Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Trang 1Sở GD&ĐT Quảng Trị ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (Lần III, năm 2013)
Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Môn: Toán khối A, B
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1 (2đ) Cho hàm số y = 2x3 – 3(1+m)x2 + 6mx + 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho DOAB có diện tích bằng 13
Câu 2 (1đ) Giải bất phương trình 1 2 3 2 2 1
1
x
-£
-Câu 3 (1đ) Giải phương trình: (1 + sinx)(1 + tanx) = cosx(1 + cotx)
Câu 4 (1đ) Tính tích phân
1
2 0
ln
2 3
x
ç
= òççè + + + ÷÷ø
Câu 5 (1đ) Cho tứ diện OABC có OA = a, OB = b, OC = c và AÔB = BÔC = CÔA = a
12 abc
Câu 6 (1đ) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn: 3
x y
£ £ ì
î
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu 7a (1đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho DABC cân tại A, cạnh BC chứa điểm M(-4;1) và các đường thẳng chứa cạnh AB; AC có phương trình lần lượt là x + 3y – 1 = 0; 3x + y + 5 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của DABC
Câu 8a (1đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
1
1
2
z t
= + ì
ï =
-í
ï =
î
-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và tạo với d2 một góc 450
Câu 9a (1đ) Xét các số phức Z1, Z2 thỏa mãn: 1 2
1 2
13
5 2
ï í
Hãy tính Z1+Z2
B Theo chương trình nâng cao
Câu 7b (1đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho DABC vuông cân tại A nội tiếp elip
4
x
y
Câu 8b (1đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho đường thẳng
1 :
2 2
d y t
= -ì
ï = í
ï = - + î
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 3 = 0
Câu 9b (1đ) Xét số phức Z, thỏa mãn: 2Z Z+ - + =1 i 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2
E= Z+ Z
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Cảm ơn bạn ( hongnhung79@yahoo.com ) gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2ĐÁP ÁN Phần chung
Câu 1
(2 điểm)
y = 2x3 – 3(1+m)x2 + 6mx + 1 (1) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 – 3x2 + 1 (m = 0) TXĐ: R
Sự biến thiên: Giới hạn: lim
x y
® - ¥ = - ¥ , lim
x y
® + ¥ = + ¥ Bảng biến thiên: y' = 6x2 – 6x = 6x (x – 1)
y
- ¥
1
0
+ ¥
Nêu đầy đủ khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị
Đồ thị: y" = 12x – 6 = 0 Þ x 1
2
= , điểm uốn U 1 1;
2 2
æ ö÷
çè ø
Vẽ đầy đủ, rõ ràng, chính xác 2) m = ? để S(OAB) = 13 y' = 6[x2 – (1 + m)x + m]
y’ = 0 Û x 1
é = ê
ê =
( 3 )
=
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B Û m ¹ 1 Coi rằng A(1, 3m) , B(m; -m3 + 3m2 + 1) Þ (OA): 3mx – y = 0
Þ BH = d(B; OA) =
3
2
1
m m
-+ ; OA =
2
1 9m+
S(OAB) 1
2
= OA.BH 1
2
= m -3 1 = 13
3
3 25
m m
é = ê
Û ê = -ë
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 2
(1 điểm) Giải bpt
2
1 1
x
-£
ĐK: [ 1;1) (1;2]
2
Với [ 1;1)
2
x Î - thỏa mãn (1)
x Î ( ]1;2 khi đó (1) Û 2 3+ x- 2x2 £ -x 2
2 2 2
x
x
ì ³ ïï
ïî Tập nghiệm S = [ 1;1) { }2
2
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 3
(1 điểm)
Giải phương trình (1 + sinx)(1 + tanx) = cosx(1 + cotx) (1) ĐK: sin 0
cos 0
x x
ïï
íï ¹
ïî khi đó:
(1) Û sinx(1 + sinx)(cosx + sinx) = cos2x(sinx + cosx) 0,25
Trang 3sin 2 cos 0
2sin sin 1 0
ê
ë
4 sin 1
1 sin
2
x x
p p
é
ê = - + ê
ê
Û ê = -ê
ê
= ê êë
Þ = (loại)
4 2 6 5
2 6
p p p
p p
p
é
ê = - + ê
ê ê
Û ê = + ê
ê
ê = + ê
ë
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(1 điểm)
2
1 ln
+
Đặt
2
1
2
1 ( 1) 2
dx du
x
x
ìïï
x
= ( )1
0
