UD2: Tính thể tích tứ diện UD3: Tính thể tích hình hộp.. Tính thể tích và đường cao AH cuả tứ diện.. c- Tính góc A cuả tgiác ABC... b- Tính diện tích tgiác ABC.. d- Tìm toạ độ chân đường
Trang 1TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1 : VÉC TƠ
1- véc tơ trong không gian:
- Các khái niệm , đn, các phép toán
về véctơ… Giống như trong mặt phẳng
2- Véc tơ đồng phẳng :
- Đlí 1 , Đlí 2, Đlí 3 ( SGK )
3- Một số đẳng thức véctơ :
- Qui tắc 3 điểm , hệ thức trung tuyến
, hệ thức trọng tâm tam giác
BÀI 2 : HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ – TOẠ ĐỘ VÉC
TƠ – TOẠ ĐỘ MỘT ĐIỂM
1- Hệtrục toạ độ :
2- Toạ độ cuả véctơ :
-Cho a ta có :
1 2 3 ( ; ; )1 2 3
a a i a j a k a a a a
- Tính chất : Cộng , trừ , k a , cùng
phương
VD : Cho : (1; 2;3) (1; 1/ 2;0)
4- Toạ độ cuả một điểm :
( ; ; )
Định Lí : Toạ độ :
( B A; B A; B A)
5- Toạ độ một số điểm :
- M chia AB theo tỉ số K
- I trung điểm AB
- G trọng tâm tam giác ABC
- G trọng tâm tứ diện ABCD
VD : Cho M(1;3;-2) Tìm toạ độ hình chiếu cuả
điểm M trên :
- mp toạ độ : xOy , yOz , xOz
- trên trục : 0x ,oy ,oz
BÀI 3 : TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
1- Tích vô hướng :
ĐN : a b a b 1 1 a b2 2a b3 3
TC :
a a12a22a32
( B A) ( B A) ( B A)
AB x x y y z z
cos( , )
a b
a b
a b
a b 0 a b VD: Cho tgiác ABC có : A(2;1;-1); B(3;2;-1) và C( 3;1;0) Tính chu vi và góc A cuả tgiác ABC
2- Tích có hướng :
a-ĐN : b-TC :( bốn T/C )
VÍ DỤ: Choba vec tơ : (1;1; 1); (1; 2; 2); (2;5;7)
CMR : Ba vectơ trên đồng phẳng c- Ứng dụng :
UD1: Tính diện tích tam giác ABC
UD2: Tính thể tích tứ diện UD3: Tính thể tích hình hộp
Ví dụ :Cho bốnđiểm : A(1;0;0) ; B(0;1;0) ; C( 0;0;1)và D(-2;0;2)
CMR : A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện Tính thể tích và đường cao AH cuả tứ diện
BÀI TẬP :
1- Cho A(1;0;0) ;B( 0;0;1) C(2;1;1) a-Tìm chu vi và tính diện tích tgiác ABC b- Tìm toạ điểm D để ABCD là hình bình hành c- Tính góc A cuả tgiác ABC
2- Cho : A(1;2;1) ; B( 5;3;4) và C(8;-3;2)
Trang 2a- CMR: Tam giác ABC vuông
b- Tính diện tích tgiác ABC
c- Tính bán kính đường tròn ngoại ,
nội tiếp R , r của tgiác ABC d- Tìm toạ độ chân đường phân giác
trong BE cuả tam giác ABC 3- Cho : A(0;1;0) ; B(2;3;1) ; C(-2;2;2) và
D( 1;-1;2)
a-CMR : ABCD là một tứ diện có có 3 mặt
vuộng tại A
b-Tính thể tích tứ diện ABCD
c-Gọi G là trọng tâm tam giác BCD CMR:
AG vuông góc mp( BCD )
BÀI 4 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1-vtpt – cặp vtcp cuả mp :
