ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ MÔN GIẢI TÍCH 2

ích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theoích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theoích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R C f dl Tính chất: 1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C 2 Độ dài đường C : L = R C 1dl R C f dl = R C1 f dl + R C2 f dl Phương pháp giải: 1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl = p 1 + y 0 (x) 2dx 2 Nếu C : ( x = x(t) y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theo

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Thor

ÔN TẬP CUỐI HỌC KỲ Môn: Giải tích 2

Chủ đề 2: Tích phân đường

1 Tích phân đường loại 1

Tích phân đường loại 1 là tích phân có dạng: R

C

f dl Tính chất:

1 Là tích phân không phụ thuộc vào đường đi của C

2 Độ dài đường C : L =R

C

1dl R

C

f dl = R

C 1

f dl + R

C 2

f dl

Phương pháp giải:

1 Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì ta đổi dl thành dx theo công thức: dl =p1 + y0(x)2dx

2 Nếu C :

(

x = x(t)

y = y(t) , t : t1 → t2 thì ta đổi dl thành dt theo công thức: dl =px0(t)2+ y0(t)2dt Bài tập:

1

2

3

2 Tích phân đường loại 2

Tích phân đường loại 2 là tích phân có dạng: R

C

P dx + Qdy Tính chất:

1 Là tích phân phụ thuộc vào đường đi Đổi chiều đường đi thì tích phân đổi dấu

B

R

A

P dx + Qdy = −

A

R

B

P dx + Qdy

2 Nếu C = C1∪ C2, C1∩ C2 = ∅ : R

C

P dx + Qdy = R

C 1

P dx + Qdy + R

C 2

P dx + Qdy

Phương pháp giải:

1 Đưa dy về dx theo công thức dy = y0(x)dx hoặc đưa dx về dy theo công thức dx = x0(y)dy Nếu C : y = y(x), x : x1 → x2 thì I =R

C

P dx + Qdy =

x 2

R

x 1

[P + Q.y0(x)]dx

Nếu C : x = x(y), y : y1 → y2 thì I =R

C

P dx + Qdy =

y 2

R

y 1

[P.x0(y) + Q]dy

2 Đưa dx, dy về dt theo công thức dx = x0(t)dt, dy = y0(t)dt

Nếu C :

(

x = x(t)

y = y(t) , t : t1 → t2 thì I =R

C

P dx + Qdy =

t 2

R

t 1

[P.x0(t) + Q.y0(t)]dt

Bài tập:

1 Tính I =R

C

x2dx + 2xydy với C là đoạn nối 2 điểm từ O(0, 0) đến A(1, 1) theo:

a Đoạn thẳng OA

b Parabol y = x2

c Đường tròn x2+ y2 = 2x theo cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm)

Hướng dẫn:

a C : y = x, x : 0 → 1

I =R

C

x2dx + 2xydy =

1

R

0

(x2+ 2x2)dx = 1

b C : y = x2, x : 0 → 1

I =R

C

x2dx + 2xydy =

1

R

0

(x2+ 2x.x2.2x)dx = 17

15

c C :  x = cos t + 1

y = sin t , t : π →

π 2

I =R

C

x2dx + 2xydy =

π 2

R

π

[(cos t + 1)2.(− sin t) + 2(cos t + 1) sin t cos t]dt

=

π

2

R

π

[(cos t + 1)2− 2(cos t + 1) cos t]d(cos t) =

π 2

R

π

(1 − cos2t)d(cos t) = 2

3

2 Tính I =R

C

(4x − y)dx + 5x2ydy với C là parabol y = 3x2 đi từ điểm O(0, 0) đến điểm B(1, 3)

Hướng dẫn:

C : y = 3x2, x : 0 → 1

I =R

C

(4x − y)dx + 5x2ydy =

1

R

0

(4x − 3x2+ 5x2.3x2.6x)dx = 16

3 Tính I =

C

xydx − y2dy với C là parabol y2 = 2x đi từ điểm O(0, 0) đến điểm A(2, 2)

