Dạng1: Tìm cực trị của biểu thức có điều kiện: a,Bài toán1 :Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức: Q= ax 2 +by 2 +cxy + dx + ey + f = 0 (1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: U= Ax + By + C (2) *cách giải: - cách 1: Nếu B 0,ta có:(2)y= - B A x- B C - B U Thế vào (1) ta có phơng trình bậc hai đối với x : h(x) = 0. Xem U là tham số Cực trị của U tìm đợc trong điều kiện có nghiệm của pt: h(x) = 0. - Cách 2: Nếu có thể ta biểu diển Q= m 2 U 2 + nU + k + [f(x)] 2 = 0.(*) Do Q= 0 và [f(x)] 2 0 => m 2 U 2 + nU + k 0 U 1 U U 2 =>{MinU=U 1 ;maxU=U 2 } * Đặc biệt khi Q có dạng: Q=p 2 (x-a) 2 + q 2 (y-b) 2 - r 2 =0 - Cách 1: Đánh giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki - Cách 2: Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx | 22 ba + (lợng giác) Dạng 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức: ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 0) Tìm cực trị của biểu thức: T = p 2 (x - m) 2 + q 2 (y - n) 2 - r 2 Cách giải: Ta có thể giải theo các cách sau: Cách 1: Rút x hoặc y từ đẳng thức: ax + by + c = 0 thế vào T rồi đa về dạng 1. Cách2: Đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacôpski Bài tập1: Cho x, y liên hệ với nhau bởi biểu thức: P: = x 2 + 2y 2 + 2xy + 2x + 2y 3 = 0 (1) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Q = x + y (2) Lời giải: Cách1: Từ (2) ta có : y = Q x thế vào (1) đợc: P = x 2 + 2(Q - x) 2 + 2x(Q - x) + 2 Q 3 = 0 x 2 2Qx + 2Q 2 + 2Q 3 = 0 (3) Cực trị của Q nếu có chính là điều kiện có nghiệm cccủa phơng trình (3) , 0 Q 2 - 2Q 2 - 2Q + 3 0 - Q 2 - 2Q + 3 0 -3 Q 1 Vậy GTNN(Q) = -3 y = 0 và x = -3 GTLN(Q) = 1 y = 0 và x = 1 Cách2: Ta có: P = (x 2 + y 2 + 2xy) + 2(x + y) +1 - 4 + y 2 = 0 P = (x + y) 2 + 2(x + y) +1 3 + y 2 = 0 P = (x + y + 1) 2 4 + y 2 = 0 (4) Do y 2 0 Do đó từ (4) suy ra: (x + y + 1) 2 4 0 1 ++ yx 2 -2 x + y + 1 2 -3 x + y 1. Vậy: Vậy GTNN(Q) = -3 y = 0 và x = -3 GTLN(Q) = 1 y = 0 và x = 1. Bài tập 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0 Tìm GTNN, GTLN của M = x - 2 y + 2 1 Lời giải: Ta có: 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0 4x 2 + y 2 + 1 4xy 2y + 4x + 2y 2 2009 = 0 (2x y +1) 2 + 2y 2 2009 = 0. Do 2y 2 0 suy ra: (2x y +1) 2 2009 0 12 + yx 2009 - 2009 2x y + 1 2009 2 2009 x 2 y + 2 1 2 2009 Vậy GTNN(M) = 2 2009 y = 0 và x = 2 2009 GTLN(M) = 2 2009 y = 0 và x = 2 2009 (Hoặc có thể giải theo cách1, rút x hoặc y từ M = x - 2 y + 2 1 rồi thế vào 4x 2 + 3y 2 - 4xy 2y 2008 = 0) Bài tập 3: Cho x, y là hai số thỏa mản: x + 2y = 3. Tìm GTNN của: E = x 2 + 2y 2 Lời giải: Cách1: Từ x + 2y = 3 suy ra x = 3 2y thế vào E = x 2 + 2y 2 ta có: E = (3 2y) 2 + 2y 2 = 6y 2 - 12y + 9 = 6(y - 1) 2 + 3 3 Vậy GTNN(E) = 3 khi và chỉ khi y = 1 và x = 1 Cách2: (Dùng BĐT Bunhiacốpki) Ta có: 9 = (x + 2y) 2 = (x + 2 2 y) 2 (1 + 2)(x 2 + 2y 2 ) (x 2 + 2y 2 ) 3. Vậy GTNN(E) = 3 khi và chỉ khi y = x = 1 . giá bằng bất đẳng thức bunhiacópki - Cách 2: Đánh giá bằng bđt : | asinx + bcosx | 22 ba + (lợng giác) Dạng 2: Cho x, y liên hệ với nhau bởi công thức: