chuyên đề một số DẠNG TOÁN HÌNH học tổ hợp TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG học cơ sở bài 1

Các phương pháp giải toán Hình học tổ hợp thường dùng như Phản chứng, Nguyên lí Đirichlê, Quy nạp, Nguyên lí cực hạn, Tạo đa giác bao, Tô màu, Đồ thị….. Chỗ khó và cũng là thế mạnh của H

MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP TRONG

CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ

Lời nói đầu

Hình học tổ hợp là một dạng toán khó trong chương trình bồi dưỡng HSG Toán THCS Các phương pháp giải toán Hình học tổ hợp thường dùng như Phản chứng, Nguyên lí Đirichlê, Quy nạp, Nguyên lí cực hạn, Tạo đa giác bao, Tô màu, Đồ thị… các bài toán Hình học tổ hợp không đòi hỏi nhiều về kĩ năng tính toán, chúng chủ yếu đòi hỏi sự chặt chẽ trong việc xét các khả năng, sự sáng tạo và linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp Nhiều bài toán cùng nội dung chỉ khác nhau

về con số, nhưng lại yêu cầu cách giải khác nhau; đòi hỏi người giải không thể rập khuôn, máy móc Chỗ khó và cũng

là thế mạnh của Hình học tổ hợp là ở đó, chính vì thế mà các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kì thi HSG cấp Tỉnh, Quốc Gia, Quốc Tế

Với những nội dung như trên Tôi xin trình bày một số quan điểm của mình về giải bài toán Hình học tổ hợp trong chương trình toán THCS.Dưới hình thức nêu ra một số dạng bài tập

và phương pháp giải toán Hình học tổ hợp

MỤC LỤC

Lời nói đầu ……… ………….… 1

A NỘI DUNG….……….… 3

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP ……….…3

Nguyên lí Dirichle ……… 3

Nguyên lí cực hạn ……….…… 4

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP THƯỜNG GẶP ………….…5

1.Đánh giá độ dài, góc, diện tích ……….….5

2 Dạng bài tập tô màu, bảng vuông ……….6

3.Dạng bài tạo đa giác bao……….…8

4.Phương pháp qui nạp toán học ……….…… 9

5.Phương pháp phản chứng ……….…10

B BÀI TẬP ……… 11

Tài liệu tham khảo ……… 13.

A NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI

TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP

1.Nguyên lý Dirichle:

a) Dạng đơn giản: Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n lồng thì tồn tại 1 lồng có ít nhất 2 con thỏ

b) Tổng quát: Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng mà phép chia

n cho m được thương là k và còn dư thì tồn tại 1 lồng chứa ít nhất k+1 con thỏ

VD: Cho một hình vuông và 2011 đường thẳng, mỗi đường

thẳng đều chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là 32 CMR: trong 2011 đường thẳng đó có ít nhất 503 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích bằng 32 Đường thẳng d không thể cắt 2 cạnh kề của hình

vuông vì khi đó không tạo thành 2 tứ giác

Giả sử đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại M, N Khi đó

đường thẳng d cắt đường trung bình EF tại I

Giả sử: SAMND =32 SBMNC=> EI = 32 IF

Như vậy, mỗi đường thẳng đã cho chia đường trung bình của

hình vuông theo tỉ số 32 ( là các điểm I, K, H, G (hình vẽ)) Có

2011 đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một trong bốn điểm nên theo Dirichle tồn tại ít nhất [20114 ]+1 = 503 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm

( Đpcm)

2.Nguyên lý cực hạn:

“ Trong một tập hữu hạn ( khác rỗng) các số thực, tồn tại

số nhỏ nhất và số lớn nhất”

VD: Tồn tại hay không 2011 điểm sao cho với bất kì 2 điểm A,

B nào trong 2011 điểm ấy cũng tồn tại 1 điểm C trong các điểm còn lại mà ACB < 600

Lời giải:

Giả sử tồn tại 2011 điểm có tính chất như đề bài

Gọi A, B là 2 điểm có khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách giữa 2 điểm trong 2011 điểm đã cho Theo đề bài tồn tại điểm C thỏa mãn ACB< 60o hiển nhiên C không thuộc đường thẳng AB

Xét tam giác ABC có AB lớn nhất suy ra ACB lớn nhất,

mà C < 60o nênA<60o ,

B< 60o suy ra A+B+C < 180o , vô lí

Vậy không tồn tại 2011 điểm có tính chất như đề bài

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP THƯỜNG GẶP

1.Dạng bài đánh giá độ dài, góc, diện tích.