*Vt n 0: Gọi là vtpt cuả mp( ) ,nếu nó vuông gócvới mp( )
* ,a b 0 :
gọi là cặp VTCP cuả mp( )nếu chúng không cùng phương và ssong hoặc nằm trong mp(
)
*Nếu mp( ) có cặp vtct ,a b 0 : thìmp( ) có vtpt là na b,
2-Pt tổng quát cuả mặt phẳng:
*Định nghiã : Pt cuả mp có dạng :
mp( ) : Ax + By + CZ+D = 0 Với : VTpt n( ; ; )A B C
** Định lí :Mp( ) đi qua M(x0;y0;z0)và có vtpt ( ; ; )
là : mp( ) A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0)= 0
*** Chú ý:
-mp( ) qua gốc O: Ax+By+Cz = 0
- Mp(xOy) : z=0
- Mp(xOz) : y=0
- Mp(yOz) : x=0 -mp( ) qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) và C(0;0;c) : ( ) x y z 1
a b c
-Hai mp ssong: Vtpt mp nầy là một vtpt cuả mp kia
- Hai mp vuông góc : VTpt mp nầy là một vtcp cuả mp kia
VÍ Dụ và Bài tập :
Viếtpt mp( ) trong cáctrường họp sau : 1- ( ) qua A(1;-2;3) và có vtpt n (2; 3; 1) 2-( ) có Cặp VTCP a(0;1;2);b(1; 2;3) và qua M(1;-2;3)
3-( ) qua 3điểm : A(1;0;3) ; B(-1;2;-2) và C(2;-3;1)
4-( ) qua A(-1;3;2) và vuông góc với trục 0z 5-( ) qua A(-3;2;-2) và chứa ox
6- ( ) qua hình chiếu cuả A(1;-2;3) lên các trục Ox,Oy,Oz
Trang 37-Cho : A(2;-1;4) ; B(-1;0;2) , C(1;1;-1) ; D(0;3;-1)
a- Viết ptmp(ABC) Suy ra ABCD tứ
diện b- Viết ptmp( ) qua D và vuông góc
DC
BÀI 5 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI HAI MP – CHÙM
MP
1- Vị trí tương đối hai mặt phẳng :
Cho hai mp : (1) A1x +B1y+C1=0
( 2) A2x +B2y+C2=0
* ( 1) cắt( 2) 1 1 1
*( 1) ssong ( 2) 1 1 1 1
* (1) ( 2) 1 1 1 1
2- Chùm mặt phẳng :
Định Nghiã :
Định lí :
Ví dụ và bài tập :
1- Cho hai mp ( 1 ) x+y+5z = 0
(2) 2x+3y-z = 0
a- CMR : ( 1 ) và (2 ) cắt nhau theo
giao tuyến (d )
b-Viết pt mp ( ) đi qua M(3;2;1) và chứa
gtuyến (d ) ĐS : 5x+14y-74z +31 = 0
Bài tập : Viết ptmp( ) qua gioa tuyế cuả haimp :
2x – z = 0 ; x+y-z + 5 = 0
và vuông góc mp : 7x –y +4z – 3 = 0
BÀI 6 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNGTHẲNG
1 – Pt tham số cuả đường thẳng :
Định lí : -Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x0;y0;z0) và có vtcp a( ; ; )a a a1 2 3 thì ptts của (d) có dạng:
(d)
0 1
0 2
0 3
2-Pt chính tắc cuả đưởng thẳng ( d ) :
Định lí : -Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x0;y0;z0) và có vtcp a( ; ; )a a a1 2 3 thì ptctắc cuả (d) có dạng:
** Chú ý : -Hai mp ssong :VTcp a 1a2
-mp vuông góc với đthẳng: VTcp a d vtpt n
VD : Viết ptts và ptct của đường thẳng AB : Với A(3;5;7) và B( 1;2;3)
3- Ptrình tổng quát cuả đường thẳng :
-Trong không gian hai mp ( 1 ) và ( 2 ) cắt nhau theo giao tuyến (d ) thì pt tổng quát cuả (d) có dạng
