ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ Giải tích 2

ch phân mặt loại 1 Tích phân mặt loại 1 là tích phân có dạng: RR S f ds Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào phía của mặt S 2 Diện tích mặt S : SS = RR S 1ds 3 Nếu S = S1 ∪ S2, S1 ∩ S2 = ∅ : RR S f ds = RR S1 f ds + RR S2 f ds 4 Nếu S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (mp Oxy): 4.1 Nếu f là hàm lẻ theo biến z tch phân mặt loại 1 Tích phân mặt loại 1 là tích phân có dạng: RR S f ds Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào phía của mặt S 2 Diện tích mặt S : SS = RR S 1ds 3 Nếu S = S1 ∪ S2, S1 ∩ S2 = ∅ : RR S f ds = RR S1 f ds + RR S2 f ds 4 Nếu S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (mp Oxy): 4.1 Nếu f là hàm lẻ theo biến z tch phân mặt loại 1 Tích phân mặt loại 1 là tích phân có dạng: RR S f ds Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào phía của mặt S 2 Diện tích mặt S : SS = RR S 1ds 3 Nếu S = S1 ∪ S2, S1 ∩ S2 = ∅ : RR S f ds = RR S1 f ds + RR S2 f ds 4 Nếu S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (mp Oxy): 4.1 Nếu f là hàm lẻ theo biến z t

Trang 1

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Thor

ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ Môn: Giải tích 2

Chủ đề 3: Tích phân mặt

1 Tích phân mặt loại 1

Tích phân mặt loại 1 là tích phân có dạng:RR

S

f ds Tính chất:

1 Là tích phân không phụ thuộc vào phía của mặt S

2 Diện tích mặt S : SS =RR

S

1ds

3 Nếu S = S1∪ S2, S1∩ S2 = ∅ : RR

S

f ds =RR

S 1

f ds +RR

S 2

f ds

4 Nếu S gồm S1 và S2 đối xứng qua mp z = 0 (mp Oxy):

4.1 Nếu f là hàm lẻ theo biến z thì RR

S

f ds = 0

4.2 Nếu f là hàm chẵn theo biến z thì RR

S

f ds = 2RR

S 1

f ds

Phương pháp giải:

1 Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x = x(y, z), y = y(z, x))

1.1 Tính vi phân mặt S : ds =

q

1 + z0 x

2+ z0 y

2dxdy

2 Xác định hình chiếu D của mặt S lên mặt phẳng tọa độ z = 0 (hoặc x = 0, y = 0):

2.1 Phương trình mặt chắn không chứa z

2.2 Hình chiếu giao tuyến giữa S lần lượt với các phương trình mặt chắn có chứa z

2.3 Kết hợp với điều kiện xác định của z

3 Chuyển tp mặt 1 về tp kép: RR

S

f ds =RR

D

f.q1 + z0

x

2+ z0 y

2dxdy

3.1 Nhận xét tính đối xứng của D rồi rút gọn hàm lẻ

3.2 Dùng tọa độ cực để tính nếu D có dạng hình tròn, ellipse

Bài tập:

1 Tính I =RR

S

(x + y2+ 2z)ds với (S) : x + y + z = 1 bị giới hạn bởi mặt trụ x2+ y2 6 1

Hướng dẫn:

(S) : z = 1 − x − y, ds = √

3dxdy Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2+ y2 6 1

I =RR

S

(x + y2+ 2z)ds =RR

S

[x + y2+ 2(1 − x − y)]√

3dxdy =√

3RR

D

(y2+ 2 − x − 2y)dxdy

Ta có D là miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy, −x là hàm lẻ theo x, −2y là hàm lẻ theo

y nên RR

D

(−x − 2y)dxdy = 0

I =√

3RR

D

(y2+ 2)dxdy = 2√

3S(D) +√

3RR

D

y2dxdy = 2√

3π +√

3

2π

R

0

dϕ

1

R

0

r2sin2ϕ.rdr = 9

√ 3π 4

Trang 2

2 Tính I =

S

zds với (S) : z = x2+ y2 bị chắn giữa hai mặt z = 1 và z = 2

Hướng dẫn:

