Su dung bat dang thuc de tinh GTLN, GTNN

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) Giải: Ta có: ( BĐT Côsi) Dấu “ =” xảy ra Vậy Min = tại Bài 2: Cho ba số thực thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: (1) Tương tự, ta có: (2) (3) Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được: Suy ra: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (thỏa điều kiện ban đầu) Vậy tại Cách khác: Từ giả thiết ta có: (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: (2) Từ (1) và (2) ta được: hay Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy Mmax = tại Bài toán tổng quát: Cho thỏa mãn : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lập luận như trên ta được Mmax tại Bài 3: Cho hàm số xác định trên . Tìm giá trị lớn nhất của trên D. Giải: Áp dụng bất thức Côsi ta có: (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được: (4) Nhận thấy (4) xảy ra khi và chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi . Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: (5) (6) Từ (5), (6) đưa đến: (7) Dấu “=” ở (7) xảy ra khi và chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi . Từ (4) và (7) suy ra . Ta lại có . Do đó: max = 3. Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau: với Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy tại Bài 5: Cho ba số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Đặt: Và () Từ đó ta có: ( Bất đẳng thức Côsi) Dấu “=” xảy ra Từ () ta có Vậy với mọi số thực dương thỏa . Bài 6: Cho ba số thực dương thỏa: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có: (1) Và (2) Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền . Giải: Nhận thấy D là miền xác định của . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Do đó: Từ đó suy ra: Mặt khác để dấu “=” xảy ra thì Ta lại có: Vậy Bài 8: Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của với Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: Dấu “=” xảy ra > 0. Vậy tại Bài 9: Cho ba số thức dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Giải: Ta viết biểu thức A lại dưới dạng sau: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: Từ đó suy ra: (BĐT Côsi) Dấu “=” xảy ra Vậy MinA = 6 tại Bài 10: Cho biểu thức sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của P với và Giải: Ta có: (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: (2) (3) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy Pmin = 18 tại Bài 11: Cho n số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , Trong đó: là n số dương cho trước. Giải: Đặt , thì Và . Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy Bài 1: Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy MinP = tại . Bài 2: Cho các hằng số dương và các số dương thay đổi sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Dấu “=” xảy ra (1) Mặt khác: (2) Từ (1) và (2) suy ra: Vậy maxA = Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số , trên miền Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta dược: (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Vì nên: (2) Từ (1) và (2) ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra kết hợp với điều kiện Ta được: Vậy Bài 4: Cho các số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có: (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy số sau: và ta có: (2) Mà , từ (2) suy ra (3) Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có: Từ (3) ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy MinP = Bài 5: Cho hai số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy minM = Bài toán tổng quát: Cho với Thì minP Bài 6: Cho hàm số thực . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của trên miền xác định của nó. Giải: Ta có miền xác định của Mặt khác: lẻ Và Do đó: và Với , ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì: Suy ra: Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy tại tại Bài 7: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy minT = tại . Bài 8: Cho ba số dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: Mà ta lại có: Thật vậy, từ trên ta có: (suy ra từ bất đẳng thức Cosi) Do đó: Dấu “=” xảy ra Vậy minP = 30 tại Bài toán tổng quát: Cho n số dương . Đặt Thì khi 2.3. Sử dụng bất đẳng thức vectơ Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số. Bài 1: Cho hai số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng Giải: Ta có Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn Dấu “=” xảy ra Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được: Vậy minS = tại Bài 2: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy minP = khi Bài 3: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Do đó: Dấu “=” xảy ra Kết hợp với điều kiện ban đầu Suy ra: Vậy khi Bài 4: Cho ba số dương và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn: Áp dụng bất đẳng thức ta có: (1) Nhận thấy: (2) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được: (3) Từ (2) và (3) ta có: Và do (1) nên: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy khi . Bài 5: Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn: Ta có: Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = 10 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a. Có hai trong ba vectơ bằng vectơ b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ Giả sử thì c. Không có vectơ nào bằng vectơ Bài 6: Cho các số dương thỏa . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức Giải: Trong không gian Oxyz chọn: Ta có: Mà: Mặt khác ta có: = 4 Từ đó ta có: Vậy: minF = 16 khi Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy tại Bài 8: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có: Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn: Mà: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy: khi Bài 9: Cho ba số dương thỏa: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Và Mặt khác: Do đó: Mà: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy khi

