Download Đề và ĐA thi HSG Tỉnh môn Toán 12

[r]

ONTHIONLINE.NET thi ch n h c sinh gi i t nh

n m h c 2011 2012 ă ọ –

Môn toán

Th i gian 150 phút ờ

Câu 1: ( 4 i m) đ ể

1.Cho bi u th c A = ể ứ

: 2

Ch ng minh r ng ứ ằ 0 < A < 2

2.Cho h m sà ố f (x) (x 312x 31) 2011 T nhớ f (a)t iạ

a  16 8 5  16 8 5

Câu 2: (4 i m) đ ể

1.Cho 3 s t nhiên a, b, c Ch ng minh r ng n u a + b + c chia h t cho 3 thì ố ự ứ ằ ế ế

a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia h t cho 6.ế

2 Tìm s t nhiên n ố ự để P=n5+n4+1 l s nguyên t à ố ố

Câu 3: (4 i m) đ ể

1) Gi i phả ương trình: x 6 4 x 2    x 11 6 x 2 1   

2) Gi i h phả ệ ương trình:

2 2 2

2 4 3 0 (1)

2 0 (2)

x x y y







Câu 4: (6 i m) đ ể

Cho đường tròn (O; R) T m t i m A n m ngo i ừ ộ đ ể ằ à đường tròn, k các ti pẻ ế tuy n AB v AC vuông góc v i nhau (B v C l các ti p i m) M l m t i mế à ớ à à ế đ ể à ộ đ ể trên cung nh BC, ti p tuy n t i M c t AB v AC l n lỏ ế ế ạ ắ à ầ ượ ạt t i E v F à

a/ Tính s o góc EOF ? ố đ

b/ Bi t EF = ế

5

c/ Tìm v trí c a i m M trên cung nh BC sao cho EF có ị ủ đ ể ỏ độ à d i nh nh t.ỏ ấ

Câu 5: (2 i m) đ ể

Tìm nghi m nguyên c a phệ ủ ương trình x y  89

H ướ ng d n ch m môn Toán ẫ ấ

(Th i gian l m b i: 150 phút, không k th i gian giao ờ à à ể ờ đề )

I/ H ướ ng d n chung: ẫ

- H c sinh l m cách khác úng, giáo viên v n cho i m t ọ à đ ẫ đ ể ươ ng đươ ng nh áp án ư đ

II/ Thang i m v áp án: đ ể à đ

Câu Đ áp án Thang

i m

đ ể

1

1) v i ớ x0,x1 Ta có:

: 2

1

A

x





0,25

0,5

=    

.



0,5

+ L i có: ạ

2

1

2) Ta có a 316 8 5 316 8 5

2 1/ Ta có: A = a + b + c ⋮ 3 =>2A ⋮ 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 0,5

C =B+2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c 0,5

= a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2) 0,5 a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

nên chia hết cho 6 => C ⋮ 6 => B ⋮ 6

0,5

2

P=n5+n4+1 =n5-n2+n4-n+n2+n+1

0,25

=n2(n-1)(n2+n+1)+n(n-1)(n2+n+1)+n2+n+1

0,25

+Với n=0 thì P=1 không là số nguyên tố ( loại) 0,25

+Với n=1 thì P=3 Là Số nguyên tố (t/m) 0,25

+Với n  2 ( nN) ta chứng minh được: n3-n+1n2+n+1 7 0,25

Do đó P là hợp số

KL: với n=1 là giá trị cần tìm

0,25 0,25

3

x 6 4 x 2     x 11 6 x 2 1    

  x 2 2   2   x 2 3   2  1

0,25

x 2 2 x 2 3 1

0,25

x 2 2 3 x 2 1

áp dụng BĐT: A  B A B ta có: x 2 2    3  x 2   1 0,5

Dấu”=” xảy ra khi:  x 2 2 3      x 2     0 2  x 2 3    2 x 7  

0,5

2)

T (1) ừ  x3  1 2(y 1) 2  x3 1  x 1 0,5

T (2) ừ

2

2

1 y 1 -1 1

y



Suy ra x = -1 thay v o (2) ta có: y à 2 – 2+y + 1 = 0  y =1 0,5

V y h ph ậ ệ ươ ng trình có nghi m duy nh t ( x , y ) = (-1 , 1) ệ ấ 0,25

a/

CM đượ c

2

MOE MOB

;

2

=>

2

b/

Tính đượ c di n tích tam giác OEF = ệ

2 5 12

Ch ng minh S ứ OEF =

1

0,5

=> S OBEFC =

2 5

6R

0,5

Ta có S ABOC = R 2

=> S OEF =

2 1

6R

0,5

c/ Đặ t AE = x v AF = y Suy ra à EF  x2y2 0,25

Chu vi tam giác AEF = 2a

x y  x y  a

0,25

 2

2 2

2(x y )  x y

suy ra

2 2

2 x y  x y

0,5

2a x y   x y  x y 1  2 EF 1  2

0,5

V y EF có d d i nh nh t b ng ậ ộ à ỏ ấ ằ

2

a

 khi x = y v y M l chính gi a cung BC ậ à ữ 0,5

x y   x y  xy    y x  x y x   y x  x

=>x=89k2 (k N )

0,5

O

M

A C

B

E

F

*N u ế k  1 k2  1 x 89 x y  89( vô lý) 0,5

Cho o n th ng AB có trung i m l O Trên n a m t ph ng b AB d ngđ ạ ẳ đ ể à ử ặ ẳ ờ ự

n a ử đường tròn (O) đường kính AB G i C l m t i m n m trên n a ọ à ộ đ ể ằ ử đường tròn (O) T C k CH vuông góc v i AB ừ ẻ ớ ( H ∈ AB ) G i M, N l n lọ ầ ượ àt l hình chi u c a H lên AC v CB ế ủ à

1 Ch ng minh r ng: OC vuông góc v i MN;ứ ằ ớ

2 Qua A k ti p tuy n Ax v i ẻ ế ế ớ đường tròn t i A Ti p tuy n v i (O) t i i mạ ế ế ớ ạ đ ể

C c t Ax K Ch ng minh r ng: BK; CH; MN ắ ở ứ ằ đồng quy

3 K ti p tuy n By v i ẻ ế ế ớ đường tròn t i B KC c t By t i F Bi t AB=2R v g iạ ắ ạ ế à ọ

r l bán kính c a à ủ đường tròn n i ti p tam giác KOF Ch ng minh r ngộ ế ứ ằ

r

R