ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1

TRUNG TÂM HOÀNG GIA

A'

E

D

C B

I G

PHẦN i Giải tích

Chương 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

2π 0

O

-1 -1

1

1

3π 2 π

π 2

sinx

cosx

(IV) (III)

3 Cung góc liên kết

cos( a) cosa sin(  a) sina sin cos

tan(  a) tana tan cot

4 Công thức cộng cung

sin(a b)sinacosbcosasin b cos(a b)cosacosbsinasin b

tan tantan( )

x x

sin 3 3 sin 4 sin

cos 3 4 cos 3 cos

3 tan tantan 3

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

sin cos 2sin 2cos

2

a b   a b a b 

  sinasinb  12 cos(a b) cos(a b)

1sin cos sin( ) sin( )

3

2

2 2

§ 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

f   x f x Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

b Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f x( ) xác định trên tập ( ; )a b  

 y  f x( ) gọi là đồng biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; )a b cĩ x1 x2  f x( )1 f x( ).2

 y  f x( ) gọi là nghịch biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; )a b cĩ x1 x2  f x( )1  f x( ).2

c Hàm số tuần hồn:

 Hàm số y  f x( ) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hồn nếu cĩ số

0

T  sao cho với mọi x D ta cĩ (x T)D và (x T)Dvà f x( T) f x( )

 Nếu cĩ số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm

 Hàm số y f x( )sinx là hàm số lẻ vì f( x) sin(  x) sinx  f x( ). Nên đồ thị

hàm số y sinx nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số y sinx tuần hồn với chu kì T o 2 , nghĩa là: sin(x k2 ) sin x Hàm số

1

3 2

 Hàm số y  f x( ) cosx là hàm số chẵn vì f( x) cos( x) cosx  f x( ), nên đồ thị

của hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

 Hàm số y cosx tuần hoàn với chu kì T o 2 , nghĩa là cos(x k2 ) cos x Hàm số

 Hàm số y  f x( )tanx là hàm số lẻ vì f( x) tan(  x) tanx  f x( ) nên đồ thị

của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O

 Hàm số y tanx tuần hoàn với chu kì T o   y  tan(ax  tuần hoàn với chu b)

 Hàm số y  f x( )cotx là hàm số lẻ vì f( x) cot(  x) cotx  f x( ) nên đồ thị

của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O

 Hàm số y cotx tuần hoàn với chu kì T o   y cot(ax  tuần hoàn với chu b)

Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

f x

f x

sin ( )

f x



 Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

1

( )

P x

  y 2n P x( )ĐKXĐ P x( )0

2

1

( )

n

P x

 ĐKXĐ 



 Lưu ý rằng:  1 sin ( ); cos ( )f x f x 1 và 0 0

0

A

A B

B

 



   

 Với k  , ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:

2 sin 0

2



      



cos 1 2 cos 0 2 cos 1 2 x x k x x k x x k                       tan 0 tan 1 4 tan 1 4 x x k x x k x x k                       

cot 0 2 cot 1 4 cot 1 4 x x k x x k x x k                          Ví dụ 1 Tìm tập xác định của hàm số: sin 32 2 cos ( ) 1 cos tan 1 x x y f x x x        Giải:

Ví dụ 2 Tìm tập xác định của hàm số:

2 2

( )

cos

x

x



Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 1 Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: a) 4

cos y x   b) y cos 2 x c) 1 cos sin x y x    d) tan 5 2 3 y   x        e) 2 tan 2 5 sin 2 1 x y x     f) 2

tan 2 1 cos x y x    g) tan 2 sin 1 x y x    h) cos 4 sin 1 x y x     i) cos 2 1 sin x y x     j)

2 sin cos 1 x y x     k) 2 cot 2 1 cos x y x    l)

1 sin

1 cos

x y

x





m)

sin

x y

x



tan

1 sin

x

x



o)

2 1 cos

x y



x y

x



BT 2 Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

a)

2 2

sin 2

x y

x

 

c)

tan 2

4

1 sin

8

x y

x





 

  

 

 

   

 

d)

tan

4

1 cos

3

x y

x









e)

1 tan

4 cos 2

x y

x



 

   

 

 f)

3 sin 4 cos 1 x y x     g) 3

cos cos 3 y x x    h) y cot 2x 3 .tan 2 x            i) 21 2 sin tan 1 y x x      j) 2 2 4 sin cos y x x    k) 1 cos cot 6 1 cos x y x x               l) 2

1 cot 3 tan 3 4 x y x                          Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác  Phương pháp giải  Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn: 2 0 sin 1 1 sin 1 0 sin 1 x x x          hoặc 1 cos 1 0 cos2 1 0 cos 1 x x x           Biến đổi về dạng: m  y M  Kết luận: max y M và miny m Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 4 ( ) 5 2 cos sin y f x x x     Giải:

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f x( )3 sin2x 5 cos2x4 cos2x 2 Giải:

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) sin6 cos6 2, ;

2 2

f x  x  x    x   

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau: a) y 5 3cos 2x 4 b) y  1 cos 4  x c) y 3 sin 22 x  4 d) y  4 5 sin 2 cos 2 2 x 2 x e) y  3 2 sin 4 x f) y  42 sin 25 x 8 g) 4 2 1 3 cos y x    h) 2 2 4 5 2 cos sin y x x    i)

2 2 4 2 sin 3 y x    j)

3 3 1 cos y x     k) 4

2 cos 3 6 y x              l) 2

3 sin 2 cos2

y



BT 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

a) y  sin2x cosx  2 b) y sin4x 2 cos2x  1

c) y cos2x 2 sinx  2 d) y sin4x cos4x  4

e) y  2cos 2x sin2x f) y sin6x cos 6x

g) y  sin 2x  3 cos 2x 4 h) y cos2x 2 cos2 x

i) y 2 sin2x cos 2 x j) y 2 sin 2 (sin 2x x 4 cos 2 ).x

k) y  3 sin2x 5 cos2x4 cos 2 x l) y 4 sin2x  5 sin 2x 3

m) y (2 sinx cos )(3 sinx x cos ).x n) y sinx cosx 2 sin cosx x1

o) y  1 (sin 2x cos 2 ) x 3 p) y  5 sinx 12 cosx 10 

4

y  x   x



2

2 cos 2 cos 2 3

3

y   x   x  



  

BT 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

a) sin 2 , 0;

2

y  x  x  

 

2

y  x    x   

y   x     x   

4 4

6

y  x  x  x  

 

  f) 2 sin2 cos 2 , 0;

3

y  x  x  x  

 

3

y  x    x   

Dạng toán 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

 Phương pháp giải

 Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác

Nếu x D thì x D  D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2

 Bước 2 Tính f(x), nghĩa là sẽ thay x bằng  sẽ cĩ 2 kết quả thường gặp sau: x,

 Nếu f( x) f x( )f x( ) là hàm số chẵn

 Nếu f(  x) f x( )f x( ) là hàm số lẻ

Lưu ý:

 Nếu khơng là tập đối xứng ( x D   x D) hoặc f(x) khơng bằng f x( ) hoặc

( )

f x

 ta sẽ kết luận hàm số khơng chẵn, khơng lẻ

 Ta thường sử dụng cung gĩc liên kết dạng cung đối trong dạng tốn này, cụ thể: cos( a) cos , sin(a   a) sin , tan(a   a) tan , cot(a   a) cot a

Ví dụ Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

a) f x( )sin 22 x cos 3 x b) f x( )cos x2 16

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 6 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y  f x( )tanx cot x b) y f x( ) tan 2 sin 5 7 x x c) 9

( ) sin 2

2

y  f x   x  



3

( ) 2 cos 3

2

y f x    x  



e) yf x( ) sin (3 3 x5 ) cot(2  x7 ). f) y  f x( )cot(4x 5 )tan(2 x3 ).

g) y  f x( )sin 9x2 h) y  f x( )sin 22 x cos 3 x

Cố gắng hết sức ở giây phút này sẽ đặt bạn vào vị trí tuyệt vời nhất ở những khoảng khắc sau

O Winfrey

§ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



I Phương trình lượng giác cơ bản

Với k  , ta cĩ các phương trình lượng giác cơ bản sau:

2 sin sin

k) (12 cos )(3x cos )x 0 l) tan(x 30 ).cos(20 x150 )0 0.

m) 2 sin 2x 2 cosx 0 n) sin 3 sin 0

II Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác

1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

sin(x k2 ) sinx cos(x k2 ) cosx

sinx (k2 )   sinx cosx (k2 )   cosx

tan(x k )tanx cot(x k )cotx

Ví dụ 1 Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) sin 2 cos

3

x  x 



Ví dụ 2 Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): a) sin 3 cos 0 3 x   x      b) tan tan 3x x  1 0.

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 8 Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): a) sin 2 cos 6 x   x      b) 2 9 sin 3 cos 3 4 x  x                          c) cos 2 sin 4 x  x            d) 2 cos2 sin 3 x  x        e) cos 4 sin 2 0 5 x  x             f)

2 9 sin 3 cos 3 4 x  x                          g) 3

cot 2 tan 4 6 x  x                          h) tan 3x 5 cot x              Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot và ngược lại, ta sẽ làm như thế nào ?

