Sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình

giải. Dễ nhận thấy rằng phương trình () có hai nghiệm là x = 2005 và x = 2006. Ta chứng minh rằng ngoài hai nghiệm trên thì phương trình không còn nghiệm nào khác. Thật vậy: • Nếu x > 2006 thì phương trình vô nghiệm vì: 2005 − x < −1 nên |2005 − x| 2006 > 1. Do đó |2005 − x| 2006 + |2006 − x| 2005 > 1 ( mâu thuẫn với yêu cầu bài toán) • Nếu x < 2005 thì phương trình vô nghiệm

The art of Mathematics

BTV Phạm Quốc Sang1, Lê Minh Cường2*

Giới thiệu

The art of Mathematics (TAoM) được thành lập dựa trên tinh thần ham học hỏi và sáng tạo các vấn đề của học sinh, giáo viên và những người yêu toán học ở Việt Nam và thế giới Trên tinh thần đó, chúng tôi mong muốn được nhận các bài toán

do chính các bạn sáng tạo hoặc các bài viết ngắn của các bạn về toán

*Corresponding author: phamquocsang1995@gmail.com - cuong11102@gmail.com

Contents

1 Biên tập viên, cộng tác viên và các thành viên tham gia vol.3 2

2 Sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình 4

3 Một vài bất đẳng thức chứa biểu thức a 2+kab+b 2 9

4 Bài toán thử thách vol.3 25

5 Câu đố thú vị: Khung số 4×50 26

Lời cảm ơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn độc giả đã gửi những lời động viên, những lời khuyên chân thành để chúng tôi hoàn thành The art of Mathematics (TAoM).

Đặc biệt, xin cảm ơn đến ngài Dan Sitaru - Quản trị viên của trang " Romania mathematical magazine

- RMM" đã chia sẻ các bài toán của chúng tôi đến các thành viên của đội " RMM team".

Ngoài ra, chúng tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các người bạn Hy Lạp, Romania, Ấn độ, Thái Lan, đến từ các nhóm toán Việt Nam và quốc tế như:

• ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE - RMM

• MATHEMATICAL PROBLEMS

• mathematical inequalities

• PURE INEQUALITIES

• Ham học Toán

• Chuyên Toán THCS

• https://www.facebook.com/groups/119060981470596/ (Greek)

1 Biên tập viên, cộng tác viên và các thành viên tham gia vol.3

Biên tập viên

• Pham Quoc Sang.

Graduate student, University of Pedagogy, Ho Chi Minh City, Viet Nam.

• Le Minh Cuong.

Graduate student, University of Science, Ho Chi Minh City, Viet Nam.

Cộng tác viên

• Nguyen Ngoc Tu.

Teacher at Ha Giang Gifted High School, Ha Giang, Viet Nam.

• Nguyen Viet Hung.

Teacher at HUS High School for Gifted Students - Vietnam National University, Ha Noi, Viet Nam.

• Do Huu Duc Thinh.

Student at Le Hong Phong gifted high school, Ho Chi Minh, Viet Nam.

• Do Quoc Chinh.

Student at Ngo Gia Tu high school, Lap Thach, Vinh Phuc, Viet Nam.

• Pham Huu Hiep.

Graduate student, University of Pedagogy, Ho Chi Minh City, Viet Nam

Các thành viên tham gia vol.3

• Diego Alvariz.

Kolkata, West Bengal, India - Member of the Romania mathematical magazine team, RMM.

• Soumava Chakraborty.

Kolkata, India - Member of the Romania mathematical magazine team, RMM.

• Hoang Le Nhat Tung.

Ha Noi, Viet Nam - Member of the Romania mathematical magazine team, RMM.

Athens, Greece - Member of the Romania mathematical magazine team, RMM

• Nguyen Thanh Nho.

Tra Vinh, Viet Nam - Member of the Romania mathematical magazine team, RMM

• Nguyen Duc Viet.

Lap Thach, Vinh Phuc, Viet Nam - Member of the Romania mathematical magazine team, RMM

• Le Khanh Sy.

Long An, Viet Nam - Member of the Romania mathematical magazine team, RMM

• Nguyen Van Nho.