Hướng dẫn:

C : x = y

2

2 , y : 0 → 2

I =R

C

xydx − y2dy =

2

R

0

(y22.y.y − y2)dy = 8

15

4 Tính I =R

C

x2ydx + ydy với C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi y = x2, x = y2 Hướng dẫn:

Gọi  C1 : y = x2, x : 0 → 1

C2 : x = y2, y : 1 → 0 thì C = C1∪ C2

I =R

C

x2ydx + ydy = R

C 1

x2ydx + ydy +R

C 2

x2ydx + ydy

=

1

R

0

(x2.x2+ x2.2x)dx +

0

R

1

(y4.y.2y + y)dy = 7

10 −11

14 = −

3 35

5 Tính I =R

C

(x2+ 2y)dx + y2dy với C là đường y = 1 − |1 − x|, x đi từ 0 đến 2

Hướng dẫn:

Gọi  C1 : y = 1 − (x − 1) = 2 − x, x : 1 → 2

C2 : y = 1 − (1 − x) = x, x : 0 → 1 thì C = C1∪ C2

I =R

C

(x2+ 2y)dx + y2dy = R

C 1

(x2+ 2y)dx + y2dy + R

C 2

(x2+ 2y)dx + y2dy

=

2

R

1

[x2+ 2(2 − x) + (2 − x)2.(−1)]dx +

1

R

0

[x2 + 2x + x2]dx = 3 +5

3 =

14 3

6 Tính I = R

C

xydx − (x2+ y2− 2x)dy với C là nửa trên đường tròn (x − 1)2+ y2 = 4 theo ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương)

Hướng dẫn:

C : x = 2 cos t + 1

y = 2 sin t , t : 0 → π

I =R

C

xydx − (x2+ y2− 2x)dy =

π

R

0

[(2 cos t + 1).2 sin t.(−2 sin t) − 3.2 cos t]dt = −2π

7 Tính I = R

C

2ydx + xdy với C là cung ellipse x2 + 3y2 = 3 đi từ (0, 1) đến giao điểm đầu tiên của ellipse với đường thẳng y = x theo cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm)

Hướng dẫn:

C : x =√3 cos t

y = sin t

Tại (0, 1) : √3 cos t = 0

sin t = 1 ⇒ t = π

2 Tại giao điểm : sin t =

√

3 cos t ⇒ t = π

3

⇒ C : x =√3 cos t

y = sin t , t :

π

2 → π 3

I =R

C

2ydx + xdy =

π 3

R

π 2

[2 sin t.(−√

3 sin t) +√

3 cos t cos t]dt

=

π

3

R

π

2

[−√

3(1 − cos 2t) +

√ 3

2 (1 + cos 2t)]dt =

π 3

R

π 2



−

√ 3

2 + 3

√ 3

2 cos 2t



dt = π

√ 3

12 +

9 8

8 Tính I = R

C

x2dx + xdy với C là cung ellipse 3x2+ y2 = 9 đi từ điểm (√

3, 0) đến giao điểm đầu tiên của ellipse với đường y =√

3x theo cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm)

Hướng dẫn:

C : x =√3 cos t

y = 3 sin t

Tại (√

3, 0) : √3 cos t =√3

3 sin t = 0 ⇒ t = 0 Tại giao điểm : 3 sin t =√3.√

3 cos t ⇒ t = −3π

4

⇒ C : x =√3 cos t

y = 3 sin t , t : 0 → −

3π 4

I =R

C

x2dx + xdy =

− 3π 4

R

0

[3 cos2t.(−√

3 sin t) +√

3 cos t.3 cos t]dt

=

− 3π

4

R

0

3√

3 cos2td(cos t) + 3√

3

− 3π 4

R

0

cos2tdt = √

3 cos3t

− 3π 4

0

+ 3√

3 12t + sin 2t4

− 3π 4

0

= −9

√

3π

√

3 +√ 6 4

9 Tính I = R

C

(2x2+ y)dx − xdy với C là biên của miền được giới hạn bởi y = x2− 2x, y = x theo cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm)