(d) 1 1 1 1
0 0
A x B y C z D
A x B y C z D
Chú ý :
- Tìm điểm M thuộc (d) ta cho 1 ẩn rồi giài hpt tìm hai ẩn còn lại : M(x;y;z)
- Véc tơ chỉ phương cuả ( d) :
a d n n1; 2 ( ; ; )a a a1 2 3
- pttq các trục toạ độ là :
Ox z y00
; Oy x z00
; OZ z y00
VD: Viết ptts và PTCT cuả ( D ) biết :
Trang 4(D) 34x y 23y z 1 01 0
BÀI TẬP : ĐƯỜNG THẲNG
1-Viết pt : ts , ctắc , pttq của AB: Với A(-1;2;-2)
và B( 2;-3;4 )
2-Viết PTTS và PTTQ cuả đường thẳng (d) biết :
a- Qua A(-1;2;-3) và ssong trục Ox
b- Qua M( 2;-4;-2)và vuông góc với mp(Oxy)
c- Qua M (2;3;5) và ssong với đường thẳng :
(D) 3 2 7 0
d- Qua A(3;2;1) và vuông góc với đt:
( ) 3
và cắt ()
3-Cho mp( ) P: x+y+z-1= 0 và đt(d1) 1
1
x z
Viết ptđt (d2) qua điểm M(1;1;-1) ,biết (d2)
nằm trong mp( ) và d2 vuông góc d1
4-Viết ptđt(d’) là hình chiếu vuông góc của đt (d)
lên mp ( ) :
a- Cho (d) : x3 2 y42z11
Và mp( ) 2x + y + z – 8 = 0
2 1 0
x y z d
Và ( ) x-y +2z-1 = 0
BÀI 7 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CUẢ ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1- Toạđộ giao điểm cuả đường thẳng vả mphẳng :
TH1 : Cho (d)
0 1
0 2
0 3
Và mp( ) : Ax+By+cz+D = 0 -Ta thế (d) vaò pt mp( ) giải tìm t =
-Thế t = vào pt (d) tìm : x;y;z
TH2 :Cho (d) 1 1 1 1
0 0
A x B y C z D
A x B y C z D
Và mp( ) : Ax+By+cz+D = 0 -Dùng máy tính,giải pt 3 ẩn tìm toạ độ giao điểm x;y;z
Ví dụ- Bài tập : 1- Tìm toạ độ giao điểm cuả (d) và mp( ): a-Cho (d)
1
3
b-Cho: ( ) 3 5 7 16 0; ( ) 5 4 0
2- Cho đt (d) : 3 1
Và mp( ) x+y+z = 0 a-Tìm toạ giao điểm A cuả (d) và mp( ) b-Viếtptđt ( D ) qua A vuông góc (d) và nằm trong mp( )
2-Vị tí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cách 1:
-Gọi VTcp (d) là a d va vtpt mp( ) n
:
Nếu .a n d 0 ( )d cat( )
Nếu
// : ;
d
a n
Trang 5Cách2:
- Giải hpt giưã (d) và mp( ) :
+ Hệ có nghiệm duy nhất : (d) cắt ( )
+ Hệpt vô nghiệm : (d) // mp( )
+ Hệpt vô số nghiệm : (d) mp( )
Ví dụ- Bài tập :
1-Xét vị trí tương đối (d) vàcác mp( ) :
Cho (d)
1 2
2 4 3
và các mp( ) là :
(1) x+y+z+2 = 0
(2) 4x+8y+2z – 7 =0
(3) 2x-2y+4z –10 = 0
(4) x-y+2z+5 = 0
2-Cho (d) : (d) : x21y11 z1
và mp( ) : x+2y +z –1 = 0
CMR : d cắt mp( ) và tìm toạ độ giao điểm nầy
ĐS : I( 7/3;-1/3;-2/3)
3- Vịtrí tương đối đthẳng và đthẳng :
* Cách 1 :
-(d1) qua M(x0;y0;z0) , có vtcp a 1
- (d2) qua N(x0;y0;z0) , có vtcp a2
Tính : a a1, 2 , MN
+ 1 2 1 2 1 2
a a
//
a a
** Cách 2 :
-Giải hệ pt gồm hai đường thẳng d1 và d2
Ví dụ1 : Cho (d1)
(d2) 1
CMR: d1d2 và d1 cắt d2
