Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng ABC nằm trên đoạn BC.. PHẦN B: Theo chương trình nâng cao Câu 7b.1đ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC.
Trang 1Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D ĐỢT 3 MÔN TOÁN - 2013
Thời gian 180 phút
Câu 1.(2đ) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (c) của hàm số y x 2
x 1
-=
- 2.Chứng minh rằng với mọi số thực m, đường thẳng (d) y = -x + m luôn cắt (c) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn AB
Câu 2.(1đ) 1 Giải phương trình : cos3x-2sin 2x-cosx-sinx- =1 0
Câu 3.(1đ) Giải hệ phương trình :
3 2 2 3
x x y
y xy
ï í + + = ïî
Câu 4.(1đ) Tính tích phân:
5 2 1
2 1
I = òx x- dx
Câu 5.(1đ) Cho lăng trụ xiên ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a, BC = 2a, ABB’A’ là hình thoi Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) nằm trên đoạn BC Góc giữa (BCC’B’) và (ABB’A’) bằng a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
Câu 6.(1đ) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: a2 +b2 +c2 = 2
Chứng minh rằng: a3 + + -b3 c3 3abc £2 2
PHẦN TỰ CHỌN: (Chỉ được chọn phần A hoặc phần B)
PHẦN A: Theo chương trình chuẩn
Câu 7a.(1đ) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4; 1) và cắt
đường thẳng (d): 2x + y + 1 = 0 theo một dây có độ dài 2 5
Câu 8a.(1đ) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): 2 4
x y- z+
và (d2): 2 1 1
x+ = y- = z
Tìm phương trình đường thẳng (d) cắt (d1), (d2) và song song với trục Ox
Câu 9a.(1đ) Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: ( ) ( )2
x + i +y - i = + i
PHẦN B: Theo chương trình nâng cao
Câu 7b.(1đ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC Biết rằng đường thẳng (d):
x - 2y + 11 = 0 đi qua A và song song với BC, đường phân giác trong AD có phương trình 3x + y - 9 = 0 Tìm tọa độ điểm B, biết C(3; 5)
Câu 8b.(1đ) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (c) tiếp xúc với mặt
phẳng (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0 tại M(1;-1;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y -2z + 8 = 0
log (x+1) + =2 log 4- +x log (4+x)
Cảm ơn bạn ( hongnhung79@yahoo.com ) gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2ĐÁP ÁN THỬ ĐẠI HỌC KHỐI D ĐỢT 3 MÔN TOÁN - 2013 Câu 1.(2đ) 1
+) TXD: D R= \ 1{ }
lim 1; lim 1 1
®+¥ = ®-¥ = Þ = là phương trình tiệm cận ngang
® = -¥ ® = +¥ Þ = là phương trình tiệm cận đứng
+) ' 1 2 0; 1
( 1)
x
= > " ¹
-Hàm số (1) tăng trên các khoảng (-¥ và ;1) (1; +¥ )
+)Bảng biến thiên
+)Vẽ đồ thị
0,25 0,25
0,25
0,25
2
Hoành độ giao điểm của (c) và (d) là nghiệm của pt: 2
1
x
x m x
-= - +
-ó x2 -mx m+ - = 2 0 Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt vì
m
D = - + >
ð đường thẳng (d) luôn cắt (c) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa
mãn: x A+x B =m, x x A. B = -m 2
ð AB³ 2 2 dấu = xẫy ra khi m = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài
đoạn AB là 2 2
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 2.(1đ)
(1) ó - 2sin 2 sinx x- 2sin 2x- sinx- = 1 0
ó (2sin 2x+ 1 sin) ( x+ = 1) 0
Û sin 2 1
2
x
x
-ê
ê
=
-ë
ó 2 6 2
7
6
2
2
p p
p p
p p
é = - +
ê
ê
ê = +
ê
ê
ê = - +
êë
ó
12 7 12 2 2
p p
é = - + ê
ê
ê ê
ê = - + êë
0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 3Câu 3.(1đ)
3 2 2
3
x x y
y xy
ï
í
+ + =
3
ì + = -ï
í + = -ïî
Nhân theo vế và đặt t = xy ta có (3t2 + 1 3 1) ( t+ =) 8t3
ó ( )3
t+ = ó t = -1
Ta có nghiệm
3
3
4 1 4
x y
ì = -ï
í = ï î
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 4.(1đ)
Đặt t= 2x- 1 => 2 1
2
t
x= + , Þdx t dt= x= Þ = 1 t 1, x= Þ = 5 t 3.
