ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HÌNH HỌC SỐ HỌC TỔNG HỢP KIẾN THỨC TÌM KIẾM HỌC SINH GIỎI ĐI THI CẤP TỈNH TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN ĐA DẠNG CÓ TÍNH SÀN LỌC HỌC SINH CAO
Trang 1Phòng GD- ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
TRƯỜNG
Trường THCS Nguyễn Viết Xuân Năm học: 2017 – 2018
Môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (5đ) Rút gọn các biểu thức sau:
x x
�� �� ��� �� �
a Rút gọn P.
b Tính giá trị của P khi x 7 4 3.
c Chứng minh: P 1
Bài 2: (5đ) Cho phương trình x 2 – 2mx + m 2 – m – 6 = 0 (m là tham số)
Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm
x 1 và x 2 sao cho 1 2
18 7
x x
x x . Bài 3: (2đ) Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n – 41 là hai số chính phương.
Bài 4: (8đ) Tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau
tại H Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại B và đường thẳng vuơng gĩc với AC tại C cắt nhau tại G.
a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC.
b) ∆ABC ∆AEF
c) BDF = CDE
d) H cách đều các cạnh của tam giác DEF
Hết
Trang 2Phòng GD- ĐT Chưprông
Trường THCS Nguyễn Viết Xuân
THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2012 – 2013
Môn: Toán 9
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM
Bài 1: (5đ)
a) (2đ) ĐK: x� 0; x� 1
1
1
1
.
1
x
x
x
x
b)(1,5đ) Ta có: x 7 4 3 = (2 - 3)2 0,25đ
0,25đ
Vậy:
7 4 3 2 3 1
2 3
6 2 3
2 3 3(2 3)
3
2 3
P
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,5đ
Trang 3c) Ta có:
1
1
x x P
x
P
۳
Dấu “=” xảy ra khi: x 1 x 1
x
� 0,25đ
mà x = 1 không thuộc TXĐ 0,25đ
Vậy P > 1 0,25đ
Bài 2: (5đ) Ph¬ng tr×nh x2 2mx m 2 m 6 0:
' m m m 6 m 6
§Ĩ ph¬ng tr×nh x2 2mx m 2 m 6 0 cã hai nghiƯm th× � ' 0: 0,25đ
Tức là: m + 6 � 0
Với điều kiện (1):
1 2 2
1 2
18 7 18 7
2 18
7
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
�
�
0,5đ
vµ x x1 2 � 0
2 2
2
6 18 ( 2 ) 2
6 7
m m m
m m
� �
0,5đ 0,25đ
0,5đ
Trang 40,25ủ 0,25ủ
2
2 2 2 2 2
4 2 2 12 18
2 2 12 18
6 7
6 9
2; 3
6 7
m m
m m
m m
m m
m m
�
�
�
� 7(m 2 + m + 6) = 9(m 2 – m – 6)
0,25ủ
� 2m 2 – 16m – 96 = 0 0,25ủ
m m
'
= 64 � ' 8 0,5ủ
� m 1 = 12 ; m 2 = -4 (thỏa điều kiện (1) và m� 2; m� 3 ) 0,5ủ
Baứi 3: (2ủ)
Để n 18 và n 41 là hai số chính phơng
2
18
n p
� vàn 41 q p q2 , �N 0,25ủ
18 41 59 59
p q p q
�
Nhng 59 là số nguyên tố, nên: ��p q p q 591���q p2930
0.5ủ
18 30 900
Thay vào n 41, ta đợc 2 2
882 41 841 29 q 0,25ủ
Vậy với n 882 thì n 18 và n 41 là hai số chính phơng 0,25ủ
Baứi 4: (8ủ)
a) (2ủ) Ta cú BG AB, CH AB, nờn BG //CH 0,5ủ
M H
G
F
E
B
A
0,25ủ 0,25ủ 0,25ủ 0,25ủ
Trang 5Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song nên nó là hình bình hành 0,5ñ
Do đó hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 0,25ñ
Vậy GH đi qua trung điểm M của BC 0,25ñ b) (2,5ñ) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC 0,25ñ
Xeùt hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng 0,5ñ
Từ đây suy ra AB AE AB AF (1)
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2) 0,5ñ
Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ∆AEF 0,5ñ c) (1,5ñ) Chứng minh tương tự ta được
∆EDC ∆BAC 0,5ñ
suy ra ∆BDF ∆DEC BDF = CDE 0,5ñ
d) (2ñ) Ta có BDF = CDE (c/m treân) 0,25ñ
� 900 – BDF = 900 – CDE 0,25ñ
Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác EFD 0,25ñ
Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF 0,25ñ
Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF 0,25ñ