(S) : z = x2+ y2, ds =p1 + 4x2+ 4y2dxdy

Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : 16 x2+ y2 6 2

I =RR

S

zds =RR

D

(x2+ y2)p1 + 4x2+ 4y2dxdy =

2π

R

0

dϕ

√ 2

R

1

r2√ 4r2+ 1.rdr Đặt u = √

4r2+ 1, udu = 4rdr

I =

2π

R

0

dϕ

3

R

√

5

u2− 1

4 u.

u

4du =

(594−50√5)π

3 Tính I =RR

S

(x + y + z)ds với (S) : z2 = x2+ y2 bị giới hạn bởi 0 6 z 6 1

Hướng dẫn:

(S) : z =px2+ y2, ds =

s

1 +

x

√

x 2 +y 2

2

+

y

√

x 2 +y 2

2

dxdy =√

2dxdy Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2+ y2 6 1

I =RR

S

(x + y + z)ds =RR

D

(x + y +px2+ y2)√

2dxdy

Vì D là miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên RR

D

(x + y)dxdy = 0

I =√

2RR

D

px2+ y2dxdy =

2π

R

0

dϕ

1

R

0

r2dr = 2

√ 2π 3

4 Tính diện tích mặt (S) : x2+ y2+ z2 = 4 bị chắn trong mặt trụ x2+ y2 = 2y lấy phần z > 0 Hướng dẫn:

(S) : z =p4 − x2− y2, ds =

s

1 +

−x

√

4−x 2 −y 2

2

+

−y

√

4−x 2 −y 2

2

p4 − x2− y2dxdy Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2+ y2 6 2y

SS =RR

S

1ds =RR

D

2 p4 − x2− y2dxdy =

π

R

0

dϕ

2 sin ϕ

R

0

2

√

4 − r2rdr = 4π − 8

5 Tính I =RR

S

(x + 2y)p1 − x2− y2ds với (S) : x2+ y2+ z2 = 1 bị giới hạn bởi y = x, y = 0, lấy phần x> 0, y > 0, z > 0

Hướng dẫn:

(S) : z =p1 − x2− y2, ds =

s

1 +

−x

√

1−x 2 −y 2

2

+

−y

√

1−x 2 −y 2

2

p1 − x2− y2dxdy Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :







y = x

y = 0 p1 − x2− y2 = 0, x > 0, y > 0

I =RR

S

(x + 2y)p1 − x2− y2ds =RR

D

(x + 2y)dxdy =

π 4

R

0

dϕ

1

R

0

(r cos ϕ + 2r sin ϕ)rdr = 4−

√ 2 6

6 Tính diện tích mặt paraboloid (S) : z = x2+ y2 giới hạn bởi trụ ellipse x2+ y2 6 1

Trang 3

Hướng dẫn:

(S) : z = x2+ y2, ds =p1 + 4x2+ 4y2dxdy

Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2+ y2 6 1

SS =RR

S

1ds =RR

D

p1 + 4x2+ 4y2dxdy =

2π

R

0

dϕ

1

R

0

√

1 + 4r2.rdr Đặt u = √

4r2+ 1, udu = 4rdr ⇒ SS =

2π

R

0

dϕ

√ 5

R

1

u.u

4du =

π

6(5

√

5 − 1)

7 Tính diện tích của phần mặt nón z = px2+ y2 bị chắn bởi mặt cầu x2+ y2 + z2 = 2

Hướng dẫn:

(S) : z =px2+ y2, ds =

s

1 +

x

√

x 2 +y 2

2

+

y

√

x 2 +y 2

2

dxdy =√

2dxdy

Phương trình giao tuyến: z =px2+ y2

x2+ y2 + z2 = 2 ⇔ x2+ y2 = 1 Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : x2+ y2 6 1

SS =RR

S

1ds =RR

D

√ 2dxdy =√

2S(D) =√

2π

8 Tính I =RR

S

(x2+ 2z)ds với (S) : x =py2+ z2 nằm giữa các mặt phẳng y = z và y = z2 Hướng dẫn:

