Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I.. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB.. Trong m
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ LỚP 9 – HỌC KÌ I
I/ LÝ THUYẾT CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
1 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A
2 Liên hệ giữa phép nhân (chia) và phép khai phương
3 Các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai
4 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
II/ BÀI TẬP
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) ( 3 2 12 2 4)( 27 144 2 16) b) (2 5 2 3) 2 4 60
c) 6(3 12 4 3 48 5 6) d) 2 3 ( 6 2)( 2 3)
Bài 2: Giải phương trình :
3
2
x x x
Bài 3: Cho biểu thức: 2 2
A
a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 3 c) Tìm x Z để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 4: Cho biểu thức: 2 3 1 1 3
1
a) Rút gọn B b) Tìm x để B = 3
9
C
x
a) Rút gọn C b) Tìm x sao cho C 1
Bài 6: Cho biểu thức: 1 1
1
x D
x
a) Rút gọn D b) Tính giá trị của D với x = 4
9 c) Tính giá trị của x để D 1
3
III/ LÝ THUYẾT CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT
1 Hàm số bậc nhất
2 Đồ thị của hàm số y = ax + b
3 Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
4 Hệ số gĩc của đường thẳng y = ax + b
IV/ BÀI TẬP
Bài 1: Cho đường thẳng: y = (k -1)x + 1 Tìm k để đường thẳng:
a) Đi qua A(–2; 3)
b) song song với đường thẳng y = –3x + 2
Bài 2: a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1) và B(1;2)
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = mx + 1 đi qua giao điểm của hai đường thẳng
x = 1 và y = 2x + 1
Trang 2Bài 3: Cho đường thẳng: x–y–1 = 0 (d) và điểm B(–1; –2).
a) Điểm B có thuộc đường thẳng (d) không?
b) Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua B và vuông góc với (d)
c) Vẽ (d) và (d’) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy
Bài 4:Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị các hàm số: y = x+1 và y = –2x+4 Tìm tọa độ
giao điểm của chúng
Bài 5: Cho hai hàm số bậc nhất: y = kx + m–2 và y = (3–k)x +5 – m Với điều kiện nào của k và
m thì đồ thị của hai hàm số trên:
a) song song với nhau
b) trùng nhau
c) Cắt nhau tại trục tung
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 – KÌ I
I/ LÝ THUYẾT CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG
1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuơng
2 Tỉ số lượng giác của gĩc nhọn
3 Một số hệ thức về cạnh và gĩc trong tam giác vuơng
II/ BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC vuông tại A, đ/cao AH Cho AH = 16cm, BH =25 cm Tính AB, AC, BC, CH? Bài 2: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng BH và
CH có độ dài lần lượt là 4 cm và 9 cm Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AE và AC a) Tính DE
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC ở M và N Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH
c) Tính diện tích tứ giác DENM
III/ LÝ THUYẾT CHƯƠNG II: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN.
1/ Cách xác định đường trịn
2/ Tính chất đối xứng của đường trịn
3/ Tính chất tiếp tuyến của đường trịn
4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn, của hai đường trịn
IV/ BÀI TẬP.
Bài 1 Cho đường tròn (O ; R), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a Tứ giác OCAD là hình gì ? Vì sao ?
b Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I Tính CI
Bài 2 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Qu điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp
tuyến d của đường tròn Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng:
a CE = CF b AC là tia phân giác của BÂE c CH2 = AE BF
Trang 3Bài 3 Cho đường tròn (O ; R) có đường kính AB và hai tiếp tuyến Ax, By Một tiếp tuyến khác
tại điểm M cắt Ax ở C và cắt By ở D
a Chứng minh: CD = AC + BD
b Chứng minh: COD vuông
c Chứng minh: AB2 = 4AC BD
d AM cắt OC tại I, BM cắt OD tại K Tứ giác OIMK là hình gì ?