 Hãy viết các công thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ nhau ?

BT 9 Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định):

a) cos(3x 45 )0  cos x b) cos 2 cos

BT 10 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 4x2 cos2x  1 0 b) 2 cos 5 cos 3x x sinx cos 8 x

c) sin 5x 2 cos2x 1 d) cos 2 cosx x cosx sin 2 sin x x

1 tan

x x

2 Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

 cos cos 2 cos cos

Ví dụ 1 Giải phương trình: sin 5x sin 3x sinx 0.

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos 3x cos 2x cosx  1 0

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 11 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx sin 2x sin 3x 0 b) cosx cos 3x cos 5x 0

c) 1sinx cos2x sin 3x 0 d) cosx cos 2x cos 3x cos 4x 0.e) sin 3x cos 2x sinx 0 f) sinx 4 cosx sin 3x 0

g) cos 3x 2 sin 2x cosx 0 h) cosx cos 2x sin 3 x

BT 12 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 5x sinx 2 sin2x 1 b) sinxsin2xsin3x  1 cosxcos2 x

c) cos 3x2 sin 2x cosx sinx  d) 4 sin 31 x sin 5x 2 sin cos2x x 0.e) sin 5x sin3x 2cosx  1 sin 4 x f) cos2xsin 3xcos5x sin10x cos 8 x

g) 1sinx cos 3x cosx sin 2x cos2 x

h) sinx sin 2x sin 3x cosx cos2x cos 3 x

3 Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos

 Lưu ý đối với cơng thức hạ bậc của sin và cosin:

― Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1

2 và cung gĩc tăng gấp đơi

― Mục đích của việc hạ bậc: hạ bậc để triệt tiêu hằng số khơng mong muốn và nhĩm

hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng cơng thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ

xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài tốn đơn giản hơn

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2 2 1

sin 2 cos 8 cos10

2

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: 2 2 2 2 3 cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x  x  x  x   Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 13 Giải các phương trình lượng giác sau: a) 2 1 sin 2 x   b) 2 3 cos 2 4 4 x              c) 2 2 3 cos 4 x    d) 4 sin2x  1 0 e) 2 2 2 7 sin 3 sin 3 4 x   x                         f)

4 4 1

x  x  



g) sin 22 x sin2x 1 h) sin 22 x cos 32 x 1

sin sin 2 sin 3

2

cos cos 2 cos 3

2

k) sin2x sin 22 x sin 32 x 2 l) sin2x sin 32 x cos 22 x cos 4 2 x

sin cos sin cos

8

sin cos sin cos

4

BT 14 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 42 cos 62 sin10 , 0;

2

x x  x  x  



 

  b)

2 5 29

x x   



c) 2 sin 22 x sin 7x  1 sin x d) cos2x cos 22 x cos 32 x cos 42 x 2.

g) sin 32 xcos 42 x sin 52 xcos 6 2 x h) tan2x sin 22 x 4 cos 2x

4 Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

Đa số đề thi, kiểm tra thường là những phương trình đưa về tích số Do đĩ, trước khi giải

ta phải quan sát xem chúng cĩ những lượng nhân tử chung nào, sau đĩ định hướng để tách, ghép, nhĩm phù hợp Một số lượng nhân tử thường gặp:

— Các biểu thức cĩ nhân tử chung với cosx sinx thường gặp là:

— Phân tích tam thức bậc hai dạng: f X( )aX2 bX  c a X.( X1) ( X X2) với X

cĩ thể là sin , cos , x x … và X X là 2 nghiệm của 1, 2 f X ( ) 0

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2 cosx  3 sinx sin 2x  3.

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos2x  (1 sin )(sinx x cos )x 0 Giải:

Ví dụ 3 Giải phương trình: (sinx cosx 1)(2 sinx cos )x sin 2x 0 Giải:

Ví dụ 4 Giải phương trình: (2 sinx  3)(sin cosx x  3) 1 4 cos 2x Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 15 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x  3 sinx 0 b) (sinx cos )x 2  1 cos x

c) sinx cosx cos 2 x d) cos2x  (1 2 cos )(sinx xcos )x 0

e) (tanx 1)sin2x cos 2x 0 f) sin (1x cos2 )x sin 2x  1 cos x

BT 16 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin2x 3 sin cosx x cos2x  b) 1 4sin2 sinx x2sin2x2sinx 4 4cos 2x

c) 4 sin2x 3 3 sin 2x 2 cos2x 4 d) (cosx1)(cos2x 2cos ) 2sinx  2x  0.e) (2cosx1)(sin2x2sinx 2) 4cos2x f) 1 (2sinx1)(2cos2x2sinx 3) 4sin2x 1.g) (2sinx1)(2sin2x 1) 4cos2x  h) 3 (2sinx1)(2cos2x2sinx  1) 3 4cos 2x