Ví dụ: Lấy 2011 điểm thuộc miền trong của một tứ giác để cùng

với 4 đỉnh ta được 2015 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Biết diện tích tứ giác ban đầu là 1cm2 CMR: Tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2015 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 2

4024

1

cm

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh năm học 2011-2012)

Lời giải:

Gọi 2011 điểm trong tứ giác là A i (i  1 , 2011)

Bước 1: Nối A1 với 4 đỉnh của tứ giác ta được 4 tam giác (hình vẽ)

Bước 2: Xét điểm A k (k  2 , 2011) và các điểm đã cho không có

3 điểm nào thẳng hàng nên A k nằm trong một trong 4 tam giác (Chẳng hạn A2 nằm trong A1DC ), ta nối A2 với 3 đỉnh A1,D,C thì

số tam giác tăng lên 2 (từ 1 thành 3)

Vậy sau bước 1 số tam giác là 4 Sau 2010 còn lại mỗi bước tăng thêm 2 tam giác

Tổng cộng có 4+2.2010 = 4024 tam giác, tổng diện tích của

4020 tam giác bằng 1cm2 nên tồn tại một tam giác có diện tích S

2

4024

1

cm

 (điều phải chứng minh)

Nhận xét:

+) Mấu chốt của bài toán là đếm số tam giác không có điểm chung trong được tao nên từ các điểm đang xét

+) Trong lời giải ta đã sử dụng nguyên lí cực hạn để có khảng định trong 4024 tam giác tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ

4024

1

cm

+) Ta thấy 1 0,0002485089463.

4024 Do đó nếu thay số 40241 bởi 0,000248509

sẽ tạo thêm sự rắc rối trong suy luận, có thể tạo ra Bài toán hay trong kì thi giải toán CASIO

+) Nếu thay số 2011 bằng n (nN*), ta được kết quả S 1 2

4 2(n 1)cm



+) Trong đề bài không cần giả thiết 2015 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẫn có kết quả như trên

+) Nếu thay tứ giác thành một đa giác n đỉnh bất kì (n >=3) ta có các kết quả sau:

Bài toán 1.1 Cho n điểm nằm trong tam giác ABC có diện tích

là 1cm2 CMR: Từ n điểm đó cùng với 3 điểm A, B, C luôn tồn tại một tam giác có diện tích không lớn hơn 1 2

3 2(  n 1)cm

Bài toán 1.2 (tổng quát) Cho n điểm nằm trong đa giác lồi m

đỉnh có diện tích là 1cm2 CMR: Từ n điểm đó cùng với m đỉnh của đa giác, luôn tồn tại một tam giác có diện tích không lớn

2( 1)cm

m n

2.Dạng bài tập tô màu, bảng vuông

Ví dụ 1: Cho 6 điểm trong đó 3 điểm nào cũng nối được với

nhau tạo thành 1 tam giác có cạnh được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ CMR: Bao giờ cũng tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu

Lời giải:

Gọi A là một trong 6 điểm, 5 đoạn thẳng nối A với 5 điểm còn lại được tô

bởi 2 hai màu xanh hoặc đỏ nên tồn tại 3 cạnh cùng màu Giả

sử là AB, AC, AD

Xét 2 trường hợp:

+Trường hợp 1: AB, AC, AD tô màu đỏ

Xét BCD Nếu có một cạnh được tô màu đỏ (giả sử BC) thì

ABC

 cùng màu đỏ (hình 1)

Nếu không có cạnh nào của BCD tô màu đỏ thì BCD có 3 cạnh cùng màu xanh (hình 2)

+Trường hợp 2: AB, AC, AD tô màu xanh Chứng minh tương tự

Vậy luôn tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu

Chứng minh rằng: Không thể dùng 2 hình chữ I

( gồm 2 ô vuông) và 3 hình chứ T ( gồm 4 ô vuông) để xếp kín bảng vuông trên

Lời giải:

Ta tô màu các ô vuông như bàn cờ vua ( hình vẽ)

Ta thấy: 1 hình chữ I lấp 1 ô đen, 1 ô trắng

1 hình chữ T lấp 3 ô đen, 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng, 1 ô đen ( lấp một số lẻ ô đen) nên 3 hình chữ T lấp 1 số lẻ ô đen, 2 hình chữ I lấp 2 ô đen.Do đó 5 hình trên lấp kín số lẻ ô đen Mà trên bảng có 8 ( số chẵn) ô đen

Vậy không thể xếp kín bảng trên bằng 2 hình chữ I ( gồm 2 ô vuông) và 3 hình chứ T ( gồm 4 ô vuông) ( đpcm)

3.Dạng bài tạo đa giác bao.

hình bình hành có diện tích không vượt quá 2 cm2 chứa toàn bộ

đa giác

Lời giải:

Gọi C là đỉnh cách xa AB nhất (hình vẽ)

+Trường hợp 1: Nếu AC là đường chéo của đa giác lồi

Qua C kẻ a// b (A,Bb)

Gọi D,E là các đỉnh cách xa AC nhất, qua D kẻ đường thẳng

d // AC, qua E kẻ đường thẳng c // AC Qọi MNPQ là hình

bình hành tạo bởi a,b,c,d suy ra các đỉnh của đa giác nằm trong hoặc trên biên của hình bình hành MNPQ Ta chứng minh

2

2cm

S MNPQ  , thật vậy:

Ta có: S ACD S ACE S đa giác

 S MNPQ S đa

2

1

giác =1  S MNPQ  2 (cm2 )