2 1
4
1
1
2
1
= 10966
105
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu 5.(1đ)
AC= BC -AB =a , Diện tích đáy:
2
.
d
a
AF là đường cao DABC 12 12 12 42
3
=> 3
2
a
Hạ FH ^ BB’ => AHF =a
3 cot cot
2
a
Chân đường cao lăng trụ hạ từ B’ là E thì
ð DBFH DBB E' =>
3 cot
'
2
a a
BB FH
B E
a BF
a
ð Tính thể tích khối lăng trụ là
d
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6.(1đ)
a + + -b c abc = ( )3 3
a b+ + -c ab a b+ - abc
Trang 4(a b c a) ( 2 b2 c2 ab bc ca)
2
3
£
0,25 0,25 0,25
PHẦN TỰ CHỌN: (Chỉ được chọn phần A hoặc phần B)
PHẦN A: Theo chương trình chuẩn
Câu 7a.(1đ)
(2; 4)
-uuur
, AB= 2 5 E(3; 3) là trung điểm AB
I(a; b), AI = BI => a = 2b - 3 => I(2b - 3; b),
Đường tròn (c) cát (d) và đường thẳng AB theo hai dây bằng nhau
=> Khoảng cách từ I đến (d) bằng IE
=> 4 6 1 ( ) (2 )2
5
- + +
= - + - => b = 2 => I(1; 2),
R = IA = 10
=> Đường tròn cần tìm có phương trính: ( ) (2 )2
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 8a.(1đ)
Lấy M(a; 2 -a; -4 + 2a) Î(d1), N( 2b - 2; b + 1; 1 - b)Î (d2)
=> MNuuuur=(2b a- - 2;b a+ + - - 1; b 2a+ 5)
MN // Ox ó 1 0
2 5 0
b a
+ - = ì
í- - + =
3
a b
= ì
í = -î => M(4; 2;4 - )
=> Đường thẳng (d) có phương trình là tham số
4 2 4
y z
= + ì
ï = -í
ï = î
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 9a.(1đ)
1 2 - i = - - 3 4i
x + i +y - i = + i ó 3 3 9
5 4 14
- = ì
í - =
1
x
y
=
ì
í =
-î
0,25 0,5 0,25
PHẦN B: Theo chương trình nâng cao
Câu 7b.(1đ)
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 3 9 0
2 11 0
x y
+ - = ì
í - + =
6
x y
= ì
í =
î => A(1; 6) Lấy I t( ;9 3 ) - t thuộc đường thẳng AD: 3x + y - 9 = 0 CIuur= - (t 3;4 3 ) - t
Đường thẳng AD có vectơ pháp tuyến mur= (3;1) CI ^AD ó 3 4 3
=
ó t = 3
2 => ( ; )3 9
2 2
0,25
Trang 5=> C'(0; 4) đối xứng với C qua BD
' (1; 2)
C A=
uuuur
đường thẳng AB có pt: 1 6
x- = y- ó 2x − y + 4 = 0 Đường thẳng BC có pt: x − 2y + c = 0 , đường thẳng này chứa C => c = 7
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 2 4 0
2 7 0
x y
- + = ì
í - + =
1 3 10 3
x y
ì = -ïï í
ï = ïî
=> ( 1 10; )
3 3
B
-0,25 0,25
0,25
Câu 8b.(1đ)
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến nr = (2;1;2) Đường thẳng (d) qua M và
vuông góc với (Q) có phương trình là:
1 2 1
1 2
= + ì
ï = - + í
ï = - + î
Lấy I(1 + 2t; -1 + t; -1+2t) Î(d) MI bằng khoảng cách từ I đến (P)
1 4 4
+ + ó t = ±1
t = 1 => I(3; 0 ; 1) , R = 3 => mặt cầu (c) có pt:
t = -1 => I(-1; -2; -3) , R = 3 => mặt cầu (c) có pt:
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 9b.(1đ)
1
x
x
- < <
ì
í ¹
-î (*)Û log 2 x+ + = 1 2 log 4 2( -x)+ log 4 2( + x)
log 4 |x+ 1| = log (16 -x ) Û 4 |x+ = 1| 16 -x2
2
2
1 0
4 4 16
1 0
4 4 16
x
x
éì + >
êí
-î
ê
Û êì + <
êí
ê - -î =
-ë
2
2
1
4 12 0
1
4 20 0
x
x
éì > -êí
î ê
Û êì < -êí
êî - - = ë
2
2 24
x
x
=
é
Û ê
=
-ë
0,25 0,25
0,25
0,25
Cảm ơn bạn ( hongnhung79@yahoo.com ) gửi tới www.laisac.page.tl