i) sin2x(sinxcosx1)(2sinxcosx2). j) 2(cos4x sin )4x  1 3 cosxsin x

BT 17 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx 4 cosx  2 sin 2 x b) sin 2x  3 2 cosx  3 sin x

c) 2(sinx 2 cos )x  2 sin 2 x d) sin 2x sinx  2 4 cos x

e) sin 2x 2 cosx sinx  1 0 f) sin 2x 2 sinx 2 cosx  2 0

g) sin 2x  1 6 sinx cos 2 x h) sin 2x cos2x 2 sinx  1

i) sin 2x 2 sinx  1 cos 2 x j) sin (1x cos 2 )x sin 2x  1 cos x

l) sin 2xsinx 2 cos 2x  1 m) (2cosx1)(2sinxcos )x sin2xsin x

n) tanx cotx 2(sin 2x cos 2 ).x o) (1 sin )cos 2x x (1 cos )sin2x x 1 sin2 x

p) sin 2x 2 sin2x sinx cos x q) cos 3x cosx 2 3 cos 2 sin x x

r) cos 3x cosx 2 sin cos 2 x x s) 2

2 sin x sin 2x sinx cosx 1

t) cosx tanx  1 tan sin x x u) tanx sin 2x 2 cot2 x

BT 18 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cosx2sin (1 cos )x  x 2  2 2sin x b) 2(cosxsin2 )x  1 4 sin (1 cos2 ).x  x

c) 1 sin cos 2 sin cos2

g) sin3x cos3x  sinx cos x h) sin3x cos3x 2(sin5x cos ).5x

i) 2 sin3x cos 2x cosx 0 j) 8 8 10 10 5

sin cos 2(sin cos ) cos2

4

l) sin 2x cos 2x 2 sinx 0 m) tan 2x cotx  8 cos 2x

n) 3sin3x 2 sin (3 8cos )x  x 3cos x o) 2 sin (2 cos2x x 1 sin )x cos2x 2

III Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp

1 Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác

Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn:

Nếu đặt t sin2X, cos2X hoặc t  sinX , cosX thì điều kiện là 0 t 1

Ví dụ 1 Giải phương trình: 4 cos2x 4 sinx 1 0

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos 2x 3 cosx  2 0

Giải:

Ví dụ 3 Giải phương trình: 3 cos 2x 7 sinx  2 0

Giải:

Ví dụ 4 Giải phương trình: 4 sin4x 5 cos2x  4 0

Giải:

Ví dụ 5 Giải phương trình: cos 4x 12 sin2x  1 0

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 19 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin2xsinx 1 0 b) 4 sin2x 12 sinx  7 0

c) 2 2 sin2x (2 2)sinx  1 0 d) 2 sin3x sin2x 2 sinx 1 0

e) 2 cos2x 3 cosx  1 0 f) 2 cos2x 3 cosx  2 0

g) 2 cos2x ( 22)cosx  2 g) 4 cos2x 2( 3 2)cosx  6

i) tan2x 2 3 tanx  3 0 j) 2 tan2x2 3 tanx  3 0

k) tan2x  (1 3)tanx 3 0 l) 3 cot2x 2 3 cotx  1 0

m) 3 cot2x  (1 3)cotx  1 0 n) 3 cot2x  (1 3)cotx 1 0

BT 20 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 6 cos2x 5 sinx  2 0 b) 2 cos2x 5 sinx  4 0

c) 34 cos2x sin (2 sinx x 1) d) sin2x3 cosx  3 0

e) 2 sin2x 3 cosx  3 0 f) 2 cos 22 x 5 sin 2x  1 0

g) 3 sin2x 2 cos4x  2 0 h) 4 sin4x 12 cos2x 7

i) 4 cos4x 4 sin2x1 j) 4 sin4x 5 cos2x  4 0

BT 21 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 cos 2x 8 cosx  5 0 b) 1cos 2x 2 cos x

c) 9 sinx cos2x 8 d) 2cos 2x 5 sinx 0

e) 3 sinx cos 2x  2 f) 2 cos 2x 8 sinx  5 0

g) 2 cos 22 x 5 sin 2x  1 0 g) 5 cos 2 sin 7 0

2

x

h) sin2x cos 2x cosx 2 k) cos2x cos2x sinx  2 0.

