Cho tam giỏc ABC cõn tại A.. Hai điểm M, D tương ứng là trung điểm của BC và AM.. Chứng minh rằng: a Tam giỏc MHD đồng dạng với tam giỏc CMD.. A là một điểm cố định trong gúc aOb.. Điểm
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
YấN THẾ
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi cú 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018 MễN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THễNG
Ngày thi: /4/2018
Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Cõu 1 (6,0 điểm)
1 Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x2 - 2xy + y2 + 6x - 6y +5
2 Tỡm số dư trong phộp chia của đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho
đa thức g(x) = x2 + 8x + 12
3 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 Tớnh S = a2016 + b 2017 + c 2018 +2017
Cõu 2 (4,0 điểm)
1 Tỡm số nguyờn tố p để 4p + 1 là số chớnh phương
2 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của cỏc biểu thức : 2( 22 1)
1
B
x
Cõu 3 (4,0 điểm)
1 Cho biểu thức: Q = 1 +
x x x
x x x
x x x
x
2 3
2 3 2
3
2 :
1
2 1
1 1
1
Tỡm x nguyờn để Q nhận giỏ trị nguyờn
2 Tỡm cỏc số nguyờn a, b biết: (a1)2b(b1)2a1
Cõu 4 (5,0 điểm)
1 Cho tam giỏc ABC cõn tại A Hai điểm M, D tương ứng là trung điểm của BC và
AM H là hỡnh chiếu của M trờn CD AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E Chứng minh rằng:
a) Tam giỏc MHD đồng dạng với tam giỏc CMD
b) E là trực tõm tam giỏc ABN
2 Cho góc nhọn aOb A là một điểm cố định trong gúc aOb Điểm M thay đổi trên
tia Oa; điểm N thay đổi tia Ob sao cho 2OM = ON Tìm vị trí điểm M, N để 2AM + AN
đạt giá trị nhỏ nhất
Cõu 5 (1,0 điểm)
Cho cỏc số thực dương x y, thỏa món x y 2 Chứng minh rằng:
2 2
1
x x y y .
-Hết -Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
Giỏm thị 1 (Họ tờn và ký) Giỏm thị 2 (Họ tờn và ký)
Trang 2YÊN THẾ BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN
NGÀY THI /4/2018 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
1
(2,0 điểm)
= (x - y)2 +6(x - y) +5 = (x - y)2 + 6(x - y)2 + 9 -4
1
= (x - y + 3)2 - 22 = ( x - y + 5)(x - y +1) 1
2
(2.0 điểm)
Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 9
= (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + 9
= (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + 9 0.5
= (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + 9 – 15
Vậy số dư trong phép chia của đa thức f(x) cho đa thức g(x) là - 6.
0.5
3
(2 điểm)
a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 a; b; c 1;1
0.5
a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0
0.5
a3 + b3 + c3 1 a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1
a2016=a2; b2017 = b2; c2018 = c2; S = a2016 + b 2017 + c 2018 +2017= 2018 0.75
1
(2.0 điểm)
Giả sử 4p + 1 là số chính phương=> 4p+1=k2 (k là số tự nhiên)
4p=(k-1)(k+1)
=> (k-1)(k+1) chia hết cho 4
0.5 Mặt khác: (k+1)+(k-1)=2k là số chẵn nên k-1 và k+1 cùng tính chẵn lẻ
Do đó k-1 và k+1 là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp => (k-1)(k+1) chia hết cho
8 => 4p chia hết cho 8 => p chia hết cho 2, mà p là số nguyên tố nên p=2
0.75
2
(2.0điểm)
B
Dấu “ = ” xảy ra <=> x+1= 0 <=> x = -1
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 32 2 2 2
B
Dấu “ = ” xảy ra <=> x-1= 0 <=> x = 1
1
(2 điểm)
Điều kiện: x0,x-1, x2
Q = 1 +
x x x
x x x
x x x
x
2 3
2 3 2
3
2 :
1
2 1
1 1
1
1 1
1
1 2
1 1 1
2 2
2
x x
x x x
x x
x x x
x
1 1
1
2 2 1
2
1 1
1
4 2 1
2 2
2 2
2
x x
x x x x x
x x
x x
x x x x x
x x
1 1 1
2 1
x x x
1
Q nhận giá trị nguyên x1 x1 x1 2 x1 2x 1
x+1 là ước của 2 x+1 2; 1;1; 2
Tìm được: x 3 ; 2 ; 1 đều t/m ĐKXĐ
0.75
2
(2 điểm)
(a1) b(b1) a1 (1)
Ta có:
(1) ab a b( ) 4 ab a b ( ) 1 ab a b( 4) ( a b 4) 5 (a b 4)(ab 1) 5 0.75 Khi đó chỉ xảy ra 4 trường hợp sau:
Từ đó tìm ra ( , ) (0,1);(1,0);( 6,1);(1, 6)a b (Mỗi trường hợp 0,25 điểm)
1
Trang 4(2 điểm)
E
N
H D
B
A
a)
Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam
giác ABC
Mà ABC cân tại A (gt)
Suy ra: AM là đường cao của ABC
1
Xét MHD và CMD có:
MHD CMD (= 900)
MDH CDM
Suy ra: MHD CMD (g.g)
1
1.b
(2 điểm)
b) MHD CMD (câu a)
HD HM
HD HM
AD BM (vì MD = AD, CM = BM)
1
Mặt khác ta có:
0
90
ADH DMH BMH Suy ra HDA HMB (trường hợp đồng dạng thứ hai)
Do đó: AHD BHM
0,5
Từ đó: AHB DHM 900 hay BH AN
Kết hợp với AM BC ta suy ra E là trực tâm của tam giác ABN 0,5
2
(1,0
điểm)
b
a x
N
C
O
A M
Trang 5Dùng tia Ox n»m ngoµi góc aOb sao cho aOx bOa
Trªn tia Ox lÊy C sao cho OC =
2 OA Chứng minh được: COM AON (c.g.c)
2
1 ON
OM NA
MC
AN = 2 MC
0.5
2AM + AN = 2AM + 2MC
= 2 ( AM + MC) 2AC
DÊu "=" x¶y ra M thuéc ®o¹n th¼ng AC v N à N nằm trên tia Ob sao cho ON=2OM
0.5
Câu 5
(1 điểm)
( 1) ( 1)
P
Áp dụng BĐT 1 1 4
a b a b và 1 1 1 1
4
với ,a b dương, dấu
bằng xảy ra a b c
Ta có 1 1 1 1 ; 1 1 1 1
0,5
P
=3 1 1 1 3 4 1 3 1 1
4 x y 2 4 x y 2 2 2
Dấu “=” xảy ra x=y=1
0,5
Điểm toàn bài (20điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.