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

3

2 ( )

f x x

x

  ( x0)

Giải:

Ta có:

3

     � � �� �  ( BĐT Côsi)

3

3x  x x  x

Vậy Min f x  = 55

27 tại x53

Bài 2: Cho ba số thực a,b,c0 thỏa 2

1

1 1

1 1

1











Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M abc

Giải:

1

1 1

1 1

1











a b c  a  b 1c

1 1

1 2 1

1

c

c b

b a c

b

























1 1

1

1 1

1 1 1

1 1 1

1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

 b c

bc c

c b

b











bc



   (1) Tương tự, ta có:

 a c

ac

1

1

(2)

 a b

ab

1

1

(3)

Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:

2 2 2

a b c

1  11  1  81  1  1 

abc

۳

8

M abc � Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 1 1 1

   (thỏa điều kiện ban đầu)

8

Mmax  tại a b c   12

Cách khác:

1b 1  c 1 a 1  c 1 a 1b�2 1 a 1b 1c �2a b c    3 ab bc ac  �2 1 a 1b 1c

۳ 1 2abc ab bc ac   (1)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

3 3 3 4

Từ (1) và (2) ta được: 1 4 2�4 a b c3 3 3 1 8abc hay M 1

8

abc

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1

2

abc ab bc ac   �a b c  

Vậy Mmax = 1

8 tại

1 2

a b c  

Bài toán tổng quát:

Cho a a1, , ,2 a n  thỏa mãn : 0

1

1

n

a

�  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Ma a1 2 a n

Lập luận như trên ta được Mmax 2 tại n 1 2

1

1

n

n



Bài 3: Cho hàm số f x( )      41 x2 41 x 41 x

xác định trên Dx�R : 1 � � Tìm giá trị lớn nhất của ( )x 1 f x trên D.

Giải:

Áp dụng bất thức Côsi ta có:

2

2

4 4 1 1

2

x

41 41 .1 1 1

2

x

Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được:

D

f x �   x x  � (4) Nhận thấy (4) xảy ra khi và chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi x 0

Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

1 1 

2

x

 

1 1

2

x

Từ (5), (6) đưa đến: 1  x 1 x � �2 1   1 x 1 x� (7)3 Dấu “=” ở (7) xảy ra khi và chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi x 0

Từ (4) và (7) suy ra ( ) 3 f x � x� D

Ta lại có f(0) 3, v à 0 D� Do đó: max ( )f x = 3.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau:

( )

1

f x

 

 với 0 x 1

Giải:

f x

1 2

1





Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

2

f x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1

 Vậy min ( ) 4f x  tại 1

2

x

Bài 5: Cho ba số thực dương , ,a b c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c

b c c a a b

Giải:

Đặt: x b c  , y c a  , z a b 

2

a b c   x y z 

�

Và , ,

(*)

Từ đó ta có:

1

12����y x x y�����z x z x�����z y y z��3��

12 2 2 3 32

2    

� ( Bất đẳng thức Côsi)

Dấu “=” xảy ra

� 

�

�

�

� 

�

�

Từ (*) ta có a b c 

Vậy min

3 P

2

 với mọi số thực dương , ,a b c thỏa a b c 

Bài 6: Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa: a b c   Tìm giá trị lớn nhất của1 biểu thức S abc a b b c c a         

Giải:

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có:

Và a b     b c c a�33a b b c c a       

      3

2 3 a b b c c a  

Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được:

3

3

S 729

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1

3

a b c  

Vậy ax

8 S

729

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 1 2 2

2

x

trên miền D R : 1 1

2

��  � � �

Giải:

Nhận thấy D là miền xác định của ( )f x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2

( )

x



�  f x( ) 1x2

Từ đó suy ra: ( ) 1 f x � x�D

Mặt khác để dấu “=” xảy ra thì

2 2

1 1

2

x

�

�  

�

�

� � �

�

Ta lại có: (0) 1f 

Vậy max ( ) 1x�D f x 

Bài 8: Cho hàm số  2

2

1 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của ( )f x với x0

Giải:

2

  �   � � �  ��

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

2 1

x



Dấu “=” xảy ra � x1> 0

Vậy min ( ) 16x0 f x  tại x1

Bài 9: Cho ba số thức dương , ,a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

  �   �     

Giải:

Ta viết biểu thức A lại dưới dạng sau:

1 1 1

�  � �  � �  �     

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

2 , 2 , 2

Từ đó suy ra: A 2a 2b 2c 1 1 1 a b c

a b c

�

Dấu “=” xảy ra � a b c  1

Vậy MinA = 6 tại a b c  1

Bài 10: Cho biểu thức sau:  3 3 3 2 2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của P với a0,b0,c và 0 abc1

Giải:

Ta có:

 �      �

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

3 3 3 3 3 3 6 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 6 3 3 3 3 3 3 6

b  c  c  a  a  b � b c c a a b  (2)

4 2 5 4 2 5 5 2 4 6 4 2 5 4 2 5 5 2 4

a b ab b c bc a c a c

abc

2 2 2 33 2 2 2 3 3

ab bc ca � ab bc ca  abc (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:

Dấu “=” xảy ra �a b c  1

Vậy Pmin = 18 tại a b c  1

Bài 11: Cho n số dương x x x1, , , , 2 3 x n n� thỏa mãn 2 x1  x2 x n 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2

S a a a n

n

Trong đó: a a a1, , , ,2 3 a là n số dương cho trước n

Giải:

Đặt a a   1 a2 a n, i  1, 2, , 

i

a

a

  thì b i 0

Và b1    Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có:b2 b n 1

1 2

n

b

n

� �

� � � �

�

� �

� � � �

� � � � � �

 1 2 

n

�

1

S a a a n a a a n

a



  

  

1

n i 1,2, ,

i n

1

S a a a n

n

a a a a a



Bài 1: Cho , , 3

4

a b c� và a b c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:3

P 4a 3 4b 3 4c 3

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

1 4a 3 1 4b 3 1 4c3 �1 1 1 4  a 3 ab 3 ac3

�3 4 a b c   9

�3 4.3 9   63 �P 4a 3 4b 3 4c3 3 7�

Dấu “=” xảy ra

3 , ,

4

a b c

�

�

�

� Vậy MinP = 3 7 tại a b c   1

Bài 2: Cho các hằng số dương , ,a b c và các số dương , , x y z thay đổi sao cho

1

x    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x y z y z   

Giải:

Ta có: a b c a x b y c z

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

   

2

Dấu “=” xảy ra

b

Mặt khác: a b c 1

Từ (1) và (2) suy ra: x a a b c

Vậy maxA =  2

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x y z( , , )x4y4 ,z4

trên miền D x y z x y z, ,  : , , 0 và xy yz zx  1

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta dược:

1.x 1.y 1.z �3 x y z (1)

Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

Vì xy yz zx   nên:1

 2 2 22

1

x y z � (2)

Từ (1) và (2) ta có:  4 4 4

3 x y z �1 ( , , ) 1

3

f x y z

۳ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra

�

� �  

�

�

kết hợp với điều kiện xy yz zx  1

3

x  y z

Vậy

( , , ) D

1 Max ( , , )

3

x y z f x y z

Bài 4: Cho các số dương , ,a b c thỏa a2   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểub2 c2 1 thức

P

Giải:

Ta có:

P

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy số sau:

a  ab ac b  bc ba c  ca cb ta có:

 