BT 22 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3 cos2x 2 cos2x 3 sinx 1 b) cos 4x 12 sin2x  1 0

c) cos 4x 2 cos2x  1 0 d) 16 sin2 cos 2 15

g) 1cos 4x 2 sin2x 0 h) 8 cos2x cos 4x 1

i) 6 sin 32 x cos12x 4 j) 5(1cos )x  2 sin4x cos 4x

k) cos4xsin4x cos 4x 0 l) 4(sin4x cos4x)cos 4x sin 2x  0

BT 23 Giải các phương trình lượng giác sau:

x x

x x

x x

BT 25 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 8 sin cosx x cos 4x  3 0 b) 2 sin 82 x 6 sin 4 cos 4x x 5

x x

x



h) 3 cos 4x 2 cos2x  3 8 cos 6x k) 3 cosx   2 3(1cos ).cot x 2x

l) sin 3x cos2x  1 2 sin cos 2 x x m) 2 cos 5 cos 3x x sinx cos 8 x

n) 4(sin6x cos )6x 4 sin 2 x o) sin 4x  2 cos 3x 4 sinx cos x

BT 26 Giải các phương trình lượng giác sau:

a)

2 3 2

2

cos cos 1cos2 tan

c) (2 tan2x1)cosx  2 cos2 x d) 2cos2x3cosx2cos 3x 4sin sin2 x x

e) 4 sinx  3 2(1sin ) tan x 2x f) 2sin3x 3 (3sin2x2sinx3)tan x

g) 5sin 3(1 cos )cot2 2

x x

2cos

2 Phương trình lượng giác bậc nhất đối với sin và cosin (phương trình cổ điển)

Dạng tổng quát: asinx bcosx c ( ) , ,  a b \ 0  

Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình: a2 b2 c2, (kiểm tra trước khi giải)

Lưu ý Hai cơng thức sử dụng nhiều nhất là: sin cos cos sin sin( )

.sin cos sin cos , ( )

Ví dụ 1 Giải phương trình: sinx  3 cosx   3.

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos 2 3 sin 2 2 cos

Ví dụ 3 Giải phương trình: cos 4x sinx  3(cosx sin 4 ).x

Giải:

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BT 27 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx  3 cosx 1 b) 3 sinx cosx   1

c) 3 cosx sinx  2 d) sinx  3 cosx 2

e) 3 sin 3x cos 3x  2 f) cos 7x  3 sin 7x   2

p) 2 sin2x  3 sin 2x   2 0 q) cos7 cos5x x 3 sin2x  1 sin7 sin5 x x

r) cos sin3x x 3cos2x 3 cos3 sin  x x s) 2(cos4xsin ) 14x   3 cosx sin x

t) 3 sin 2x cos2x 2 cosx 1 u) 2 sin2x sin 2x 3 sinx cosx 2

BT 28 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3 sin cos 2 sin

12

b) cosx  2 sin 2xsin x

c) sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2 x d) sinx cosx 2 2 sin cos x x

e) 2 cos 3x  3 sinx cosx 0 f) (sinxcos )x 2 3 cos2x  1 2 cos x

g) 2 cos 2x sinx cosx 0 g) sin 3x  3 cos 3x 2 sinx 0

h) cos 3 sin 2 cos

l) sinx 3 cosx  2 4 cos 2x m) 4 sin2x sinx  2 3 cos x

n) 2 cos ( 3 sinx x cosx 1)1 o) 3 sin 2x 2 sin2x 4 sin 3 cosx x  2.p) 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x x sin x q) 2(cos6xcos4 )x  3(1 cos2 ) sin2  x  x

r) 3 sin 7x 2 sin 4 sin 3x x cos x s) 2sin (cosx 2xsin )2x sinx  3 cos3 x

v) 2 3 cos2x sin 2x 4 cos 3 2 x x) 3 sin 2x2 cos2x 2 22 cos 2 x

BT 29 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x cosx cos 2x sin x b) cos 2x 3 sin 2x  3 sinx cos x

c) 3(cos2x sin 3 )x sin2x cos 3 x d) cos 7x sin 5x  3(cos 5x sin 7 ).x

e) sin 2x 2 cos2x sinx cosx 1. f) 4 sin2xtanx 2(1 tan )sin3 x x 1

n) 3 cos2x2sin cosx x 3 sin2x1. o) 2(cosx 3sin )cosx xcosx 3sinx1

p) 3(cos2xsin ) cos (2sinx  x x 1) 0. q) cos2 1 tan tan tan 2sin 1

a) sin 2x 2 3 cos2x 2 cos x b) 3 sin 2x  1 cos2x 2 cos x

c) sin 2x cosx sinx 1 d) cos 2x 2 sinx  1 3 sin 2 x

e) 3 sin 2x cos2x 4 sinx 1 f) 2sin6x2sin4x 3 cos2x  3 sin2  x

g) tan sin 2 cos2 2

x x

3 Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4)

Dạng tổng quát: a.sin2X b.sinX cosX c.cos2X d (1) , , , a b c d  

Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cosin

(tan và cotan được xem là bậc 0)

 cĩ phải là nghiệm hay khơng ?

atan2X btanX  c d(1tan2X)

 Bước 3 Đặt t  tanX để đưa về phương trình bậc hai theo ẩn t x

 Lưu ý Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn.