Ví dụ2 : Xét vịtrí tương đối của:
(d) với d1, d2, d3 và d4 :
1
2
3
4
( )
:
:
:
:
d
d
d
d
d
Trang 6BÀI 8 : KHOẢNG CÁCH
1-khoảng cách giưã hai điểm :
AB = AB (x B x A)2(y B y A)2(z B z A)2
2-Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng :
d=(M; ) = 0 0 0
3-Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng :
-Tính kcách từ : M(x0;y0;z0) đến (d)
- Gọi : N(x0;y0;z0) thuộc d ,vtcp d : a( ; ; )a a a1 2 3
thì : t= d(M,d) = a MN,
a
4-Khoảng cách giưã hai đường thẳng chéo nhau
- d1) qua M(x0;y0;z0) , có vtcp a 1
-(d2) qua N(x0;y0;z0) , có vtcp a2
d= d(d1;d2 ) = 1 2
1 2
, ,
a a
Ví dụ : Tính kcách từ điểm đến đthẳng :
a- Cho M(1;2;1) và (d) 2 3 1
b- Cho M(2;3;1) và (d)
2 1 0
c- Vídụ : Tính kc hai đường :
Cho (d1)
1 2 1 1
z
, (d2) 2 2 3
ĐS : 6
2
BÀI 9 : GÓC
1- Góc giữa hai đường thẳng :
- d1) qua M(x0;y0;z0) , có vtcp a1 -(d2) qua N(x0;y0;z0) , có vtcp a2 Gọi : ( 1, 2)d d thì :
1 2
cos
a a
d1 d2 a a1 2 0
2-Góc giữa hai mặt thẳng:
- (P1) qua M(x0;y0;z0) , có vtcp n1 -(P2) qua N(x0;y0;z0) , có vtcp n2 Gọi : ( 1, 2)P p thì :
1 2
cos
n n
P1 P2 n n1 2 0
3-Góc giữa đường thẳng và mặt thẳng:
- (d) có vtcp a -(P) có vtpt n
Gọi : ( , )d p thì :
a n Sin
a n
(d) (P) a k n
Ví dụ : Tính góc giưã :
1 2
b) (d1 ) 1 0 ( ) 1 0
2 0
x y
y z
c)(p) x - 2y z 1 0 ;( )q x 2y z 2 0
Trang 7BàI 10 : MAậT CAÀU
1- Phơng trình mặt cầu :
Định lí 1 : pt mặt cầu tâm I(a;b;c)
bán kính R
( S ) (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2
- Nếu I trùng O : (S) x2+y2+z2= R2
Định lí 2: Trong không gian PT :
( S ) x2+y2+z2-2ax-2by-2cz +d = 0
với : a2+b2+c2- d = 0 là pt mặt cầu ( S ) có tâm
I ( a;b;c) và có bán kính R= a2b2c2 d .
Vídụ-BàI tập : Viết pt đờng ( S ) :
a)– Có tâm I ( 2;-1;1) và qua A(3;1;-1)
b) – Có đờng kính AB với A(1;0;2) ; B(3;-2;2)
c) - Cho mặt cầu (S) x2+y2+z2-3x+4y-z –1= 0
Tìm I ; R=?
2- Giao của mặt cầu và mặt phẳng :
-Cho mp( ) Ax+By+Cz + D = 0 và
Mặt cầu (s) x2+y2+z2-2ax-2by-2cz +d = o
Gọi : - (S) có tâm I và R và d = (I, )
d> R : mp( ) và (S) không có đIểm chung
d=R : mp( ) tiếp xúc (S) tại H Khi đó ( )
gọilà tiếp diện của (S) và H là tiếp đIểm của
(s)
d< R : Mặt phẳng ( ) cắt (S) theo một đờng
tròn ( C )
Chú ý : Phơng trình đờng tròn :
( C ) 2 2 2 0
Ax By Cz D
-(C ) có tâm H là hình chiếu của I lên ( )
-( C ) có bán kính r R2 d2 .
Ví dụ : Cho mp( ) 2x-y-2z+6=0
Và mặt cầu (S) x2+y2+z2-2x-4y+6z-11=0
a- Tìm I , R của (S)
b- CMR : Mp( ) cắt (S) Viếtpt đờng tròn giao
tuyến ,tìm tâm và bán kính của đờng tròn
nầy
………
BàI TậP : ÔN TậP