- - - + = 3ln 3 2ln 2 1
Đặt x= 3 tant , ; 3(1 tan )2
2 2
tÎ -æçç p pö÷÷Þ dx= + t dt
÷
çè ø
6 2
dx
x
p
p
p
æ ö÷
÷÷
ç
(1) 3 3ln 3 2ln 2 1
-0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 5
(1 điểm)
Lấy các điểm Ao , Bo , Co trên OA, OB, OC
tương ứng sao cho OAo = OBo = OCo = 1
(Gt) Þ O AoBoCo - chóp tam giác đều
AoBo = 2 – 2cosα
S(AoBoCo) = 2
0
(1 cos )
4 A B o = 2 - a
CHo ^ (AoBoCo) Þ Ho là tâm tam giác đều AoBoCo
0
1
1 2cos 3
2
a >
Vo = 1
3S(AoBoCo)OHo =
1 (1 cos ) 1 2cos
6 - a + a ,
2
3
p a
< <
(1 cos ) 1 2cos 6
o
abc
3
p a
< <
0,25
0,25 0,25
Ao
O
Bo
Co
Ho
Trang 4Từ đề bài, đưa đến phương trình:
4cos3α – 6cos2α + 1 = 0 (0 2 )
3
p a
< <
3
1 3 arccos( )
2
p a a
é
ê = ê
Û ê
-ê = êë
0,25
Câu 6
(1 điểm)
Gt
2
2
2 3
2
x y
x y
ìïï - ³ ïï
ï
Þ í
ïï + ³ ïï
ïî
2 2
3 ³ y
22 + 32 =
2 3 ( ) 3 (1 x )
x
x + y + - y ³
³
2 2
2
2 3
2
y
x+ y + - y ³
³ 2x2 + y2 – x2 = x2 + y2 = P MaxP = 13 khi (x, y) = (2 , 3)
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 5Phần riêng
Câu 7a
(1 điểm)
AB: x + 3y – 1 = 0 ; AC : 3x + y + 5 = 0 Cạnh BC chứa điểm M(-4 ; 1) , I là trung điểm BC Þ AI ^ BC
3 1 0
x y
ì + - = ïï
= Ç íï + + =ïî Þ -Giả sử N(x ; y) trên tia phân giác AI (của góc BÂC), khi đó :
Þ M, N cùng phía đối với AB, AC và N cách đều AB, AC ( 4 3 1)( 3 1) 0
ìï - + - + - >
ïï ï
Þ íï - + + + + > Þ - + =
ïï + - = + + ïî
AI
Þ : x- y+ = Þ3 0 nrBC = (1;1) , M Î BC
BC
Þ : x+ + = y 3 0
B = AB Ç AC ; C = AC Ç BC Þ B(-5; 2) , C(-1; -2)
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu 8a
(1điểm) Véc tơ chỉ phương của d1, d2 lần lượt là u =1 (1; 1;2)
-r
, u = -r2 ( 2; 1;2) -Gọi véc tơ pháp tuyến của mp(P) là nr= ( ; ; )a b c
(P) chứa d1 và tạo với d2 một góc 450, nên (P): a(x – 1) + b(y – 2) + z = 0 , (a2 + b2 + c2 > 0)
và 1
0
2 0
cos( , ) sin 45
2 3
nu
u n
ì = + ï
r ur uur r
0
5
c
é = ê ê
ê = -êë
(P) : x + y – 3 = 0 (P’) : 5x – 3y – 4z + 1 = 0
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 9a
(1điểm)
Giả sử z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i (a1, b1; a2, b2 Î R) (Gt)
13
ïï
Þ í
ïî
Þ 2(a a1 2+ b b1 2)= - 24
(a a ) (b b ) a b a b 2(a a b b ) 2
Vậy |Z1 + Z2| = 2
0,25 0,25 0,25 0,25 chọn a = 1 Þ b = 1
chọn a = 5 ; c = - 4Þ b= -3
Trang 6Câu 7b
(1 điểm) Tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp (E) :
2
2 1 4
x y
+ = ; A(-2 ; 0)
Þ B(x0 ; y0) thì C(x0 ; - y0) Þ I(x0; 0) là trung điểm của BC
2
2
0 4 0 4 1
4
x
Þ + + = - (x <0 2)
0
0
2( ) 6 5
x
é = -ê ê Þ
ê = -êë
Þ Đường tròn (C) cần tìm có tâm I ( 6;0)
5
- , bán kính R =
2BC = 5 Vậy (C) : 6 2 2 16
x+ + y =
0,25
0,25 0,25
0,25
Câu 8b
(1điểm) Mặt cầu (S) có tâm I(2 ; 1 ; 0), bán kính R = 2 Gọi véc tơ pháp tuyến của mp (P) là nr = ( ; ; )a b c
(P) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S), nên (P) : a(x – 1) + by + c (z + 2) = 0 ; (a2 + b2 + c2 >0)
Và
2 2 2
2 0
2 ( ;( ))
ì - + + = ïï
ïî
r r
0
3
c
é = ê ê
ê = -êë
(P) : x + y – 1 = 0 ; (P’) : 5x – 3y + 4z + 3 = 0
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 9b
(1điểm)
Đặt z = a + bi (a, b Î R)
2z+ - + =z 1 i 3a- +1 (b+1)i
2 2
2z+ - + = Ûz 1 i 1 9a +b + =1 2(3a b- ) (1)
E = z+ 2z = 9a2+ b2
2 2
3a b 2(9a b ) 2E
(1) Þ E2+ £1 2 2E
Þ 2 1- £ E£ 2 1+ MaxE = 2 1+ , khi
6
2
a b
ìï +
ï = ïï ïí
ïï = -ïïî MinE = 2 1- , khi
2 2 6
2 2 2
a b
ìï
-ï = ïï ïí
ïï = -ïïî
0,25
0,25
0,25
0,25
chọn b = 1 Þ a = 1 chọn b = -3; c = 4 Þ a = 5
Cảm ơn bạn ( hongnhung79@yahoo.com ) gửi tới www.laisac.page.tl