Hướng dẫn:

Gọi  C1 : y = x, x : 0 → 3

C2 : y = x2− 2x, x : 3 → 0 thì C = C1∪ C2

I =R

C

(2x2+ y)dx − xdy = R

C 1

(2x2+ y)dx − xdy + R

C 2

(2x2+ y)dx − xdy

=

3

R

0

[(2x2 + x) − x]dx +

0

R

3

[2x2+ x2− 2x − x(2x − 2)]dx = 18 − 9 = 9

10 [181-DT] Tính tích phân sau đâyR

C

(x − y)dx + (x + 2y)dy với C là phần đường tròn x2+ y2 = 4

đi từ điểm (−2, 0) đến giao điểm thứ nhất của đường tròn với y = −√

3x tính theo chiều KĐH Đáp số: 32 − 4π

3

11 [182-CA1] Cho miền phẳng D : x2+ y2 6 4, x 6 1 và C là biên định hướng dương của D Tính

I =R

C

(x − 1)dy − ydx

x2+ y2

Đáp số:

√

3

2 +4π3

3 Công thức Green (Đường 2 → Bội 2)

Cho đường cong kín C bao quanh miền D P, Q là các hàm khả vi liên tục trên D Khi đó:

I =R

C

P dx + Qdy = ±RR

D

Q0x− P0

y
dxdy

Lấy dấu + nếu C là chu tuyến dương (đứng trên C, miền D nằm bên trái)

Lấy dấu − nếu C là chu tuyến âm (đứng trên C, miền D nằm bên phải)

Bài tập:

1 Tính I =R

C

x2ydx + ydy với C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi y = x2, y2 = x Hướng dẫn:

Áp dụng công thức Green: I =R

C

x2ydx + ydy = +RR

D xy

(0 − x2)dxdy =

1

R

0

dx

√ x

R

x 2

−x2dy = − 3

35

2 Tính I = R

C

2(x2 + y2)dx + (x + y)2dy với C là chu tuyến của 4ABC, A(2, 1), B(6, 1), C(4, 3) lấy ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương)

Hướng dẫn:

Phương trình AC : y = x − 1, BC : y = 7 − x

Áp dụng công thức Green: I =R

C

2(x2+ y2)dx + (x + y)2dy = +RR

D xy

[2(x + y) − 2.2y]dxdy

=

3

R

1

dy

7−y

R

y+1

(2x − 2y)dx =

3

R

1

[(7 − y)2− (y + 1)2− 2y(7 − y − y − 1)]dy = 56

3

3 Tính I =R

C

x2ydx − (x + x2)y2dy với C là đường tròn x2+ y2 = 1, lấy ngược chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

Gọi Dxy : x2+ y2 6 1

Áp dụng công thức Green: I =R

C

x2ydx − (x + x2)y2dy = +RR

D xy

[−(1 + 2x)y2− x2]dxdy

=RR

D xy

(−y2− 2xy2− x2)dxdy

Ta có Dxy là miền đối xứng qua trục Oy (x = 0), −2xy2 là hàm lẻ đối với x ⇒RR

D xy

−2xy2dxdy = 0

⇒ I =RR

D xy

(−y2− x2)dxdy =

2π

R

0

dϕ

1

R

0

−r2.rdr = −π

2

4 Tính I =R

C

x2ydx − xy2dy với C là đường tròn x2+ y2 = 9, lấy cùng chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

Gọi Dxy : x2+ y2 6 9

Áp dụng công thức Green: I =R

C

x2ydx − xy2dy = −RR

D xy

(−y2− x2)dxdy =RR

D xy

(x2 + y2)dxdy

=

2π

R

0

dϕ

3

R

0

r2.rdr = 81π

2

5 Tính I =R

C

(4x−2y)dx−(2x+3y)dy với C là chu tuyến dương của hình tròn (x−1)2+(y+1)2 = 4 lấy cùng chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