2

2 3 2 3 2 3

a  b c �a   b c ab bc ca  �

Mà a2   , từ (2) suy rab2 c2 1

P

1 5 ab bc ca

�

Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có:

2

2

�

�

�

Từ (3) ta có: P�1 5ab bc ca1  �1 5.1 61 1

3

a b c  

�

Vậy MinP = 1

6

Bài 5: Cho hai số dương ,a b thỏa 0 a 1,0  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểub 1 thức

1 M

a b

Giải:

Ta có:

1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

2

 

� �۳

Dấu “=” xảy ra

1 1

1

� Vậy minM = 5

2

Bài toán tổng quát:

Cho

2

1

n

a

      với 0   a i 1 i 1,n

Thì minP 2n 1

n





Bài 6: Cho hàm số thực  2

( ) 2007 2009

f x x  x Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( )f x trên miền xác định của nó.

Giải:

Ta có miền xác định của ( ) : Df x  �� 2009; 2009��

Mặt khác: f(  x) x2007 2009x2  f x( )� f x( ) là hàmlẻ

Và ( ) 0, f x � x�D ��0; 2009��

Do đó: max ( ) max ( )x�D f x  x�D f x và

min ( ) max ( )

x f x x  f x

Với x� , ta có:D

( ) 2007 2007 1 2009

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì:

2

2007 2007 1 2009 2008 2007 2009

2008 4016

x



� Suy ra: f x( )�x 2008 4016 x2  2008 x24016x2

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

2

Dấu “=” xảy ra

2

2007

1 2009

2008 2007

4016

x x

�

� Vậy max ( ) 2008 2008 x�D f x  tại x 2008

min ( )x�D f x  2008 2008 tại x  2008

Bài 7: Cho , ,x y z  thỏa mãn 0 xy  yz zx  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu1 thức

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

2 2

���    ��

T



�

Dấu “=” xảy ra 1

3

x  y z

�

Vậy minT = 1

2 tại

1 3

x   y z

Bài 8: Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn: a b c   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu1 thức P 2 12 2 1 1 1

 

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:

2

2

 

Mà ta lại có:

1

3 a b c  �ab bc ca  Thật vậy, từ trên ta có:

3

� � (suy ra từ bất đẳng thức Cosi)

Do đó:

P 30

a b c

�   �

۳ Dấu “=” xảy ra 1

3

a b c  

�

Vậy minP = 30 tại 1

3

a b c  

Bài toán tổng quát:

Cho n số dương a a1, , , 2 a n n�2 và  a1  a2 a n 1.

Đặt

   Thì  3 2 2

min P

2

1 n

n

2.3 Sử dụng bất đẳng thức vectơ

Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức

cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số

Bài 1: Cho hai số thực y x, thỏa mãn 2x3y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

2

2 2

3

S x  y

Giải:

Ta có 2 2   2 2

2 3

2 3

S x  y  x  y

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn

6

35 2

9 3

4 2

3 , 3

2





















u

35

6 2

3 2

3 6

35

1 3 2

2 3 2

, 3

2 2 2

2

2 2



























y x y

x v

u y

x v

u

y x v

y x v

y

3 3

2









Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được:

35

9 , 35

4



x

Vậy minS =

35

6 tại

35

9 , 35

4



x

Bài 2: Cho x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 2 2

P x  y z Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

Ta có: u.vu.v  xzxyyzx2 y2 z2

3 1

1 3

2 2 2 3

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2





















































z y x

z y x z y x

yz xy xz z

y x z y x

yz xy xz z

y x

Dấu “=” xảy ra     xyz31

y

z x

y z x

Vậy minP =

3

1 khi

3

1





y z x

Bài 3: Cho a2 b2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Aa 1bb 1a

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

1

























b a v a b

v

b a u b a

u

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1.a1.b 2a2 b2  2

Do đó: v  2  2

2 2 2

1 1

Au va bb a u v  xy  

Dấu “=” xảy ra

a

b b

a









1 1

Kết hợp với điều kiện ban đầu a2 b2 1

Suy ra:

2

2



b a

Vậy Amax  2 2 khi

2

2



b a

Bài 4: Cho ba số dương x ,,y z và xyz 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2 2

2

2 2

P

z

z y

y x



Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:

2

2 1 1

,

x x u x

x













2

1 ,

y y v y

y













2

2 1 1

,

z z w x

z









































z y x z y x w v

Áp dụng bất đẳng thức u  v  w uvw ta có:

2 2

2

2 2

2 2



































z y x z

y x z

z y

y x

Nhận thấy:              



















2 2

80 81

1 1 1

z y x z

y x z

y x z

y x

2 1 1

1



















z y

x (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:

    











































z y x z y x z

y x z

y

81

2 2

2.9.33 33 1 2.81

xyz xyz (3)

Từ (2) và (3) ta có:

2 2





























z y x z

y x

Và do (1) nên:

82 1

1 1

2

2 2



z

z y

y x

x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

3

1





y z x

Vậy Pmin  82 khi

3

1





y z

Bài 5: Cho abc2và axbycz6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

16

P a  ax  b  by  c  cz

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:

16 ,

4

16 ,

4

16 ,

4

2 2

2 2

2 2

















































w v u cz

by ax c b a w v

u

cz c w

cz c w

by b v

by b v

ax a u

ax a u

Ta có: u v  w uvw

16a















Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = 10

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

a Có hai trong ba vectơ bằng vectơ 0

b Có một trong ba vectơ bằng vectơ 0

Giả sử u0 thì w  k v k 0

c Không có vectơ nào bằng vectơ 0

























































































0 , ,

2 3

0 2

0 , 0

0

c b a

c b a

z y x

cz by ax

c b a

m k

mcz by

kby ax

kb a

m cz

by c b

k by

ax b a

Bài 6: Cho các số dương x ,,y z thỏa xy yzzx4 Tìm giá trị bé nhất của biểu thức Fx4 y4 z4

Giải:

Trong không gian Oxyz chọn:

,

2

















v v

z y x u z

y x

u

Ta có: u.vx2 y2 z2

Mà:  2 2 2

.v u v

3 x  y z x  y z

 Mặt khác ta có:

zx x

z

yz z

y

xy y

x

2 2 2

2 2

2 2

2 2













Từ đó ta có:  

3

16 16

4

3x4 y4 z4  2   x4 y4 z4 

Vậy: minF = 16 khi

13

2







y z x

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

10 6 4

2 8

4

A a2  a  a2  abb2   b2 b

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

10 6 1

, 3

4 2

,

8 4 2

, 2

2

2 2























































w v u w

v u

b b w b

w

b a v b

a v

a a u a

u

Ta có: uvw u  v w

2 5 10 6 4

2 8

1 2

2 3

2

































b a a b a

Vậy Amin 5 2 tại a0 ,b 2

Bài 8: Cho aR Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

5 2 13

4

M a2  a  a2 a

Giải:

Ta có: M  22 9  12 4











Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn:

4 1 2

, 1

9 2 3

, 2

2 2







































v u v

u

a v a

v

a u

a u

Mà: u  v uv  a 22 9 a12 4 34

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

5

1



a

Vậy: Mmin  34 khi

5

1



a

Bài 9: Cho ba số dương a ,,b c thỏa: abbcca abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ca

c a bc

b c ab

a

Giải:

Ta có: B 12 22 12 22 12 22

a c c

b b



Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

2 2

2 2

2 2

2 1 2

, 1

2 1 2

, 1

2 1 2

, 1

a c

w a

c w

c b

v c

b v

b a

u b

a u













































































































c b a c

b a w v

Mặt khác:     111 1

c b a abc ca bc ab

Do đó: uvw1, 2 uvw  3

Mà: u  v  w uvw

3 2 1 2

1 2

1

B 2  2  2  2  2  2 



a c c

b b

a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc3

Vậy Bmin  3 khi abc3