CHUYÊN đề một số kỹ THUẬT sử DỤNG bất ĐẲNG THỨC CAUCHY

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYTác giả chuyên đề: Phùng Văn Long Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường Một trong những bộ phận rất quan trọn

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường

Một trong những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh giỏi là phânmôn Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Nhưng đây cũng là phần rấtkhó của bộ môn Toán

Bất đẳng thức là một vấn đề cổ điển của toán học sơ cấp nhưng ngày càngđược quan tâm và phát triển, đây cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất,

vì thế luôn cuốn hút rất nhiều sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi, họcsinh có năng khiếu học toán Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trongtoán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán hay và khó, thậm chí là rất khó Tuy nhiên cáikhó ở đây không nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà ở yêu cầu óc quan sát, linhcảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào của người học, vì thế người học luôn có thể giảiđược bằng những kiến thức rất cơ bản và việc hoàn thành được những chứng minh nhưvậy là một niềm vui thực sự

Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thì bài toán bất đẳng thức, giátrị nhỏ nhất, lớn nhất là một bài toán có khả năng rèn luyện cho học sinh óc phán đoán

và tư duy logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn khi giải quyết dạng toán này

Đối với học sinh trung học cơ sở, việc chứng minh một bất đẳng thức thường córất ít công cụ, học sinh chủ yếu sử dụng định nghĩa hoặc bất đẳng thức Cauchy đểchứng minh Tuy nhiên việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bàitoán khác trong đa số các trường hợp yêu cầu học sinh phải biết cách biến đổi mộtcách hợp lý, thậm chí là phải rất tinh tế

II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

1 Bất đẳng thức Cauchy

a Cho hai số thực không âm a,b Khi đó ta có: ab ab

2 Dấu “=” xảy ra khi a=b

b (Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1,a2, ,a n.Khi đó ta có:

1 2

a a

a k k

a a a

a

k k

k (2)Dấu “=” trong (2) xảy ra (theo giả thiết quy nạp) khi a1 a2  a k

k k k

k

k k

k

k a

a a

.

1 1

1

1 2 1

1 (4)

Dễ dàng thấy rằng:   k k k k k k    k k 

k k

k k

1 1

a a a



2 Ví dụ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y

Chứng minh tương tự, ta được:

 (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 z x  )

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z  1

Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z  1

Chú ý: Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy như ví

dụ trên mà thường phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng

cộng thêm các số hạng thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi biến đổi, talưu ý một số nhận xét sau:

Nhận xét 1 Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.

Ví dụ 2 Với các số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:

a b c ab bc ca

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất

đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm Chẳng hạn, số hạng ab2 sẽ ứng với bộ ba số

3, ,3 3

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

3 3 3

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

222

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không

chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳngthức Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc của số hạng thêm vào cũng là hai

Chẳng hạn, số hạng

3

a

b có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử

b Bậc của số hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab.

3

2 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 5 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

a b c

bc ca ab   

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải không

chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳngthức Bậc của số hạng cần mô tả là một, nên bậc của các số hạng thêm vào cũng làmột

3

33

ca c

Nhận xét 3 Khi bậc không bằng nhau thì số hạng cộng thêm có thể là hằng số.

Ví dụ 6 Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca   1, chứng minhrằng:

3

a b c 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c  thay vào điều kiện ta tính được 1

3

a b c  

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa

biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh

Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số hạng

31

31

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được: ab1 bc1 ca1 34

Cho a b c  thay vào điều kiện ta tính được a b c   2

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa

biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c  thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh,

Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa

nhân tử b b c,  Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng ,

2 4

b bc

và sử dụng bất đẳng thức

Cauchy với n = 3:

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 9 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

29

Phân tích: Cho a b c  thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng

minh, chẳng hạn số hạng

3 2

Mặt khác, số hạng này lại có mẫu

chứa nhân tử b2c Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng 2 , 2

2

27 2

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2

2

27 2

(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3c a 2b)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

ab    (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c  )

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

2 2

 

3 2

Do đó, ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy y z z x x  y z a b c 

Ví dụ 14 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Chia cả hai vế cho bc 0, ta được:

Bất đẳng thức trên đó được chứng minh ở Ví dụ 6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z a 1 1

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 16 Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

Nhận xét 8 Khi biến đổi ta điều chỉnh các hệ số sao cho khử được hết các số hạng

không có mặt trong bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 17 Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

a b b

a b b

c b c c

a c c

a a

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

3 2

2

3 2

2

a ac c

c c

bc b

b b

ab a

b ab a

b ab

Dấu “=” xảy ra  a=b

Do đó, ta có:

3

2

2 2

b ab a





 (1)Tương tự, ta có:

3

2

2 2

c bc b

a ac c

2 3

2 3

2

2 2

3 2

2

3 2

2

a ac c

c c

bc b

b b

Dấu “=” xảy ra  a=b=c

Nhận xét: Bất đẳng thức trên được chứng minh rất gọn và hay nhưng có vẻ

không “tự nhiên” khi tác giả đưa ra bất đẳng thức riêng

3

2

2 2

b ab a

3.1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Ví dụ 27: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3.