Gọi Dxy : (x − 1)2+ (y + 1)2 6 4

Áp dụng công thức Green: I =R

C

(4x − 2y)dx − (2x + 3y)dy = RR

D xy

(−2 + 2)dxdy = 0

6 Tính I =R

C

(y − cos y)dx + x sin ydy với C là đường tròn (x − 3)2+ (y − 2)2 = 4 lấy cùng chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

Gọi Dxy : (x − 3)2+ (y − 2)2 6 4

Áp dụng công thức Green: I =R

C

(y − cos y)dx + x sin ydy = −RR

D xy

[sin y − (1 + sin y)]dxdy

=RR

D xy

dxdy = S(D) = 4π

7 Tính I =R

C

(x2+ 2y)dx − (y2+ 2x)dy với C là phần đường tròn x2+ y2 = 4 (y > x) lấy ngược chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

Giao tuyến:

(

x2+ y2 = 4

Gọi C0 : y = x, x : −√

2 →√

2

I =R

C

(x2+2y)dx−(y2+2x)dy = R

C∪C 0

(x2+2y)dx−(y2+2x)dy−R

C 0

(x2+2y)dx−(y2+2x)dy = I1−I2 Gọi Dxy :

(

x2+ y2 6 4

y > x

Áp dụng công thức Green: I1 = +RR

D xy

(−2 − 2)dxdy = −4S(D) = −4.1

2.4π = −8π

I2 =

√

2

R

−√2

[x2+ 2x − (x2+ 2x)]dx = 0 ⇒ I = I1− I2 = −8π

8 Tính I =R

C

(y − cos y)dx + x sin ydy với C là nửa đường tròn (x − 3)2+ (y − 2)2 = 4 đi từ A(1, 2) đến B(5, 2) lấy cùng chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

Gọi C0 : y = 2, x : 5 → 1

I =R

C

(y −cos y)dx+x sin ydy = R

C∪C 0

(y −cos y)dx+x sin ydy −R

C 0

(y −cos y)dx+x sin ydy = I1−I2 Gọi Dxy :

(

(x − 3)2 + (y − 2)2 6 4

y > 2

Áp dụng công thức Green: I1 = −RR

D xy

[sin y − (1 + sin y)]dxdy =RR

D xy

dxdy = S(D) = 1

2.4π = 2π

I2 =

1

R

5

(2 − cos 2)dx = −4(2 − cos 2) ⇒ I = I1− I2 = 2π + 8 − 4 cos 2

9 Tính I = R

C

(y5ex−5y)dx+(5y4ex−5)dy với C là đường x =p1 − y2 đi từ A(0, 1) đến B(0, −1) Hướng dẫn:

Gọi C0 : x = 0, y : −1 → 1

I =

C

(y5ex− 5y)dx + (5y4ex− 5)dy =

C∪C 0

(y5ex− 5y)dx + (5y4ex− 5)dy

−R

C 0

(y5ex− 5y)dx + (5y4ex− 5)dy = I1− I2

Gọi Dxy :

(

x2+ y2 6 1

x > 0

Áp dụng công thức Green: I1 = −RR

D xy

[5y4ex− (5y4ex− 5)]dxdy = −5S(D) = −5π

2

I2 =

1

R

−1

(5y4.e0− 5)dy = −8 ⇒ I = I1− I2 = 8 − 5π

2

10 Tính I =R

C

(x2+y cos xy)dx+x33 + xy2+ x cos xydy với C là nửa dưới đường tròn x2+y2 = 2x

lấy ngược chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

Gọi C0 : y = 0, x : 2 → 0

I =R

C

(x2+y cos xy)dx+x3

3 + xy2+ x cos xydy = R

C∪C 0

(x2+y cos xy)dx+x3

3 + xy2 + x cos xydy

−R

C 0

(x2+ y cos xy)dx +x33 + xy2+ x cos xydy = I1 − I2

Gọi Dxy :