(S) : x =py2 + z2, ds =

s

1 +

y

√

y 2 +z 2

2

+

z

√

y 2 +z 2

2

dxdy =√

2dydz

Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oyz : y = z

y = z2

I =RR

S

(x2+ 2z)ds =R

D

(y2+ z2+ 2z)√

2dydz =√

2

1

R

0

dz

z

R

z 2

(y2+ z2+ 2z)dy = 53

√ 2 210

9 Tính diện tích phần mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 = 1 nằm giữa 2 mp z = y, z = √y

3 lấy phần

y > 0, z > 0

Hướng dẫn:

(S) : x = ±p1 − y2− z2

Ta có SS =RR

S

1ds = 2RR

S 1

1ds với (S1) : x =p1 − y2− z2

Gọi D là hình chiếu của (S1) lên mp Oyz :





z = y

z = √y 3 p1 − y2 − z2 = 0, y > 0, z > 0

SS = 2RR

S 1

1ds =RR

D

1 p1 − y2− z2dydz = 2

π 4

R

π 6

dϕ

1

R

0

1

√

1 − r2rdr = π

6

10 Tính I =RR

S

zxds với (S) : x + y + z = 3 bị chắn bởi 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0

Hướng dẫn:

(S) : z = 3 − x − y, ds = √

3dxdy

Trang 4

Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :





3x + y = 3 3x + 2y = 6

y = 0

I =RR

S

zxds =RR

D

(3 − x − y)x√

3dxdy =√

3

R

0

dy

6−2y 3

R

3−y 3

(3x − x2− xy)dx

3

R

0

3 − y

2

(6 − 2y)2− (3 − y)2

3

(6 − 2y)3− (3 − y)3

27

dy = 13

√ 3 8

11 Tính diện tích mặt (S) : 2z = x2 bị chắn bởi x − 2y = 0, y − 2x = 0, x = 2√

2

Hướng dẫn:

(S) : z = x

2

2 , ds =

√

1 + x2dxdy Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy :







x − 2y = 0

y − 2x = 0

x = 2√

2

SS =RR

S

1ds =RR

D

√

1 + x2dxdy =

2√2

R

0

dx

2x

R

x 2

√

1 + x2dy = 13

12 Tính I = RR

S

(x + y + z)ds với (S) : x2+ y2+ z2 = 1 nằm giữa hai mặt phẳng y = x và y =√

3x lấy phần x > 0

Hướng dẫn:

(S) : x2+ y2+ z2 = 1 ⇒ z = ±p1 − x2− y2







x 6 y 6√3x

x > 0

x2+ y2 6 1

Ta có (S) là mặt đối xứng qua mp z = 0, z là hàm lẻ đối với z nên RR

S

zds = 0

⇒ I =RR

S

(x + y)ds = 2RR

S 1

(x + y)ds với (S1) : z =p1 − x2− y2

I = 2RR

D

(x+y)√ 1

1−x 2 −y 2dxdy = 2

π 3

R

π 4

dϕ

1

R

0

(r cos ϕ+r sin ϕ)√1

1−r 2rdr = 2

π 3

R

π 4

(cos ϕ+sin ϕ)dϕ

1

R

0

r 2

√ 1−r 2dr Đặt r = sin t, dr = cos tdt

I = 2

π

3

R

π

4

(cos ϕ+sin ϕ)dϕ

π 2

R

0

sin 2 t cos t

√

1−sin 2 tdt = 2

π 3

R

π 4

(cos ϕ+sin ϕ)dϕ

π 2

R

0

sin2tdt = 2(sin ϕ−cos ϕ)

π 3 π 4

2t −sin 2t

4

π 2

0

= 2

√

3−1

2 12.π2 = (

√ 3−1)π 4

13 [152-CA1] Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi z =px2+ y2 và z = 2 − x2− y2 Hướng dẫn:

14 [162-CA1] Tính tích phân I =RR

S

(1 − z)ds với S là phần mặt cầu x =p4 − y2− z2 nằm giữa

2 mặt phẳng y = −x√

3, x = y√

3

Trang 5

Hướng dẫn:

(S) : z = ±p4 − x2− y2, x > 0







x2+ y2 6 4

x > 0

−x√3 6 y 6 √x

3

0.5đ

Ta có (S) là mặt đối xứng qua mp z = 0, −z là hàm lẻ đối với z nên RR

S

−zds = 0

⇒ I =RR

S

1ds = 2RR

S 1

1ds với (S1) : z =p4 − x2− y2

I = 2RR

D

2 p4 − x2− y2dxdy = 4

π 6

R

− π 3

dϕ

2

R

0

rdr

√

4 − r2 0.5đ = 4π 0.5đ

15 [172-CA2] Tính I =RR

S

(x + 2y − z)ds, trong đó S là phần mặt phẳng z = 2x − 2y bị chắc bởi các mặt z = x2+ y2− 2y − 3, x = 1, lấy miền x > 1

Hướng dẫn:

Phương trình giao tuyến: z = 2x − 2y

z = x2+ y2− 2y − 3 ⇔

z = 2x − 2y (x − 1)2+ y2 = 4 Gọi D là hình chiếu của (S) lên mp Oxy : (x − 1)2 + y2 6 4

I =RR

S

(x + 2y − z)ds =RR

D

[x + 2y − (2x − 2y)].√

1 + 4 + 4dxdy = 3RR

D

(4y − x)dxdy 0.5đ

= 3

π

2

R

− π

2

dϕ

2

R

0

(4r sin ϕ − r cos ϕ − 1)rdr 0.25đ = −16 − 6π 0.25đ Chú ý: Có thể dùng tính đối xứng của miền D để bỏ đi hàm lẻ 4y rồi tính cho lẹ nha mấy baby

16 [173-DT] Tính diện tích phần mặt trụ z = 4−y2bị cắt bởi các mặt phẳng z = 0, x+y = 2, x = 4 Hướng dẫn:

S

(1 + x2 + y2)ds với S là phần mặt trụ x2+ y2 = 1 bị cắt bởi

2 mặt phẳng z = 0, z + x = 1

Hướng dẫn:

Trang 6

2 Tích phân mặt loại 2

Cho 3 hàm P, Q, R xác định trên mặt S định hướng pháp vector đơn vị −→u = (cos α, cos β, cos γ). Tích phân mặt loại 2 là tích phân có dạng:RR

S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy

I =RR

S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy =RR

S

h(P, Q, R).−→u ids =RR

S

(P cos α + Q cos β + R cos γ)ds

Tính chất:

1 Là tích phân phụ thuộc vào phía của mặt (S) Nếu thay đổi hướng pháp vector của mặt (S) thì tích phân đổi dấu

2 Nếu S = S1∪ S2, S1∩ S2 = ∅ :

RR

S

S 1

P dydz + Qdzdx + Rdxdy +RR

S 2

P dydz + Qdzdx + Rdxdy

Phương pháp giải:

1 Đưa mặt loại 2 về mặt loại 1:

1.1 Viết (S) : z = z(z, y)

1.2 Pháp vector: −→n = ±(−z0

x, −zy0, 1) ⇒ Pháp vector đơn vị: −→u = ± 1

q

z0

x2+ z0

y2 + 1 (−zx0, −z0y, 1)

1.3 I =RR

S

h(P, Q, R).−→u ids = ±RR

S

−P.z0

x− Q.z0

y + R q

z0

x2+ z0

y2 + 1

ds

2 Đưa mặt loại 1 về tích phân kép:

2.1 ds =q1 + z0

x

2+ z0 y

2dxdy, gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy

x, −zy0, 1) ⇒ Pháp vector đơn vị: −→u = ± 1

q

z0 x

2+ z0 y

2 + 1 (−zx0, −z0y, 1)