Ví dụ 1 Giải phương trình: 2 cos2x 2 sin 2x4 sin2x 1

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: 4 sin3x 3(cos3x sin )x sin2xcos x

Giải:

Ví dụ 3 Giải phương trình: sin (tan2x x 1)3 sin (cosx x sin )x  3

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 31 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin2x 3 3 sin cosx x cos2x  2

b) sin2x sin cosx x 2 cos2x  0

c) cos2x  3 sin 2x  1 sin 2x

d) 2 cos2x 3 3 sin 2x  4 4 sin 2x

e) 3 sin2x  (1 3)sin cosx x cos2x  1 3

f) 2 sin2x (3 3)sin cosx x ( 31)cos2x  1 0

g) 4 sin2x5 sin cosx x 6 cos2x  0

BT 32 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx 2 cos 3x b) cos3x sin3x sinx cos x

c) sinx4 sin3x cosx 0 d) 4(sin3x cos )3x cosx 3 sin x

e) 6 sinx 2 cos3x 5 sin 2 cos x x f) cos3x 4 sin3x sinx  3 cos sin x 2x

g) 3 cos4x sin4x 4 sin2xcos 2x g) 4 sin3x 3(cos3x sin )x sin2xcos x

i) 2 2 cos3 3 cos sin

k) cos2xtan 42 x  1 sin 2x 0 l) tan sinx 2x2sin2x3(cos2xsin cos ).x x

m) sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2xcos x

n) 4sin4x4cos4x5sin2 cos2x xcos 22 x o) 6 3 cot2x 2 2 sin2x (23 2)cos x

4 Phương trình lượng giác đối xứng

 Dạng 1 a(sinx cos )x  b sin cosx x  c 0 (dạng tổng/hiệu – tích)

PP

 Đăt t sinx cos , x t  2 t2    và viết sin cosx x theo t

Lưu ý, khi đặt t  sinx cosx thì điều kiện là: 0 t 2

 Dạng 2 a(tan2x cot )2x  b (tanx cot )x   c 0

PP

 Đặt t tanx cot , x t  2 t2    và biểu diễn 2 2

tan x cot x

tan cot 1, tan cot

Ví dụ 2 Giải phương trình: 2 tan2x 2 cot2x (4 2)(tanx cot )x  4 2 20

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 33 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 2x 2 2(sinx cos )x 5 b) 2(sinx cos )x 6 sin cosx x 2

c) sinx cosx sin cosx x 1 d) (1 2)(sinxcos ) 2sin cosx  x x 1 2

e) 2 2(sinx cos )x  3 sin 2 x f) (1 2)(1sinx cos )x sin 2 x

g) 2 2(sinxcos ) 2 sin 2x  x 1 g) sinx cosx 2 6 sin cos x x

BT 34 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3 tan2x 4 tanx 4 cotx 3 cot2x  2 0

2 tan 5 tan 5 cot 4 0

sin x  x  x  x  

c) tanx 3 cotx 4(sinx  3 cos ).x d) 2 sin3x cos 2x cosx 0

e) 2 cos3x cos2x sinx 0 f) 2sin3xsinx 2cos3xcosxcos 2 x

g) sin3xcos3x  1 sin 2 x h) cos2x  5 2(2cos )(sinx x cos ).x

i) (3cos 4 )(sinx xcos )x 2 j) tan2x (1 sin3x)cos3x  1

5 Một số phương trình lượng giác dạng khác

Dạng 1 m.sin 2x n.cos 2x p.sinx q.cosx  r 0

 Ta luơn viết sin 2x 2 sin cos ,x x cịn:

2 2 2

 Nếu thiếu sin 2x , ta sẽ biến đổi cos 2x theo (1) và lúc này thường sẽ đưa được

at bt  c để xác định lượng nhân tử chung

Ví dụ 1 Giải phương trình: cos 2x cosx 3 sinx  2 0

Giải:

Ví dụ 2 Giải phương trình: 2 sin 2x cos 2x 7 sinx 2 cosx  4.

