TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG.doc

TỪ MỘT ĐIÊU HIẾN NHIÊN ĐÚNG Các bạn có biết các bất đăng thức BĐT như Cô-si ; Bu-nhi-a-cỗp-xki ; Trê-bư- sép va nhiều BĐT “tén tudi” khác đều là hệ quả của một BĐT rất quen thuộc, là B

TỪ MỘT ĐIÊU HIẾN NHIÊN ĐÚNG Các bạn có biết các bất đăng thức (BĐT) như Cô-si ; Bu-nhi-a-cỗp-xki ; Trê-bư- sép va nhiều BĐT “tén tudi” khác đều là hệ quả của một BĐT rất quen thuộc, là BDT nao không ? Phải chăng đó chính là BĐT (a - b)* > 0 với mọi số thực a, b 2

Chúng ta hãy theo dõi một chuỗi biến đôi từ BĐT này Ta có :

(a- bY’ >0<=a’?+b’>2ab (*)

<=> a’ + b? + 2ab > 4ab <=> (a + b)’ > 4ab

2

2

(*) <= a + b + a + bˆ> 2ab + a + b

<=> 2(a? + b) > (a + b}Ÿ

Từ (1) và (2) với mọi a, b ta có :

a2 +b2 (ab)

> > ab

a* +b? Kai

So >

Từ (1), với a>0;b>0 ta có BDT Cô-si :

Với a> 0, b> 0 ta có:

2

(1) 4+8) >4e>(a+b)| +7 ]>4(8

a

Từ (4) và (5), vớia>0;b>0;c>0tacó:

S(a+bl|S+p]+e| +, |+$* *Ê xe

S(atb+o|S+p +2 22 >e

áp dụng BĐT (6) ta có BĐT Nes-bít :

(a*bj*(be)+(e+a)| CC # + | >9

<> 2(a+b+c) ! + + 1 )>s

a+b b+c c+a

b 9

+1+ +1+

áp dụng BĐT (*), với mọi a, b, c, d ta có BĐT Bu-nhi-a-côp-skI :

(ad) + (be)“ > 2adbc &nbp; (**)

<=> ad” + bfc” + aˆcˆ + b”d” > 2ac.bd + a’c? + b’*d?

<=> (a“+ b)(cˆ + d’) > (ac + bd)’

Với c>0; d>0Ô ta có :

242 2,2

(*) <9 SOO 2ab

<> 1+

a? 2

c3“ d+P e>2ab

Cc

œ- -d+- 6+8 +b“ > 2ab +a“ +b

c

2 2

[EP erga tarot

c d

áp dụng BĐT (9), ta có BĐT S-vác :

Xi „X2, ¿Xn „ (Xi†tX;† ‡Xn) Xa† +Xn) (10)

3 32 an a; tagt ta,

(trong đó ai, aa, , an là các sô dương)

Như vay c6 thé khang dinh rằng rất nhiều BĐT quan trọng có ứng dụng rất lớn

đều khởi nguồn từ BĐT hiển nhiên đúng (a - b)2 0 áp dụng BĐT này, các bạn

hãy thử chứng minh các kết quả sau :

1) 3(ab + be +ca) <(a+b+c)“<3(a' + b + c2)

2)(a + b} <4(a + b’)

( :2) „0#

3\a b) ab

với mọi a>0;b>0

Còn rất nhiều các BĐT khác là hệ quả của BDT (a - b)? > 0 đang chờ các bạn khám phá