(

x2+ y2

6 2x

y 6 0

Áp dụng công thức Green: I1 = +RR

D xy

[x2+ y2+ cos xy − xy sin xy − (cos xy − xy sin xy)]dxdy

=RR

D xy

(x2+ y2)dxdy =

0

R

− π 2

dϕ

2 cos ϕ

R

0

r2.rdr = 3π

4

I2 =

0

R

2

x2dx = −8

3 ⇒ I = I1− I2 = 3π

4 +

8 3

11 Tính I =R

C

(x − 2y)dx + (3x2+ y)dy với C là đường x+y= 1 lấy theo chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

Gọi Dxy :x+y6 1

Áp dụng công thức Green: I =R

C

(x − 2y)dx + (3x2+ y)dy = −RR

D xy

(6x + 2)dxdy

Ta có Dxy là miền đối xứng qua Oy (x = 0), 6x là hàm lẻ đối với x nênRR

D xy

6xdxdy = 0

⇒ I = −2RR

D xy

dxdy = −2S(D) = −2.√

2.√

2 = −4

12 [152-CA1] Tính tích phân I = R

C

(xy − y2) dx + (2xy + x2) dy với C là biên của miền

D : x2+ y2 6 4x, 0 6 y, x + y − 2 6 0 lấy theo cùng chiều kim đồng hồ

Đáp số: 3π+32−20

√ 2

13 [152-CA2] Tính tích phân I = R

C

(ex−y − y sin x + xy2+ y2) dx + (cos x − ex−y+ x2y) dy với C

là nửa đường tròn x2+ y2+ 2x = 0, y 6 0 lấy ngược chiều kim đồng hồ

Đáp số: 73 − 1

e 2 ≈ 2.2

14 [162-CA2] Cho (L) là đường gấp khúc ABC, trong đó AB là cung y = 1 − x2, BC là cung y = (x−1)2và tọa độ các điểm là A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0) Tính I =RC

A cos2ydx−(2xy+x sin 2y)dy

theo đường cong (L).

Đáp số: 4115

15 [172-DT] Tính tích phân I = R

C

y sin(xy) + 1

2y2+ y
dx + (x sin(xy) + xy) dy với C là nửa đường tròn x2+ y2+ 2x = 0 đi từ A(−1, −1) đến B(−1, 1) theo cùng chiều kim đồng hồ Đáp số: π2

16 [172-CA2] Cho miền phẳng D giới hạn bởi y = x2, y = (x − 2)2, x = 2, C là biên của D, lấy theo chiều kim đồng hồ

a Chứng minh rằng diện tích của D được tính bởi tích phân R

C

−xdy

b Tìm diện tích miền D theo cách tính này

Đáp số: a Áp dụng công thức Green b Dùng tích phân đường để tính S(D) = 2

17 [182-DT] Cho C là chu tuyến kín, trơn từng khúc, định hướng dương và

I =R

C

y−1 (x−1) 2 +(y−1) 2dx + (x−1)1−x2 +(y−1) 2dy Tính I trong hai trường hợp:

a Điểm (1, 1) nằm ngoài C

b Điểm (1, 1) nằm trong C

Đáp số: a I = 0 b I = −2π

4 Tích phân không phụ thuộc đường đi

Cho hàm P, Q khả vi liên tục trên miền D mở, đơn liên Khi đó, các mệnh đề sau tương đương với nhau:

1 Q0x = Py0

2 ∀C kín nằm trên D, I =R

C

P dx + Qdy = 0

3 ∃ U (x, y) thỏa dU = P dx + Qdy Khi đó I = RB

A P dx + Qdy =RB

A dU = U (B) − U (A)

4 Tích phân R

C

P dx + Qdy không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phục thuộc vào điểm đầu và điểm cuối

Phương pháp giải:

1 Kiểm tra điều kiện Q0x = Py0 Nếu thỏa ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi

2 Nếu C kín ⇒ I =R

C

P dx + Qdy = 0 Nếu C hở ⇒ đổi đường đi cho C thành hai đoạn song song với hai trục tọa độ (hoặc có thể là một đoạn song song với một trục tọa độ) ⇒ tính trực tiếp

Bài tập:

1 Tính I = R

C

xdx + ydy với C là biên đường tròn x2 + y2 = 4y nối từ A(2, 2) đến B(0, 4) lấy ngược chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

P = x, Q = y

Ta có Q0x= Py0 = 0 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi

Gọi C1 : x = 2, y : 2 → 4 và C2 : y = 4, x : 2 → 0

I =R

C

xdx + ydy = R

C 1

xdx + ydy + R

C 2

xdx + ydy =

4

R

2

ydy +

0

R

2

xdx = 4 Cách 2:

Ta thấy U (x, y) = x

2

2 +

y2

2 có dU = xdx + ydy

⇒ I =

B

R

A

xdx + ydy = U (B) − U (A) = 4 Lưu ý: Chỉ cần chỉ ra hàm U (x, y), không cần phải nêu cách tìm hàm U (x, y) nhưng phải chỉ

ra rằng dU = P dx + Qdy

2 Tính I =R

C

ydx + xdy với C là đường y = 2x2− 4x + 1 đi từ A(1, −1) đến B(2, 1)

Hướng dẫn:

P = y, Q = x

Ta có Q0x= Py0 = 1 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi

Gọi C1 : x = 1, y : −1 → 1 và C2 : y = 1, x : 1 → 2

I =R

C

ydx + xdy = R

C 1

ydx + xdy + R

C 2

ydx + xdy =R

−

11xdy +

2

R

1

ydx = 3 Cách 2:

Ta thấy U (x, y) = xy có dU = ydx + xdy

⇒ I =

B

R

A

ydx + xdy = U (B) − U (A) = 3

3 Tính I = R

C

x2y + xex2 dx + x33 + y sin y dy với C là nửa trên của đường tròn (x − 3)2+

(y − 2)2 = 4 lấy ngược chiều kim đồng hồ

Hướng dẫn:

P = x2y + xex 2

, Q = x33 + y sin y

Ta có Q0x= Py0 = x2 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi

Gọi C0 : y = 2, x : 5 → 1

I =R

C



x2y + xex2dx +x33 + y sin ydy = R

C 0



x2y + xex2dx +x33 + y sin ydy

=

1

R

5



2x2 + xex2



dx = 2

3x

3

1

5+ 1

2e

x 2

1

5 = −248

e − e25 2 Cách 2:

Ta thấy U (x, y) = x

3

3 y +

1

2e

x 2

+ sin y − y cos y có dU = x2y + xex2dx +x33 + y sin ydy

⇒ I =R

C



x2y + xex2dx +x33 + y sin ydy = U (5, 2) − U (1, 2) = −248

e − e25 2

4 Tính I =

B

R

A

xdy − ydx

x2 theo đường không cắt trục Oy với A(2, 1), B(1, 2)

Hướng dẫn:

P = − y

x2, Q = 1

x

Ta có Q0x= Py0 = −1

x2 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi

Gọi C1 : x = 2, y : 1 → 2 và C2 : y = 2, x : 2 → 1

I =

B

R

A

xdy − ydx

C 1

xdy − ydx

C 2

xdy − ydx

2

R

1

1

2dy +

1

R

2

− 2

x2dx = 3

2 Cách 2:

Ta thấy U (x, y) = y

x có dU = −

y

x2dx + 1

xdy

⇒ I =

B

R

A

xdy − ydx

x2 = U (1, 2) − U (2, 1) = 3

2

5 Tính I =

B

R

A

(x + 2y)dx + ydy (x + y)2 theo đường không cắt đường x + y = 0 với A(2, −1), B(0, 2) Hướng dẫn:

P = x + 2y

(x + y)2, Q = y

(x + y)2

Ta có Q0x= Py0 = − 2y

(x + y)3 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi

Gọi C1 : x = 2, y : −1 → 2 và C2 : y = 2, x : 2 → 0

I =

B

R

A

(x + 2y)dx + ydy

(x + y)2 = R

C 1

(x + 2y)dx + ydy (x + y)2 +R

C 2

(x + 2y)dx + ydy (x + y)2

=

2

R

−1

y

(2 + y)2dy +

0

R

2

x + 4 (x + 2)2dx = ln 2 − 2

6 Tính I =

B

R

A

(x + y)dy + (x − y)dx

x2 + y2 theo đường không đi qua O(0, 0) với A(1, 1), B(3, 2)

Hướng dẫn:

P = x − y

x2+ y2, Q = x + y

x2+ y2

Ta có Q0x= Py0 = y

2 − x2 − 2xy (x2+ y2)2 ⇒ I là tích phân không phụ thuộc đường đi

Gọi C1 : x = 1, y : 1 → 2 và C2 : y = 2, x : 1 → 3

I =

B

R

A

(x + y)dy + (x − y)dx

C 1

(x + y)dy + (x − y)dx

C 2

(x + y)dy + (x − y)dx

x2+ y2

=

2

R

1

1 + y

1 + y2dy +

3

R

1

x − 2

x2+ 4dx = ln

√ 10

4 + arctan 2 + ln

√ 65

5 − arctan4

7 ≈ 0.7385

7 Tìm h(x, y) = xayb để I =R

C

h(x, y) [(2x2y2+ y)dx + (x3y − x)dy] là tích phân không phụ thuộc vào đường đi

Hướng dẫn:

P = 2xa+2yb+2+ xayb+1, Q = xa+3yb+1− xa+1yb

Q0x = (a + 3)xa+2yb+1− (a + 1)xayb

Py0 = 2(b + 2)xa+2yb+1+ (b + 1)xayb

I là tích phân không phụ thuộc đường đi khi Q0x = Py0 ⇔

(

a + 3 = 2(b + 2)

−(a + 1) = b + 1 ⇔ a = b = −1

8 Tìm các số tự nhiên m, n để tích phân sau không phụ thuộc đường đi:

I =R

C

xmyn+1(3 − 2xy2)dx + xm+1yn(4 − 3xy2)dy

Hướng dẫn:

P = 3xmyn+1− 2xm+1yn+3, Q = 4xm+1yn− 3xm+2yn+2

Q0x = 4(m + 1)xmyn− 3(m + 2)xm+1yn+2

Py0 = 3(n + 1)xmyn− 2(n + 3)xm+1yn+2

I là tích phân không phụ thuộc đường đi khi Q0x = Py0 ⇔

( 4(m + 1) = 3(n + 1)

−3(m + 2) = −2(n + 3)

⇔ m = 2, n = 3

9 [172-CA1] Cho I =R

C

(exsin y − emysin x) dx + (excos y + 2emycos x) dy

a Tìm m để I là tích phân không phụ thuộc đường đi trên Oxy

b Với m tìm được ở câu a, tính I với C là đường cong bất kỳ đi từ O(0, 0) đến A π4, −π4
Đáp số: m = 2 I =

√ 2

2 e−π/2− eπ/4
− 1 ≈ −2.4039

10 Tìm h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho I =

(1,1)

R

(−1,1)

(2xy + 3)h(y)dy − y2h(y)dx không phụ thuộc đường đi

Đáp số: h = y14

11 Cho P = 1 +xy, Q = −xy22 Tìm h = hxythỏa h(0) = 1 sao cho ∃U (x, y) : dU = P.hdx + Q.hdy Đáp số: h = exy

2< sup>.4π = 2? ?

I2< /small> =

1

R

5

(2 − cos 2) dx = −4 (2 − cos 2) ⇒ I = I1− I2< /small> = 2? ?... I = −2RR

D xy

dxdy = −2S(D) = ? ?2. √

2. √

2 = −4

12 [1 52- CA1] Tính tích phân I = R

C

(xy − y2< /small>)... y

2< /small> − x2< /small> − 2xy (x2< /small>+ y2< /small>)2< /small> ⇒ I tích phân không phụ thuộc đường

Gọi C1 : x = 1, y : → C2< /small>