Giải:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 35 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 2x 3 cosx  2 sin x b) 5 cos 2

2 cos

3 2 tan

x

x x

g) cosx sinxsin 2xcos2x  1 g) sin2xcosx2sinx cos2x3sin 2x

i) sin 2x 2 cos2x 3 sinx cos x j) 2 2 sin2xcos2x7sinx 4 2 2 cos x

k) sin 2x cos 2x 3 sinx cosx  l) sin 21 x cos 2x 3 cosx  2 sin x

m) sin2x2cos2x  1 sinx4 cos x n) 2 sin 2x cos 2x 7 sinx 2 cosx  4

r) 3(sin2x3sin ) 2cosx  2x3cosx5

Dạng 2: Phương trình có chứa R( , tan , cot , sin 2 , cos 2 , tan 2 , ),X X X X X sao cho cung

của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan Lúc đó đặt t tanX và sẽ biến đổi:

2

t X

Ví dụ Giải phương trình: sin 2x 2 tanx 3.

Giải:

BT 36 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 13 tanx 2 sin 2 x b) cos 2x tanx  1

c) sin 2x 2 tanx  3 d) (1tan )(1x sin 2 )x  1 tan x

1 cot

x x

BT 37 Giải các phương trình lượng giác sau:

BT 38 Giải các phương trình lượng giác sau (đặt ẩn phụ t bởi cung phức tạp):

Dạng 4 Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt

sin 1sin 1

u v

u v

sin 1sin 1

u v

u v

cos 1cos 1

u v

u v

cos 1cos 1

u v

u v

BT 39 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 4 cos2x 3 tan2x 4 3 cosx 2 3 tanx  4 0

b) 4 cos2x 4 cosx 3 tan2x 2 3 tanx  2 0.

c) 2 sin2x 3 tan2x 6 tanx 2 2 sinx  4 0

d) 8 sin3x sin 22 x 6 sinxcos2x  1 0

e) cos2xtan 42 x  1 sin 2x 0

f) 4 sin2x sin 32 x 4 sin sin 3 x 2 x

g) 5 sin2x 3 cos2x  3 sin 2x 2 3 cosx 2 sinx  2 0

i) 4 cos2x 3 tan2x 2 3 tanx 4 sinx  6

j) 8 cos 4 cos 2x 2 x  1cos 3x  1 0

BT 40 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos cos 2x x 1 b) sin 2 cos 4x x 1

c) sin sin 3x x   1 d) cos 2 cos 6x x  1

e) (cos2x sin )sin 52x x  1 0 f) (cosx sin )(sin 2x x cos 2 )x  2 0

g) sin 7x sinx  2 g) cos 4xcos 6x 2

i) sin3x cos3x 1 j) sin5x cos3x 1

BT 41 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos cos 2x x 1 b) sin 2 cos 4x x 1

c) sin sin 3x x   1 d) cos 2 cos 6x x  1

e) (cos2x sin )sin 52x x  1 0 f) (cosx sin )(sin 2x x cos 2 )x  2 0

g) sin 7x sinx  2 g) cos 4xcos 6x 2

i) sin3x cos3x 1 j) sin5x cos3x 1

BT 42 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) tan2 cot2 2 sin5

4

x  x  x 



  b) 2cosx 2 sin10x 3 22cos28 sin x x

e) (cos 2x cos 4 )x 2  6 2 sin 3 x f) sin4x cos4x  sinx  cos x

g) cos 3 cos 22 x x cos2x 0 g) cos2 cos3 2 0

4

x

i) cos 2x cos 4x cos 6x cos cos 2 cos 3x x x  2.

BT 43 Tìm tham số m để các phương trình sau đây có nghiệm:

a) cos(2x 15 )0 2m2 m b) mcosx  1 3 cosx 2 m

c) (4m1)sinx  2 msinx 3 d) (m2m)cos2x m2  m 3 m2cos2 x

e) msinx 2 cosx  1 f) mcos 2x (m 1)sin 2x m2

g) msin cosx x sin2x m g) sinx  5 cosx  1 m(2sin ).x

i) sin 2x 4(cosx sin )x m j) 2(sinx cos )x sin 2x m 1

k) sin2x2 2 (sinm xcos ) 1x  4 m l) 2 2

3 sin x msin 2x 4 cos x 0

m) (m2) cos2x msin 2x (m1) sin2x m 2

n) sin2x (2m2)sin cosx x  (1 m)cos2x m

BT 44 Cho phương trình: cos2x(2m1)cosx m 1 0

a) Giải phương trình khi 3

BT 45 Cho phương trình: cos 4x 6 sin cosx x m

a) Giải phương trình khi m 1

b) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn 0;

§ 3 BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 1

b) sin 32 xcos 42 x sin 52 x cos 6 2 x (ĐH khối B năm 2002)

c) cos 3x 4 cos 2x 3 cosx  4 0,   x 0; 14  (ĐH khối D năm 2002)

