De va DA thi HSG Toán 9 lần 2

Chứng minh rằng A+2B+4là số chớnh phương.. 1 Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AB.. Trờn đường trũn lấy điểm D khỏc A và DAB 60.. Phõn giỏc trong của gúc DAB cắt đường trũn tại E và cắt C

PHềNG GD&ĐT YấN THẾ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018-2019 Mụn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Cõu 1 (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức 2  2 3  3 2 3  2 2

M



 a) Tỡm điều kiện của ,a b để M xỏc định và rỳt gọn M.

b) Tớnh giỏ trị của M khi 1 3 2, 10 11 8

3

2) Cho phương trỡnh x3 5 x2   2 m  5  x  4 m  2 0  , m là tham số Tỡm điều kiện

của m để phương trỡnh cú 3 nghiệm phõn biệt x x x1, ,2 3 thỏa món 2 2 2

1 2 3 11

x  x  x 

Cõu 2 (4,0 điểm).

1) Cho số nguyờn dương n và cỏc số:

2

n

   (A gồm 2n chữ số 4); B 888 8

n

   (B gồm

n chữ số 8) Chứng minh rằng A+2B+4là số chớnh phương

2) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: 3x - y3 = 1

Cõu 3 (4,0 điểm).

1) Giải phương trỡnh x2 x 1 x2 9x 9 2x

2) Giải hệ phương trỡnh

2 2 2

3

x y

xy x y x y







Cõu 4 (6,0 điểm).

1) Cho đường trũn tõm O, đường kớnh AB Trờn đường trũn lấy điểm D khỏc A và

DAB 60  Trờn đường kớnh AB lấy điểm C (C khỏc A, B) và kẻ CH vuụng gúc với AD tại

H Phõn giỏc trong của gúc DAB cắt đường trũn tại E và cắt CH tại F Đường thẳng DF cắt đường trũn tại điểm thứ hai N

a) Chứng minh tứ giỏc AFCN nội tiếp đường trũn và ba điểm N, C, E thẳng hàng

b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC

2) Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất

Cõu 5 (1,0 điểm).

Cho x, y, z là ba số thực dương Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

x xy y y yz z z zx x S

- Hết

-Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của Giỏm thị 1: Chữ ký của Giỏm thị 2:

Đề thi chớnh thức

PHÒNG GD&ĐT YÊN THẾ HDC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Hướng dẫn và biểu điểm này gồm có 5 trang)

điểm

Câu

1.1.a

2,0

điểm

M





ĐK xác định của M

0

0 0

0 0

a

a b

b a











 





 



0, 5

M 2 2 2 2 3 2 3 3 2 2



Câu

1.1.b

1,0

điểm

b) Ta có M 2 3b

a

  Với 1 3 2, 10 22 2

3

3 30 22 2

1 3 2

b a





 2

6 4 2 17

Vậy 3b 6 4 2 2 22 2 2

Từ đó ta có M 2 2 2 2

Câu 1.2

2,0

điểm

x3 5x2(2m5)x 4m 2 0 (1)

2

2

x





Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 0,25 Điều kiện là 4 6 20 1 0 13 82 3 0 3 13

m

m

Ta có 3 nghiệm của pt (1) là x1  2; ; x x2 3 trong đó x x2; 3 là 2 nghiệm

của pt (*)

0,25

HDC

Khi đó

x x x    x x  x x   x x  x x  0,25

Áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có 2 3

2 3

3

x x

x x m







Vậy (**) 9 2 2  m1  7 m1 (thỏa mãn điều kiện)

0,25

Vậy m 1 là giá trị cần tìm

0,25

điểm

2.1

2,0

Điểm

2

444 4 444 4000 0 444 4 444 4 10n 1 888 8

2 4.111 1.999 9 4.111 1.9.111 1 6.111 1

.888 8

Khi đó

1

3



Ta có điều phải chứng minh

0,5

2.2

2,0

Điểm

3x - y3 = 1

   2 

     Chỉ ra được y+1 và 2

1

=> tồn tại các số tự nhiên m; n sao cho 2

y y

0,5

+) nếu m > 0 thì 9 3.3 3 3 3 3 1

=> 9m 3.3m 3 3 3 3m m 3 0

0,75 Vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0), ( 2 ; 2 ) 0,25

điểm

3.1

2,0Điểm ĐK : 0<x

2



 hoặc 9 45



2 1 2 9 9 2

x  x  x  x  x  x2 x1 x x2 9x9 x0



x

0,25



x

x

 

  x 1 0 hoặc 2 1 2 9

0

0,25

+) –x+1=0  x=1

0,5

0

3.2

2,0Điểm

Giải hệ phương trình

x y

xy x y x y







Ta nhân vế của (1) với (2) vế ta được 2xy(x+y)=(3x-y)(x2+y2)

0,5

 2x2 y+2xy2=3x3+3xy2-yx2-y3  3x3 -3yx2 + xy2 -y3=0 (x-y)(3x2+y2)=0 

x=y hoặc 3x2+y2 =0 x=y hoặc x=y=0

+ Với x=y thay vào pt (1) và tìm được nghiệm hệ (x;y)=(1;1) ;(-1;-1)

0,75

điểm

4.1.a

2,0

điểm

D

B A

E

C

H

O

M

N F

Ta có :ACH ABD    (so le trong) (1) 0,25

từ (1) và (2) suy ra AND ACH    hay ANF ACF    0,25

AFCN nội tiếp đường trũn  CNF CAF    hay CND BAE    (3) 0,25 Mặt khỏc BAE DAE DNE      (4) 0,25

4.1.b

2,0

điểm

Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN tại M 0,25

ACM DNB

CBM END; CMB ENB

CB = CM

AD = CM, AD//CM suy ra ADCM là hỡnh bỡnh hành  đpcm 0,25

4.2

2,0

điểm

D'

B' A'

O

C A

B

D

Không mất tổng quát giả sử:AB AC Gọi B’ là điểm chính giữa cung ABC

 AB 'CB '

Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA  ABBCCA ' 0.5

Ta có: B 'BCB ' AC B 'CA (1) ;    0

B 'CA B 'BA 180 (2)    0

B 'BC B 'BA ' 180 (3);Từ (1), (2), (3)  B 'BA B 'BA ' 0.5 Hai tam giác A’BB’ và ABB’ bằng nhau  A 'B 'B ' A

Ta có  B ' A B 'C B ' A ' B'C A 'C= AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì

B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’ 0.5 Hoàn toàn tơng tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung ADC thì ta cũng có AD’

+ CD’ AD + CD Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’

 Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung AC

1 điểm

Tương tự suy ra 2

S

Đặt :

2

a x y z b y z x a z x y

b c a c a b a b c S

0.25

            

S

Do đó 3

4



S Đẳng thức xảy ra  x y z Vậy GTNN của S là 3

4

0,25

(Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa HS không vẽ hình không chấm)