Tìm vị trí của M để OIMK là hình vuông
Bài 4 Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với
đường tròn (M, N là hai tiếp điểm)
a Chứng minh: OA MN
b Vẽ đường kính NOC Chứng minh: MC // AO
c Tính độ dài các cạnh của AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm
Bài 5 Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax,
By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi D là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến tại D cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N
a Tứ giác AMNB là hình gì ? Vì sao ?
b Tính số đo góc MÔN
c Chứng minh: MN = AM + BN
d Chứng minh: AM BN = R2
e Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O
g Tìm vị trí của D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất
Bài 6. Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A Vẽ hai đường kính AOB và AO’C Gọi DE là
tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D(O), E(O’) Gọi M là g/ điểm của BD và CE
a Tính DÂE b Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ?
c Chứng minh: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Bài 7. Cho ABC vuông tại A Vẽ các đường tròn (O) và (I) đi qua A và tiếp xúc với BC tại
các điểm B và C Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh:
a Các đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau
b AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (I)
c OMI vuông
d BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OMI
………
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÌNH KÌ I – LỚP 9
Trang 4I/ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG
C H
B
A
1./ AB2 = BH.BC ; AC2 = CH BC 2/ AB2 +AC2 = BC2
3/ AH2 = HB HC 4/ AH BC = AB AC
5/ 12 12 12
AH AB AC
II/ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUƠNG
sin C = AB
BC; cos C =AC
BC ; tanC =
AB
AC ; cotC =
CA BA
sin B = cos C; sin C = cos B; tan B = cotC; tan C = cotB
Trong một tam giác vuơng
* Hai gĩc phụ nhau thì sin gĩc này bằng cos gĩc kia hoặc tan gĩc này bằng cot gĩc kia
* Cạnh gĩc vuơng bằng cạnh huyền nhân với sin gĩc đối hoặc nhân với cos gĩc kề
* Cạnh gĩc vuơng này bằng cạnh gĩc vuơng kia nhân với tan gĩc đối hoặc cot gĩc kề
Đường kính và dây cung của đường tròn
1 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính Từ đó suy ra nếu AB là một dây cung bất kì của (O ; R) thì AB 2B B
2B a Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
b Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
1 Trong một đường tròn: a Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
2B Trong hai dây của một đường tròn:
a Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn b Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
1 Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng cách O một khoảng d.
d > R a và (O) không có điểm chung
d = R a và (O) tiếp xúc nhau (có một điểm chung)
d < R a và (O) cắt nhau (có hai điểm chung)
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
* ĐN: Tiếp tuyến của đường trịn là đường thẳng chỉ cĩ một điểm chung với đường trịn đĩ.
* T/C Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường trịn thì nĩ vuơng gĩc với bán kính đi qua tiếp điểm.
* Dấu hiệu: Nếu một đường thẳng đi qua một tiếp điểm của đường trịn và vuơng gĩc với bán kính đi qua điểm đĩ thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của một đường trịn.
* Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
a Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
b Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
c Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm
Trang 5Bài 10: Cho đường tròn tâm (O) và điểm A nằm trên đường tròn đó Vẽ đường tròn tâm (I) đi
qua O và tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Qua A vẽ tiếp tuyến chung xy với hai đường tròn Dây AC của đường tròn (O) cắt (I) tại M Tia CO cắt (I) tại N Đường thẳng OM cắt xy và tia AN lần lượt tại B và D Chứng minh:
a) MA = MC b) BC là tiếp tuyến của (O) c) ABCD là hình thoi
Bài 11: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc với AB Trên
cung BC lấy điểm M Nối AM cắt OC ở E
a) Chứng minh 4 điểm O, E, M, B cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi H là trực tâm của tam giác OME Chứng minh: AOMH là hình thoi
c) Các tia BM và OC cắt nhau ở F Các tia BE và AF cắt nhau ở K Chứng minh: H, K, M thẳng hàng
Bài 12B : Cho hai đường tròn (O; R) và (O’,r) tiếp xúc ngoài tại C (R > r) Gọi AC và BC là hai
đường kính đi qua C của hai đường tròn trên Qua M là trung điểm của AB kẻ dây cung DE vuông góc với AB Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với (O’)
a) Tứ giác AEBD là hình gì? b) C/m : B, E, F thẳng hàng
c) C/m: 4 điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn
d) DB cắt đường tròn (O’) tại G C/m: DF, EG, AB đồng quy
e) C/m: MF là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chưa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt
AC tài F
a) C/m tứ giác AFHE là hình chữ nhật b) C/m: AE.AB = AF.AC
c) C/m: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
Bài 14: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD và BE cắt nhau tại H Gọi O là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE
a) C/m: ED = 1/2 BC b) C/m: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Trang 6c) Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, HA = 6 cm.