2.3 I = ±RR

S

−P.z0

x− Q.z0

y + R q

z0 x

2+ z0 y

2+ 1

ds = ±RR

D

−P.z0

x− Q.z0

y+ R q

z0 x

2+ z0 y

2+ 1

q

1 + z0 x

2+ z0 y

2dxdy

= ±RR

D

(−P.zx0 − Q.z0

y + R)dxdy

3 Chuyển nhanh từ mặt loại 2 về tích phân kép: (hay dùng )

3.1 Viết (S) : z = z(z, y)

x, −zy0, 1)

3.3 Xác định hình chiếu của (S) lên mp z = 0 (mp Oxy) Cách xác định giống mặt loại 1

3.4 I =RR

S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ±RR

D

(−P.zx0 − Q.z0

y + R)dxdy Lấy dấu + nếu pháp vector hướng lên theo chiều dương Oz

Lấy dấu − nếu phép vector hướng xuống theo chiều dương Oz

4 Giải tích phân kép

4.1 Nhận xét tính đối xứng của D rồi rút gọn hàm lẻ

4.2 Dùng tọa độ cực để tính nếu D có dạng hình tròn, ellipse

Trang 7

Bài tập:

1 Tính I = RR

S

(x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy với (S) là mp 2x − 3y + 4z = 5, hướng lên theo chiều dương Oy, bị giới hạn bởi x2+ y2 6 1

Hướng dẫn:

(S) : z = 5−2x+3y4 , −→n = ± 1

2, −34, 1 Vì (S) hướng lên theo chiều dương Oy nên ta phải chọn pháp vector sao cho tung độ dương ⇒ −→n = −1

2,34, −1 Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x2 + y2 6 1

I =RR

S

(x+y)dydz+(z−x)dzdx+(x+y)dxdy =RR

D

−1

2(x + y) + 34 5−2x+3y4 − x − (x + y) dxdy

=RR

D

15

16− 21

8 x −1516y dxdy Do D là miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên RR

D

−21

8 x −1516y dxdy = 0 ⇒ I = RR

D

15

16dxdy = 1516S(D) = 15π16

2 Tính I = RR

S

z2dydz + xdzdx − 3zdxdy với (S) : z = 4 − y2, hướng xuống theo chiều dương Oz,

bị giới hạn bởi x = 0, x = 1, z = 0

Hướng dẫn:

(S) : z = 4 − y2, pháp vector: −→n = (0, −2y, −1)

PT giao tuyến: 4 − y2 = 0 ⇒ y = ±2

Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy D bị giới hạn bởi : x = 0, x = 1, y = ±2

I =RR

S

z2dydz +xdzdx−3zdxdy =RR

D

[−2xy +3(4−y2)]dxdy =

2

R

−2

dy

1

R

0

(−2xy +12−3y2)dx = 32

3 Tính I = RR

S

(x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy với (S) : z = x2+ y2 bị giới hạn bởi z = 1 lấy hướng lên theo chiều dương Oz

Hướng dẫn:

(S) : z = x2+ y2, pháp vector: −→n = (−2x, −2y, 1)

PT giao tuyến: x2+ y2 = 1

Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x2 + y2 6 1

I =RR

S

(x + y)dydz + (z − x)dzdx + (x + y)dxdy =RR

D

[−2x(x + y) − 2y(x2+ y2− x) + (x + y)]dxdy

=RR

D

(−2x2− 2x2y − 2y3 + x + y)dxdy Do D là miền đối xứng qua trục Ox, qua trục Oy nên RR

D

(−2x2y − 2y3+ x + y)dxdy = 0 ⇒ I =RR

D

−2x2dxdy = −2

2π

R

0

dϕ

1

R

0

r2cos2ϕ.rdr = −π

2

4 Cho (S) là phần phía ngoài nửa cầu z =p4 − x2− y2 Tính I =RR

S

zdxdy

Hướng dẫn:

(S) : z =p4 − x2− y2, pháp vector: −→n =√ x

4−x 2 −y 2,√ y

4−x 2 −y 2, 1

Gọi D là hình chiếu của S lên mp Oxy : x2 + y2 6 4

I =RR

S

zdxdy =RR

D

p4 − x2− y2dxdy =

2π

R

0

dϕ

2

R

0

√

4 − r2.rdr = 16π

3

Trang 8

5 [152-CA1] Tính tích phân I =

S

(x3− 3yz)dydz − (y2+ 2xy)dzdx + (z − x)dxdy, với S là phần mặt phía dưới của trụ z = 4 − y2, giới hạn bởi các mặt phẳng z = 0, x = 0, 2x + z = 4

Hướng dẫn:

S

2dydz + (y2− 2x − z)dxdy, với S là phần mặt trụ z = 2x − x2

nằm giữa hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x và trên mặt phẳng z = 0, lấy phía dưới theo hướng trục Oz

Hướng dẫn:

7 [172-DT] Tính tích phân I = RR

S

(y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy với S là mặt nón

z =px2+ y2, phần ứng với z 6 2 và x > 0, lấy phía dưới

Hướng dẫn:

8 [182-DT] Tính tích phân I =RR

S

yzdzdx + z2dxdy, trong đó S là phần mặt trụ y2+ z2 = 1, z > 0

bị chắn bởi các mặt x = 0, x = 1, lấy phía trên theo hướng vector −→

Oz

Hướng dẫn:

9 [182-CA1] Tính I =RR

S

(y + z)dydz − 2x2zdzdx + (x2+ y2)dxdy với S là phần mặt trụ y = 1 − x2

bị cắt bởi 3 mặt phẳng y = 0, z = 0, z + y = 1 lấy phía tương ứng với vector pháp tuyến ngược hướng với vector −→

Oy

Hướng dẫn:

Trang 9

3 Công thức Gauss - Ostrogradski (Mặt 2 → Bội 3)

Cho miền Ω đóng và bị chặn, S là mặt biên (mặt bao quanh) của Ω Các hàm P, Q, R khả vi liên tục trên Ω Khi đó:

I =RR

S

P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ±RRR

Ω

(Px0 + Q0y+ R0z)dxdydz

Lấy dấu + nếu mặt S hướng ra ngoài Ω

Lấy dấu − nếu mặt S hướng vào trong Ω

Bài tập:

1 Tính I = RR

S

x2dydz + xydzdx + zpx2+ y2dxdy với S là mặt biên của vật thể bị giới hạn bởi mặt x2 + y2 = 1, z = x2+ y2, z = 0, hướng ra ngoài

Hướng dẫn:

Áp dụng ct Gauss: I =RR

S

x2dydz + xydzdx + zpx2+ y2dxdy =RRR

Ω

(2x + x +px2+ y2)dxdydz

=RRR

Ω

(3x +px2+ y2)dxdydz Vì Ω là miền đối xứng qua mp x = 0 nên RRR

Ω

3xdxdydz = 0

⇒ I =RRR

Ω

px2+ y2dxdydz Gọi D là hình chiếu của Ω lên mp Oxy : x2+ y2 6 1

I =RRR

Ω

px2+ y2dxdydz =RR

D

dxdy

x 2 +y 2

R

0

px2+ y2dz =

2π

R

0

dϕ

1

R

0

rdr

r2

R

0

rdz = 2π

5

2 Tính I =RR

S

2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy với S là phần nửa trên của mặt cầu x2+ y2+ z2 = 1, lấy hướng xuống theo chiều dương Oz

Hướng dẫn:

Gọi (S0) : z = 0, lấy hướng lên theo chiều dương Oz

I1 = RR

S∪S 0

2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy = −RRR

Ω

(2 + 2 + 1)dxdydz = −5V (Ω) = −52.43π = −10π3

PT giao tuyến: x2+ y2 = 1

Gọi D là hình chiếu của S0 lên mp Oxy : x2+ y2 6 1

I2 = RR

S 0

2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy = RR

D

(0 + x).1dxdy = 0 (Vì D là miền đối xứng qua trục Oy, x là hàm lẻ đối với x)

⇒ I =RR

S

2xdydz + 2ydzdx + (z + x)dxdy = I1− I2 = −10π3

3 Tính I = RR

S

(x3+ 1)dydz + (y3+ 2)dzdx + (z3+ 3)dxdy với S là phần mặt cầu x2+ y2+ z2 = 2

bị chắn bởi mp z = 1 (lấy phần z > 1), lấy hướng lên theo chiều dương Oz

Hướng dẫn:

Gọi (S0) : z = 1, lấy hướng xuống theo chiều dương Oz

I1 = RR

S∪S 0

(x3+ 1)dydz + (y3+ 2)dzdx + (z3+ 3)dxdy = +RRR

Ω

(3x2+ 3y2+ 3z2)dxdydz

Đặt





x = ρ sin θ cos ϕ

y = ρ sin θ sin ϕ

z = ρ cos θ

Ta có

(

x2+ y2+ z2 = 2 ⇒ ρ =√

2

cos θ 6 ρ 6√2

Trang 10

PT giao tuyến x

2+ y2 = 1

2sin2θ = 1

ρ cos θ = 1 ⇒ θ = π

4 ⇒ 0 6 θ 6 π

4

I1 = 3

2π

R

0

dϕ

π 4

R

0

dθ

√ 2

R

1 cos θ

ρ2.ρ2sin θdρ = 6π5

π 4

R

0

(4√

cos5θ) sin θdθ =

6π

5 4√

2 −134 Gọi D là hình chiếu của S0 lên mp Oxy : x2+ y2 6 1

I2 =RR

S 0

(x3+ 1)dydz + (y3+ 2)dzdx + (z3+ 3)dxdy =RR

D

(1 + 3)(−1)dxdy = −4S(D) = −4π

⇒ I =RR

S

(x3+ 1)dydz + (y3+ 2)dzdx + (z3+ 3)dxdy = I1− I2 = 6π5 4√

2 − 134 + 4π

4 Cho S là biên ngoài của vật thể Ω được giới hạn bởi z = x2+ y2 và z = 1

Tính I =RR

S

zy2dydz + (y + y2)dzdx + z2dxdy

Hướng dẫn:

5 Tính I = RR

S

x2dydz + y2dzdx + zdxdy, với S là biên ngoài của vật thể Ω được giới hạn bởi

x2+ y2+ z2 6 4 và z >px2+ y2

Hướng dẫn:

6 Tính I = RR

S

zy2dydz + (y + y2)dzdx + x2dxdy, với S là phần phía ngoài mặt z = x2+ y2 bị chắn bởi z = 1 hướng xuống theo Oz+

Hướng dẫn:

7 [152-CA2] Cho S là phần mặt phía ngoài của mặt trụ x2+ y2 = 2x nằm giữa hai mặt z = 0 và

z = 1 Tính tích phần i = RR

S

(ezcos y + 2x)dydz + (y + 1)dzdx + (z + 1)dxdy

Hướng dẫn:

8 [172-CA2] Cho vật thể Ω giới hạn bởi nón z = −px2+ y2, mặt phẳng z = 0, miền nằm giữa hai mặt trụ x2 + y2 = 1 và x2+ y2 = 4 Gọi mặt định hướng S là biên của Ω, lấy phía trong Tính I =RR

S

3xydydz + z(x2+ y2)dxdy

Hướng dẫn:

S

(2x + yz)dydz + (y2+ z2)dzdx − (x2+ 2yz)dxdy với S là phần mặt nón x = p3y2+ 3z2 nằm trong mặt cầu x2+ y2+ z2 = 4x lấy phía tương ứng với vector pháp tuyến cùng hướng với vector −→

Ox

Hướng dẫn:

Phương trình giao tuyến: z = 2x − 2y

z = x2+ y2− 2y − ⇔

z = 2x − 2y (x − 1)2+ y2 = Gọi D hình chiếu (S)... = 0, 2x + z =

Hướng dẫn:

6 [1 62- CA2] Tính tích phân I =RR

S

2dydz + (y2− 2x − z)dxdy, với S phần mặt trụ z = 2x − x2...

9 [1 82- CA2] Tính tích phân I =RR

S

(2x + yz)dydz + (y2+ z2)dzdx − (x2+ 2yz)dxdy với S phần mặt nón x = p3y2+

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	225,53 KB