+Trường hợp 2: Nếu AC là cạnh của đa giác lồi Gọi E là đỉnh cách xa AC nhất ( Chứng minh tương tự)

Suy ra ta có điều phải chưng minh

4 Phương pháp qui nạp toán học:

Để chứng minh mệnh đề An đúng với mọi n thuộc N*:

-B1: chỉ ra mệnh đề đúng với n=1 tưc là A1 đúng

-B2: giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k thuộc N*) Ak đúng -B3: chứng minh Ak+1 đúng ( mệnh đề đúng với n=k+1) Kết luận An đúng với mọi n thuộc N*

= n( n2 3)

Lời giải:

Ta chứng minh Sn =n( n2 3) (1) đúng với mọi n4

+) Ta thấy (1) đúng với n=4 vì S4 =2, tứ giác có 2 đường chéo +) Giả sử khẳng định (1) đúng với n=k (k4) tức là đa giác lồi k cạnh có k( k2 3) đường chéo.+) Ta sẽ chứng minh đa giác lồi k+1

cạnh có (k1)(2k 2)

đường chéo, thật vậy khi thêm đỉnh thứ k+1 (hình vẽ) thì có thêm k-2 đường chéo nối từ Ak 2 đến A2, A3,

…, Ak 1, ngoài ra cạnh A1Ak cũng trở thành đường chéo Do

đó, Sk 1 = Sk +(k-2)+1=k( k2 3)+k-1=(k1)(2k 2)

Vậy khẳng định (1) đúng với mọi n thuộc N*, n4

5.Phương pháp phản chứng:

VD: Cho tập hợp M gồm 2011 điểm trên mặt phẳng không cùng

thuộc 1 đường thẳng Kẻ các đường thẳng đi qua từng cặp 2 điểm trong 2011 điểm đó CMR: tồn tại một đường thẳng đi qua đúng 2 điểm của tập M

Lời giải:

Xét tất cả các khoảng cách khác 0 từ mỗi điểm của tập M đến tất

cả các đường thẳng được kẻ, chọn ra khoảng cách nhỏ nhất ( theo đề tồn tại khoảng cách khác 0, vì 2011 điểm không cùng thuộc một đường thẳng, tồn tại khoảng cách nhỏ nhất vì số các khoảng cách là hữu hạn)

Giả sử khoảng cách nhỏ nhất đó là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ( hình vẽ) Ta sẽ chứng minh đường thẳng d chỉ chứa đúng 2 điểm của tập M

Dùng phản chứng: giả sử đường thẳng d chứa thêm điểm thứ 3 của

tập M Gọi 3 điểm của tập M mà d đi qua là B, C, D Kẻ AH vuông gócd tồn tại 1 trong 2 tia gốc H chứa 2 điểm, chẳng hạn là C và D Không mất tính tổng quát, giả sử HC < HD, gọi CK là khoảng cách

từ C đến AD Dễ thấy CK< AH ( thật vậy, vẽ CE vg góc d thì CK<CEAH)

Như vậy, khoảng cách từ C đến AD nhỏ hơn khoảng cách từ A đến

BD, trái với cách chọn A và d

Vậy đường thẳng d chỉ chứa đúng 2 điểm của tập M

NHẬN XÉT:

+) Nguyên lý cực hạn để chọn ra khoảng cách nhỏ nhất

+) Nguyên lý Dirichle để chỉ ra C, D cùng thuộc 1 tia gốc H

+) Hai nguyên lý cùng phối hợp phương pháp phản chứng

B BÀI TẬP

Bài 1 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu

Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh rằng tồn tại hai điểm được tô bởi cùng một màu mà độ dài

(Câu V Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm học 2010-2011)

Bài 2 Mỗi ô vuông đơn vị của bảng vuông 10x10 được ghi một

số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kì 2 số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh là hai số nguyên tố cùng nhau CMR: có số được ghi ít nhất 17 lần

(Câu V Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm học 2009-2010)

ta ghi một số thực sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3 Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một phân biệt

(Câu V Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Vĩnh Phúc năm học 2011-2012)

Bài 4.Một bảng hình vuông kích thước 10 x 10 Hỏi có thể điền

được các số 1, 2, 3, , 100 vào các ô của bảng ( mỗi ô điền một số) sao cho 2 tính chất sau đồng thời được thoả mãn:

i) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột bằng nhau ( bằng S) ii) Với mỗi k= 1, 2, 3, , 10, tổng các số ở các ô (i , j)

( hàng i, cột j)

với i – j k ( mod 10) có tổng bằng S

(Câu V Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Vĩnh Phúc năm học 2010-2011)

Bài 5 : Cho đa giác lồi có diện tíchS  24cm2 Chứng minh rằng: Bao giờ cũng vẽ được trong đa giác một đa giác có diện tích lớn hơn 6cm2

thành một tam giác có diện tích S  1

Chứng minh rằng: tồn tại một tam giác có diện tích S  4chứa toàn bộ 2011 điểm đã cho

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hình học tổ hợp , Tác giả Vũ Hữu Bình

2 Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ

3 Hình học tổ hợp , Tác giả Nguyển Hữu Điển