Chứng minh rằng:

2

3 1

b b

a

Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số thì ta có:

2

3

2

1 2 2 2 1

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b

b

a

? Như vậy ta sẽ được một bất đẳng thức đổi chiều, và do đó ta không có được điều phảichứng minh

Tuy nhiên, thử biến đổi một chút biểu thức đã cho ta thấy:

thức cùng chiều Làm tương tự cho các biểu thức còn lại rồi cộng chúng lại ta đượcđiều phải chứng minh

Lời giải:

c c

Từ đó suy ra

2

3 2

3 3 1

b b a

Nhận xét: Như vậy ta thấy rằng qua một phép biến đổi ta đã đưa biểu thức mà ta

muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểuthức mang dấu âm, từ đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà vẫnđược các bất đẳng thức cùng chiều Đó chính là kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Ví dụ 19: Chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có:

2

2 2

3 2 2

3 2 2

a c

c c b

b b a

2 2

2

2 2

2

a ab

ab a b a

ab a b

2 2

2

2 2

2

b bc

bc b c b

bc b c b

2 2

2

2 2

2

c ac

ca c a c

ca c a c

Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được :

2 2

2 2

3 2 2

3 2

2

c b a a c

c c b

b b

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Từ bài toán Ví dụ 6 và Ví dụ 7 ta có các bài toán tương tự sau:

Ví dụ 20: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4 Chứng minh rằng:

2 1

1 1

c c

b b a

.

Ví dụ 21:Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3 Chứng minh rằng:

3 1

1 1

1 1

1

2 2

b b

a

.

Ví dụ 22: Cho a,b,c,d là các số dương có tổng bằng 4 Chứng minh rằng:

4 1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

c c

b b

a

Ví dụ 23: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4 Chứng minh rằng:

2 1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

3 2 2

3 2 2

3 2 2

a d

d d c

c c b

b b a

2 2

4 3

3

4 3

3

4 3

3

a d

d d

c

c c

b

b b

2 2

2 2

b

b b

a a

Ví dụ 27: Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:

1 2 2

2 3

2 3

b b

a

a

Hướng dẫn

3 6

3 3

3 3

2

3

2

3

2 2

2

ab a

b a

ab a

3 2

2

3 2

2

a ac c

c c

bc b

b b

2 2

2

2

a ab

b a ab a b ab a

b a ab a b

b ab a





 mà tác giả Nguyễn Đức Tấn đã

3.2 KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 3.2.1 Điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.

Ví dụ 28 : Cho a 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S aa1

 Nguyên nhân sai lầm: Min S=2  1  a 1

a

a mâu thuẫn với giả thiết a 3

Tìm lời giải đúng:

Vì bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu “=” tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,

nên thay cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a,a1 ta sẽ áp dụng bất

đẳng thức Cauchy cho cặp số a ,a1

 Khi đó để bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu “=”

 Mặt khác ta nhận thấy min S đạt được khi a=3(trong điều kiện a  3 ).Do

đó ta có sơ đồ điểm rơi ứng với a=3

9

3313

11

.Từ đó ta có lời giải đúng sau:

Lời giải đúng:

Ta có

3

10 9

3 8 1 9 2 9

8 1 9

a

a a a

Phân tích:

Ta dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức đã cho xảy ra khi 1

1

a

b a

a =3

Với a=b=1 ta có sơ đồ điểm rơi:

122

11

b a

3 1 4

2 3 1 4 2 4

3 1 4

b a b

a b a

b a b a b

a

1

a

b a

c b

với giả thiết a2 b2 c2  1

Tìm lời giải đúng:

Vì dấu “=” xảy ra khi

313

b a

Lời giải đúng:

Ta có:

3 4 3

8 3 4 3

9

8 9

1 4 9

8 9

1 1

3

2 2 2

c b a abc

abc c b a abc

3.2.2 Điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Ví dụ 31: Cho a,b,c 0và abc 1.Tìm giá trị lớn nhất của

3 3

1 3

Tương tự: 3 32



 b c c

b và 3 32



 c a a

c

Từ đó suy ra:  

3

8 max 3

8 3

6 2

c b

b a

mâu thuẫn với giả

thiết abc 1

Tìm lời giải đúng:

Vì S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên MaxS đạt tại: 1   13

b a

c b a

Lời giải đúng:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  

3 3

4

4

9 3

2 3

2

4

9

3 3

3 3

a b

a

3 3

4

4

9 3

2 3

2

4

9

3 3

3 3

b c

b

 

3 3

4

4

9 3

2 3

2

4

3 3

a c

a

3

4

2 4

Phân tích: Do vế trái của biểu thức cần chứng minh là một biểu thức đối xứng với

a,b,c nên dấu “=” xảy ra khi abc31 Khi đó ta có: abbcca32

Lời giải:

2 3

2

2

3 3

2

a b

a

2 3

2

2

3 3

2

b c

b

 

2 3

2

2

3 3

2

c a

c

2

2

2 2

3.3 KỸ THUẬT ĐỒNG BẬC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

2 2 2

b b a

b

a Cosi

2 2 2 2

b

a Cosi

2 2 2 2

c

b Cosi

2 2 2 2

a

c Cosi

2

b b b

a

2 2 2 2

2 2

.Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Ví dụ 34: Cho a,b,c  0 và a2 b2 c2  1 Chứng minh rằng:

3

1 2 2

2

3 3

3 2

2

2

2 2 2 3 3

b a

c a

9

a c b a c b

a c

b a c b

2

9 2 2 2

9

b a c b a c

b a

c b a c

9

c b a c b a

c b

a c b a

b a

c a c

2

Do a2 b2 c2 abbcac.Suy ra: 3 3 3 3 2 2 2

2 2

2

b a

c a c

b c b

2 2

2

2 2 2 3

c a

Dấu “=” xảy ra khi abc 13

Một số ví dụ có cách giải tương tự

Ví dụ 35: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

a)

2

2 2

b a

c a

b b

a a

Ví dụ 36: Cho 0 a 23.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Aaa9

Ví dụ 37: Cho a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12

a a

Ví dụ 38: Cho a, b 0 và ab 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ab ab

2 2

2

2 2

a

c c

b b a

S     

III KẾT LUẬN

Như vậy, ngoài việc áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy thì một số lượnglớn các bài toán cần phải áp dụng bất đẳng thức dưới những biến dạng và những kỹthuật khác nhau Các kỹ thuật này đã làm cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy trởlên phong phú và đa dạng hơn nhiều Nó cũng giúp giải quyết các bài toán một cáchnhanh chóng và hiệu quả hơn

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchymặc dù lượng kiến thức phải sử dụng là không nhiều song lại yêu cầu óc quan sát, linhcảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào để có những nhận dạng một cách chính xác và cónhững biến đổi hợp lý trước khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Với cùng một bài học nhưng mỗi giáo viên có một phương pháp tiếp cận,mộtphương pháp giảng dạy khác nhau điều đó tùy thuộc vào mức độ nhận thức của họcsinh Với cùng một chuyên đề nhưng khi trình độ của học sinh không giống nhau thìphương pháp giảng dạy cũng không thể như nhau.Vì vậy người giáo viên càn phải tìmđược một phương pháp dạy, một cách tiếp cận vấn đề sao cho phù hợp với đối tượnghọc sinh của mình nhất

Trên đây là một chuyên đề nhỏ mà bản thân tôi thấy rất càn thiết trongquá trình bồi dưỡng học sinh giỏi,hy vọng chuyên đề này sẽ góp phần nang cao chấtlượng học sinh giỏi của bản thân tôi và các bạn đồng nghiệp trong thời gian tới Rấtmong sự đóng góp ý kiến của cá đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh tường, ngày 01 tháng 3 năm 2014

Người viết

Phùng Văn Long

IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO.

[1] Trần Phương

“Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học.”NXB Tri Thức-Năm 2009

[2].Nguyễn Đức Tấn

“Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số”-NXB Giáo Dục-Năm 2003

[3].Nguyễn Đễ-Nguyễn Hoàng Lâm

“Các bài toán bất đẳng thức hay và khó”-NXB Giáo Dục-Năm 2001

“10.000 bài toán sơ cấp- bất dẳng thức”-NXB Hà Nội-Năm 2001

[8].Phan Huy Khải

“Chuyên đề bất đẳng thức chọn lọc cho học sinh phổ thông cơ sở”- NXB Giáo 1998

dục-[9].Nguyễn Văn Quí-Nguyễn Tiến Dũng-Nguyễn Việt Hà

“Các dạng Toán về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấ ”-NXB Đà Nẵng-1998

[10].Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu

“Old and New Inequality”- Gil publishing House

[11] Old and new inequaliti.-internet