Đề thi cuối kỳ môn giải tích 2 năm 2020 có đáp án

Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét: S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y.. Các em tự tính nhe.[r]

Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

1

( 1)1

Bài giải:

lim | n| 1 0

   => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Câu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

0

4

3128

x

x

xdy dx ydy dx

Câu 6: Tính tích phân bội ba

r r

I x dydzy dxdzz dxdy  x y z dxdydz

Đổi sang toạ độ trụ:

Vậy max z =2e đạt tại (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1/2,1/2)

max z =-4e4 đạt tại (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

( 1) ( 1)

n n

Các em nhận xét xem đúng hay sai?



 

Câu 4: Tìm chuỗi Taylor của ( ) 22 3

n n

2 2

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Đổi sang toạ độ trụ:

cossin

t t

 

1 2 3 1

113

1os

9

I  

Giải tích 2 – Đề số 11

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi x2y2z22y, y x2z2

Câu 2: Trên mặt phẳng xy2z0 tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó

3

06

27)

1(

)23)(

13

n

a

a

n

Câu 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

2 1

( 5) ( 2)

n n

( 5) ( 2)

n n

Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 5( 2)

  hội tụ tuyệt đối

0.5 1 1.5 2

x y

Câu 6: Tính tích phân bội ba  

V

I  yz dxdydz, trong đó V là vật thể được giới hạn bởi zx2y2,x2y2 4,z 2 x2y2

Bài giải::

S1: phía trước mp(0yz) 2

x zy và pháp vecto tạo với ox góc tù

S2: phía trước mp(0yz) 2

x  zy và pháp vecto tạo với ox góc nhọn

Các em có thể làm đơn giản bài toán ngay từ đầu bằng cách:

Nhận xét S đối xứng qua oyz và hàm x(y,z)=y chẵn theo x và x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có:

Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa về tích phân đường loại 1

Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 rồi dùng công thức O-G

11

Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý giữa hàm và biến mới làm được cách 2

Câu 2: Tìm cực trị của hàm f x y z ( , , )  x  2 y  3 z với hai điều kiện x   y z 1

' '

00

n n

n n

 hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz

Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1]

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

4

2 '2 4

Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

1

( 1)1

Bài giải:

lim | n| 1 0

   => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Câu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

0

4

3128

x

x

xdy dx ydy dx

Câu 6: Tính tích phân bội ba

r r

I x dydzy dxdzz dxdy  x y z dxdydz

Đổi sang toạ độ trụ:

Giải tích 2 – Đề số 18

Câu 1: Cho

2 2

2 2, ( , ) (0, 0)( , )

Câu này không giải được Em nào can đảm thì cứ việc

Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính

xy

Trên là diện tích cần tìm:

Đổi sang toạ độ cực mở rộng:

cos

3 1

(Để tìm cận dưới của, ta cho x=y suy ra tan= 3 r trong toạ độ cực mở rộng của Elip luôn đi từ 0 đến 1)

1

0 3

I  x dydz ydzdx zdxdy, với S là mặt

ngoài của nửa dưới mặt cầu x2y2z2 2 ,x z0

2

0 2

00

d L P

d L P



Vậy hàm f đạt cực đại tại P2(1,3,5) và cực tiểu tại P1(-1,-3,-5)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2

1( 1)n

Suy ra chuỗi phân kỳ

Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của

0

ln(1 3 )( )

0 1

1 2 0

(3 )( 1)

( 1)

13

( ) ( 1)

( 1)

n n

n

n

n n

2 0

n n

f(x)=x*sqrt(3)

-3 -2 -1

1 2 3

x y

2cos 4

x y

Ta có:

'2 '2

2 sin2

2256

xy x xy x

'' 2

4 '' 2

4 ''

6

26

51

xy xx

xy yy

xy xy

Ta có:

1 2 1

1 2 1

e n

f(x)=0 f(x)=3 x(t )=0 , y(t)=t x(t )=3 , y(t)=t f(x)=sqrt (x^2+2) Series 1

-0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

7 3 2

I x dydzy dzdxz dxdy, với S là mặt trong

của vật thể giới hạn bởi 1x2y2z24,y x2z2

Bài giải

Gọi M(a,b,c) thuộc mặt phẳng x2y3z  6 a 2b3c 6

2 2

b c

Bài này dùng bất đẳng thức cosi nhanh hơn nhưng không liên quan đến bài học

Câu 3: Tính tổng 1

1

( 2)( 2) 7

n n

2 2

2 1

n n m

2 1 1

1

2 1 1

n

n n

n

n n

n

n

n x

n n

x

n n

, trong đó D là miền phẳng giới hạn

bởi x  0, y  0, x  4sin , t y  3cos , t t   0, / 2  

Bài giải:

Dùng toạ độ cực mở rộng:

2 2 2 1

3

0 0

312

I   zdx xdyydz dydz dxdz dxdy

Pháp véc tơ đơn vị của S: ( 1 , 0, 1 )

116

x y

 

2 1 2

0 0 0

4085

Giải tích 2 – Đề số 14

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi y 4 x2,y 1 x z2, 0,z2x

Các em tự vẽ

Câu 2: Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m bìa 2

carton Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này

Vậy P là điểm cực đại

Và vì V liên tục trong góc phần tám thứ nhất và có duy nhất 1 điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn nhất tại P: MaxV=V(P)=4

Cách 2: Thế

122

xy z

Nhận xét: Không nghi ngờ gì nữa cách 2 hay hơn và gọn hơn cách 1 Nhưng các

em nên nhớ đang học GT2 về cực trị và max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức đã học vào những bài toán thực tế Bài này điển hình cho bài tìm max-min cho hàm 3 biến và miền không bị chặn rất hay

1 0 1

Do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh

Vậy: miền hội tụ là: [-1,1]

I  y dxdy y dxdy y dxdy

Vì E và C đối xứng qua Ox,Oy và hàm dưới dấu tích chẵn theo 2 biến x,y nên:

Câu 7: Tính tích phân mặt loại một

S

I  yds, với S là phần mặt trụ x2y2 4nằm giữa hai mặt phẳng z0,z3

Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét:

S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y

z y

n n

2 4 2

2 2 1

n n

n n n n

2 1 0

1

n n

n n

Dùng tiêu chuẩn D’Alembert dể thấy R=3

Câu 5: Tính tích phân max sin , sin 

D

x y dxdy

 với D là miền 0x, 0 y

Bài giải:

Chia D làm 4 miền bởi 2 đường thẳng y=x và x+y=Pi

f(x)=0 f(x)=x f(x)=Pi x(t )=0 , y(t )=t x(t )=Pi , y(t )=t f(x)=Pi-x

I   ydxdy ydxdy xdxdy ydxdy

Câu 6: Tính tích phân đường  2  2  2

C

I  yz dx zx dy xy dz, với C là giao của mặt phẳng xy z 1 và mặt cầu x2y2z24 ngược chiều kim đồng

hồ theo hướng trục Oz

y D