Teacher at Nguyen Duy Trinh high School, Nghi Loc, Nghe An, Viet Nam

2 Sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình

Phạm Quốc Sang

Bài toán 1 Giải phương trình sau:

|2005−x|2006+|2006−x|2005=1 (∗)

Trích đề thi đề nghị Olympic 30/4 trường THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ năm 2006

Lời giải.Dễ nhận thấy rằng phương trình (*) có hai nghiệm là x=2005 và x=2006

Ta chứng minh rằng ngoài hai nghiệm trên thì phương trình không còn nghiệm nào khác.Thật vậy:

• Nếu x>2006 thì phương trình vô nghiệm vì:

2005−x< −1 nên|2005−x|2006>1

Do đó|2005−x|2006+|2006−x|2005>1 ( mâu thuẫn với yêu cầu bài toán)

• Nếu x<2005 thì phương trình vô nghiệm vì:

Từ đó suy ra|2005−x|2006+|2006−x|2005<1 (mâu thuẫn với yêu cầu bài toán)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={2005; 2006}

Bài toán 2 Giải phương trình sau:

x4+2006x3+1006009x2+x−√2x+2007+1004=0 (∗)

Trích đề thi đề nghị Olympic 30/4 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam năm 2006

Lời giải.ĐKXĐ: x> −2007

2Phương trình (*) tương đương với:

x2x2+2x.1003+10032+ 1

2

2x+2007−2√2x+2007+1=0

So sánh với ĐKXĐ và thử lại ta suy ra tập nghiệm của phương trình là S={−1003}

Bài toán 3 Giải phương trình sau:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm ta có:

Thử lại ta thấy x=3 thỏa phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={3

Cách 2:(Sử dụng phương pháp lượng liên hợp kết hợp phương pháp đánh giá)

Dễ thấy phương trình (**) có nghiệm x=3

Ta chứng minh rằng phương trình (**) không có nghiệm nào khác x=3 Thật vậy:

• Nếu x<3 thì VT (**)<1<VP (**)

• Nếu x>3 thì VT (**)>1>VP (**)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={3

Cách 3:(Phương pháp đặt ẩn phụ kết hợp phương pháp đánh giá)

Phương trình (*) tương đương với:

Thử lại ta thấy x=3 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={3

Bài toán 4 Giải phương trình sau:

52

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=

(

1+√

52)

Cách 2:(Biến đổi tương đương đưa về tổng bình phương)

1− 1

x −

r1

x =0Kết hợp với ĐKXĐ ta giải ra được x= 1+√

52Vậy tập nghiệm của phương trình là S=

(

1+√

52)

√

x−1Kết hợp với ĐKXĐ ta giải ra được x= 1+√

52Vậy tập nghiệm của phương trình là S=n1+

√

5 2

x−1

x (t>0)Khi đó phương trình (*) trở thành:

t2+1=2t

Giải ra ta được x=1+√

52Vậy tập nghiệm của phương trình là S=

(

1+√

52)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:

x2−8x+816+√

x2+10x+267Mặt khác ta có:−→a +−→

b =9; 31√2⇒

−→a +−→b

=√

2003Lại có: −→

a

−→

b >

−→

a +−→

b

Sử dụng điều kiện bằng của đẳng thức để tìm nghiệm của bài toán

3 Một vài bất đẳng thức chứa biểu thức a2 + kab + b2

Bài toán 1 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc Chứng minh rằng

a+b

a2+ab+b2 + b+c

b2+bc+c2 + c+a

c2+ca+a2 62

Đề xuất bởi Pham Quoc Sang

Lời giải của Le Minh Cuong



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài toán 2 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng



a2+b2+c2≥ 7

√

34

Đề xuất bởi Le Minh Cuong

Lời giải 1 của Christos Eythymioy



9−2x2≥ 7

√

34Điều này tương đương với

(x−√3)2 x+

√

32

!

≥0, Đúng!!

Lời giải 3 của Soumava Chakraborty

y2p3y(x+2y) +

Bài toán 3 Cho a, b, c là các số thực dương và k≥2 Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Pham Quoc Sang

Lời giải 1 của Le Minh Cuong

Lời giải 2 của Soumava Chakraborty

⇔ (k−2)∑a3+4∑a3+6(k−2)abc+24abc+3(k−2)p+12p>9p+27(k−2)abc+54abc

⇔ (k−2)∑a3+6abc+3p+4∑a3+24abc+3p>27(k−2)abc+54abc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Lời giải 3 của Diego Alvariz

Đặt p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc Vì vậy pq≥9r

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài toán 4 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng

Lời giải 1 của Le Minh Cuong

√

3.Bài toán 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng

1+b+c

(a+b+ab)2 + 1+c+a

(b+c+bc)2 + 1+a+b

(c+a+ca)2 ≥1

Đề xuất bởi Le Minh Cuong

Lời giải của Sanong Huayrerai

Ta cần chứng minh rằng

(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) ≥ (a+b+ab)(b+c+bc)(c+a+ca)

Give x=a+b, y=b+c, z=c+a Do đó

(x+1)(y+1)(z+1) ≥ (x+ab)(y+bc)(z+ca)

Điều này tương đương với

x+y+z+xy+yz+xz+xyz+1≥xabc2+ya2bc+zab2c+xyca+yzab+xzbc+xyz+ (abc)2

Đề xuất bởi Le Minh Cuong

Lời giải 1 của Sarah El

23

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài toán 7 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Vasile Cirtoaje

Lời giải của Proposer

Bài toán 8 Cho k và a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2k2≤2k+1 Chứng minh rằng

a

ka+b

2

+

b

kb+c

2

+

c

kc+a

2

(k+1)2

Đề xuất bởi Le Minh Cuong

Lời giải của Hoang Le Nhat Tung

Cho k và a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2k2≤2k+1 Chứng minh rằng

a

ka+b

2

+

b

kb+c

2

+

c

Bài toán 9 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=3 Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Pham Quoc Sang - Le Minh Cuong

Lời giải 1 của Christos Eythymioy

(b+2c) (2b+c) +

c2+ca+1p

Lời giải 2 của Nguyen Thanh Nho

Bài toán 10 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn(a+b)(b+c)(c+a) =8 Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Pham Quoc Sang

Lời giải 1 của Diego Alvariz

Bất đẳng thức tương đương với

∑(a2+ab+b2) (1ab+bc+ca) > 1

a+b+cMặt khác, ta có

∑(a+4b)2 >a+b+c

Lời giải 2 của Do Huu Duc Thinh và Nguyen Viet Hung

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài toán 11 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=3 Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Le Minh Cuong

Lời giải 1 của Nguyen Duc Viet

Đề xuất bởi Nguyen Van Nho

Lời giải 1 của Le Khanh Sy

∑a2+∑ab>2

9 ∑a
2

Bài toán 13.— Generality of Pro.11 Cho a, b, c, m, k là các số thực dương thỏa mãn m≥2k Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Le Minh Cuong

Bài toán 14 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Nguyen Ngoc Tu

Bài toán 15 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Pham Quoc Sang

Bài toán 16 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

12c2+ab

Đề xuất bởi Vasile Cirtoaje

Bài toán 17 Nếu a, b, c là các số thực dương thì

4 Bài toán thử thách vol.3

Ở phần này, bạn đọc tham gia giải quyết các thử thách đọc kỹ hướng dẫn sau đây:

• Nội dung: Bạn đọc giải bài và chụp thành ảnh (khuyến khích nên đánh máy rõ ràng, nếu gõ

bằng ngôn ngữ latex thì gửi kèm theo code)

• Hình thức: Gửi inbox về Page hoăc qua admin Phạm Quốc Sang & Lê Minh Cường,

hoặc gửi trực tiếp về email:TAoMathematics@gmail.com

Đề xuất bởi Đỗ Hữu Đức Thịnh

Thử thách 2 Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng

Đề xuất bởi Lê Minh Cường

Thử thách 3 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

a2p

(a2+ab+b2) (a2+ac+c2)+

b2p

(b2+bc+c2) (b2+ba+a2)+

c2p

s

c2+a2

1c

s

a2+b22

Đề xuất bởi Nguyễn Việt Hùng

Thử thách 5 Cho a1, a2, , an là các số thực dương, n là số nguyên dương lớn hơn 1 Chứng minh

Thử thách 6 Nếu x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3 thì

27+6xyz+5

x

−→

a +−→

b 

Sử dụng điều kiện đẳng thức để tìm nghiệm tốn

3 Một vài bất đẳng thức chứa biểu thức a2 + kab... class="page_container" data-page="13">

Đẳng thức xảy a=b=c.

Lời giải Diego Alvariz

Đặt p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc Vì pq≥9r

Đẳng thức xảy a=b=c

Bài toán Cho... Chứng minh rằng

Đề xuất Pham Quoc Sang

Lời giải Diego Alvariz

Bất đẳng thức tương đương với

∑(a2+ab+b2)