2

A

x = 2

k 4 9

36y

 và 2

A

y =

2 2

k 4 9

k 36y

Toạ độ giao điểm B, D của (d') và (H) là nghiệm của hệ:













 x k 1 y

1 9 y 4

x 2 2

 (9k24)y2 = 36y (3) Phơng trình (3) có hai nghiệm phân biệt khi:

94k2 > 0  k >

3 2

(4)

Khi đó:

2

B

x =

4 k 9

k 36y

2 2

 và

2 B

y =

4 k 9

36y 2

 Kết hợp (2) và (4), ta đợc:

3

2 < k <

2

3 

























2

3 k 3 2

3

2 k 2

3

b Nhận xét:

 A, C là giao điểm của (d) và (H)  A, C đối xứng qua O

 B, D là giao điểm của (d) và (H)  B, D đối xứng qua O

 Ngoài ra ACBD

Vậy ABCD là hình thoi

Ta có:

SABCD = 4SAOB = 4

2

1

A 2

A y

x  2

B 2

B y

x 

= 2

2 2 2

k 9

k 36y k

9

36y





36y 4

k

k 36y

2 2

2







=

) 4 k 9 )(

k 4 9 (

) k 1 ( 72

2 2 2







c Hình thoi ABCD có diện tích nhỏ nhất



) 4 k 9 )(

k 4 9

(

) k 1 ( 72

2 2 2







nhỏ nhất

Ta có:

) 4 k 9 )(

k 4 9

(

) k 1 ( 72

2 2 2









)]

4 k 9 ( ) k 4 9 [(

2 1

) k 1 ( 72

2 2

2









=

5

144

Vậy, hình thoi ABCD có diện tích nhỏ nhất bằng

5

144 đạt đợc khi:

94k2 = 9k24  k = 1

Bài toán 4:Điểm và Hypebol

Phơng pháp thực hiện

Với Hypebol (H) có phơng trình:

b

y a

x

2 2 2

2



Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Lấy điểm M(x0, y0)(H) suy ra

2 0 2 0

b

y a

x

 = 1

Bớc 2: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x0, y0 Từ đó suy ra toạ

độ điểm M

Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chuyển phơng trình Hypebol về dạng tham số:

(H):







 btgt y

t cos

a x

, t[0, 2)\{

2



,

2

3

}

Bớc 2: Điểm M(H)  M(a.sint, b.cost)

Bớc 3: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x0, y0 Từ đó suy ra toạ

độ điểm M

Chú ý: Ta cần lu ý các trờng hợp sau:

1 Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là:

Điểm M(x, y)(H) luôn có:

a F1M =

a

cx + a và F2M =

a

cxa với x > 0

b F1M = 

a

cx

a và F2M = 

a

cx

+ a với x < 0

2 Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đa bài toán về xét hệ thức lợng trong tam giác

3 Nếu điểm phải tìm là giao của Hypebol với một đờng khác ta xét hệ phơng trình tơng giao để tìm toạ độ giao điểm

Ví dụ 5: Cho Hyperbol (H) có phơng trình:

9

y 16y

x2 2



 Tìm điểm M trên (H) sao cho:

a Có toạ độ nguyên

b Nhìn hai tiêu điểm dới một góc 900

Giải

a Ta chỉ cần tìm các cặp (x, y) nguyên không âm, khi đó các nghiệm còn lại là (x, y), (x, y), (x, y) Ta có:













Z y

,

x

144 y

16y x





















y 4 x 3 y 4 x 3

Z y , x

144 )

y 4 x 3 )(

y 4 x 3 (

 





0

y

4

x

Vậy có hai điểm trên (H) có toạ độ nguyên là M9(4, 0), M10(4, 0)

b MF1MF2  M thuộc đờng tròn (C) đờng kính F1F2 = 10 có phơng trình:

(C): x2 + y2 = 25

Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ:















1 y

x

1 9 y 16y

x

2 2

2 2

ta đợc bốn điểm:

M1(

5

34

4 ,

5

9

), M2(

5

34

4 ,

5

9

), M3(

5

34

4 , 

5

9

), M4(

5

34

4 , 

5

9

),

B bài tập rèn luyện Bài tập 1 Xét điểm M(t) có toạ độ cho bởi:





 tgt 3 y

t cos x

, t(

2



,

2



)

a Chứng minh rằng khi t thay đổi, điểm M(t) vạch trên một nhánh của Hyperbol (H) Xác định toạ độ tiêu điểm của Hyperbol đó

b Chứng minh điều kiện cần và đủ để đờng thẳng nối 2 điểm phân biệt M(t1), M(t2) đi qua một tiêu điểm của (H) là tan

2

t1 tan 2

t2 = 

3

1

Bài tập 2 Lập phơng trình chính tắc và phơng trình tham số của Hypebol (H) có

cùng hình chữ nhật cơ sở với (E) có phơng trình:

(E):

4

y 9

x2 2

 = 1

Bài tập 3 Lập phơng trình chính tắc của Hypebol, biết hai tiêu điểm F1(1, 1), F2(3, 3) và độ dài trục thực bằng 8

Bài tập 4 Cho Elíp (E) và Hypebol (H) có phơng trình:

4

y 9

x2 2



4

y 1

x2 2



Lập phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của hai Hyperbol

Bài tập 5 Cho Hyperbol (H) có phơng trình:

b

y a

x

2 2 2

2



Tìm điểm M trên (H) sao cho độ dài F1M (tiêu điểm F1(c, 0)) ngắn nhất, dài nhất

Bài tập 6 Cho Hyperbol (H) có phơng trình:

9

y 9

x2 2



Cho A(3, 0) và ABC đều nội tiếp trong (H) Tìm toạ độ các đỉnh B, C

Bài tập 7 Cho Hypebol (H) có phơng trình:

b

y a

x

2 2 2

2



a Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M(H) đến các tiệm cận của nó là một hằng số, tính giá trị đó

b Từ điểm M(H) kẻ các đờng thẳng song song với hai tiệm cận và cắt chúng tại P, Q Chứng minh rằng diện tích hình bình hành OPMQ là một hằng số, tính giá trị đó

Bài tập 8 Cho Hyperbol (H) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

8

y 4

x2 2



 và (d): x 2y2 = 0

a Chứng minh rằng (d) luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB

b Tìm toạ độ điểm C thuộc (H) sao cho :

- ABC có diện tích bằng 5

- ABC cân

- ABC vuông

Bài tập 9 Cho Hyperbol (H) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

4

y 25

x2 2



 và (d): 2x + 15y10 = 0