Bài 15: Trên đường trịn (O; 3cm) đường kính EF lấy điểm A sao cho AE < AF Tiếp tuyến với
đường trịn tại A cắt đường thẳng EF tại S Vẽ dây AB vuơng gĩc với EF tại H
Biết SO = 5cm
a) Tính độ dài SA, OH b) Tính độ dài AB
c) Chứng minh E là tâm đường trịn nội tiếp trong tam giác ASB
Bài 16 Cho tam giác ABC vuơng tại A, BC = 5, AB = 2AC.
a) Tính AC
b) Từ A hạ đường cao AH, trên tia AH lấy một điểm I sao cho AI = 1
3AH Từ C kẻ đường thẳng Cx song song với AH Gọi giao điểm của BI với Cx là D Tính diện tích của tứ giác AHCD
c) Vẽ hai đường trịn (B; AB) và (C; AC) Gọi giao điểm khác A của hai đường trịn này là E Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường trịn (B)
Bài 17: Cho tam giác ABC cĩ ba cạnh là AC = 3, AB = 4, BC = 5.
a) Tính sin B b) Đường phân giác trong của gĩc A cắt BC tại D Tính độ dài BD, CD.
c) Tính bán kính của đường trịn (O) nội tiếp tam giác ABC.
Bài 18: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ nửa đường tròn tâm O’ đường kính OA
trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn (O) Vẽ cát tuyến AC của (O) cắt (O’) tại điểm thứ hai là D
a) Chứng minh: DA = DC
b) Vẽ tiếp tuyến Dx với (O’) và tiếp tuyến Cy với (O) Chứng minh: Dx//Cy
c) Từ C hạ CH AB, cho OH = 1/ 3OB CMR khi đó BD là tiếp tuyến của (O’)
Bài 19: Cho đường tròn (O,R) đường kính AB = 5cm Trên AB lấy điểm H sao cho AH = 1cm
Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H Gọi E là điểm đối xứng với A qua H
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thoi
b) Gọi I là giao điểm của DE và BC Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính EB CMR đường tròn này đi qua I
c) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) d) Tính độ dài HI
Bài 2B 0: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB Vẽ bán kính OE bất kì Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D
a) CMR: CD = AC + BD b) Tính số đo góc COD
c) Gọi I là giao điểm của OC và AE, gọi K là giao điểm của OD và BE Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao?
d) Xác định vị trí của bán kính OE để tứ giác EIOK là hình vuông?
Bài 2B 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn
đó (M khác A và B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H.Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến
AC và BD với đường tròn (M)
a) C/m: AC + BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn (O)
b) C/m 3 điểm C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm M Khi đó tính tích AC.BD theo CD
c) Giả sử CD cắt AB ở K C/m: OA2 = OB2 = OH.OK
Bài 2B 2B : Cho đường tròn (O), đường kính BC Trên tiếp tuyến với đường tròn này tại điểm B lấy
điểm M sao cho BM > R Từ M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (O)
Trang 7a) Chứng minh: CA // OM.
b) Đường vuông góc với BC kẻ từ O cắt tia CA tại D C/M tứ giác OCDM là hình bình hành c) Biết MD cắt OA tại I Chứng minh MIO cân
d) Biết MA cắt OD tại H, MO cắt BD tại K Chứng minh: K, H, I thẳng hàng
Bài 2B 3: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài tại B (R < R’) Đường thẳng OO’
cắt (O) tại A và cắt (O’) tại C Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (với M (O), N (O’))
a) Chứng minh: MBN 900 b) AM cắt CN tại K Chứng minh tứ giác BMKN là hình chữ nhật c) Chứng minh: KM.KA = KN.KC d) Gọi I là trung điểm của AC Chứng minh: MN KI
Bài 2B 4: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Từ một điểm M trong nửa đường tròn đó (M
AB) ta kẻ đường vuông góc với AB tại điểm H (H khác A, B và O) Kéo dài AM, BM cắt nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D Gọi I là giao điểm của AD và BC
a) Chứng minh: 4 điểm D, I, C, M cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm K của đường tròn này
b) Chứng minh 3 điểm I, M và H thẳng hàng
c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (K) nói trên (câu a)
Bài 2B 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy
điểm D sao cho HD = HB Vẽ CE vuông góc với đường thẳng AD (E AD)
a) Chứng minh 4 điểm A, H, E, C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn này
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của (O) c) Chứng minh ACB ECB
d) Cho biết AC = 6cm, số đo ACB 300 Tính diện tích các tam giác ABC và AEC