BT 50 Giải các phương trình lượng giác sau:

BT 51 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 5 sinx 2 3(1sin ) tan x 2x (ĐH khối B năm 2004)

b) (2 cosx 1)(2 sinx cos )x sin 2x sin x (ĐH khối D năm 2004)

BT 52 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 3 cos 22 x x cos2x 0 (ĐH khối A năm 2005)

b) 1sinx cosx sin 2x cos2x 0 (ĐH khối B năm 2005)

c) cos 3x cos 2x cosx  1 0 (ĐH khối D năm 2006)

BT 54 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) (1sin )cos2x x  (1 cos )sin2x x  1 sin 2 x (ĐH khối A năm 2007)

b) 2 sin 22 x sin 7x  1 sin x (ĐH khối B năm 2007)

BT 55 Giải các phương trình lượng giác sau:

b) sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2xcos x (ĐH khối B năm 2008)

c) 2 sin (1x cos 2 )x sin 2x  1 2 cos x (ĐH khối D năm 2008)

BT 56 Giải các phương trình lượng giác sau:

b) sinx cos sin 2x x  3 cos 3x 2(cos 4x sin ).3x (ĐH khối B năm 2009)

c) 3 cos 5x 2 sin 3 cos 2x x sinx  0 (ĐH khối D năm 2009)

BT 57 Giải các phương trình lượng giác sau:

b) (sin 2x cos 2 )cosx x 2 cos 2x sinx 0 (ĐH khối B năm 2010)

c) sin 2x cos 2x 3 sinx cosx  1 0 (ĐH khối D năm 2010)

BT 58 Giải các phương trình lượng giác sau:

b) sin 2 cosx x sin cosx x cos 2x sinx cos x (ĐH khối B năm 2011)

c) sin 2 2 cos sin 1

BT 59 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3 sin 2x cos2x 2 cosx 1 (ĐH khối A năm 2012)

b) 2(cosx  3 sin )cosx x cosx  3 sinx 1 (ĐH khối B năm 2012)

c) sin 3x cos 3x sinx cosx  2 cos2 x (ĐH khối D năm 2012)

BT 60 Giải các phương trình lượng giác sau:

b) sin 5x 2 cos2x 1 (ĐH khối B năm 2013)

c) sin 3x cos 2x sinx  0 (ĐH khối D năm 2013)

BT 61 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx 4 cosx  2 sin 2 x (ĐH khối A năm 2014)

b) 2(sinx 2 cos )x  2 sin 2 x (ĐH khối B năm 2014)

BT 62 Giải phương trình: 2 sin2x 7 sinx 4 0 (TN THPT QG năm 2016)

BT 63 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos cos 3x x sin 2 sin 6x x sin 4 sin 6x x 0

cos cos 2 cos 3 sin sin 2 sin 3

2

c) cotx cos2x sinx  sin 2 cotx x cos cot x x

d) 43 sinx sin3x  3 cos2x cos 6x

e) 2 sin3x cos 2x cosx 0

f) 2 cos cos 2 cos 3x x x  5 7 cos2 x

g) sin (4 cos2x 2x 1) cos (sinx x cosx sin 3 ).x

h) cosx  3(sin 2x sin )x 4 cos 2 cosx x 2 cos2x  2 0

i)

2 2 2

(sin cos ) 2 sin 2

o) (tanx 1)sin2x cos 2x  2 3(cosx sin )sin x x

p) sin3x cos3x 3 sin2x 4 sinxcosx  2 0

q) sin 2x 3 cos 2x  3(sinx 3)7 cos x

r) 8(sin6x cos )6x 3 3 cos 2x 113 3 sin 4x 9 sin 2 x

s) sin 5 2 sin 3 2 cos 3

5

sin sin cos

t) 2 cos 2x sin2xcosx sin cosx 2x 2(sinx cos ).x

u) sinx sin2x sin3x sin4x  cosx cos2x cos3x cos 4x

Chương 2 : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

§ 1 CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN



 Qui tắc cộng

Ví dụ 1 Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức cơng bố danh sách

các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6

đề tài về văn hĩa Hỏi mỗi thí sinh cĩ bao nhiêu khả năng chọn đề tài ?

Giải:

Ví dụ 2 Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B cĩ thể đi bằng các phương tiện: ơ tơ, tàu hỏa hoặc

máy bay Mỗi ngày cĩ 10 chuyến ơ tơ, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay Hỏi cĩ bao

nhiêu cách lựa chọn chuyến đi từ tỉnh A đến tỉnh B ?

Giải:

Ví dụ 2 Lớp 11A cĩ 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu ra một lớp trưởng, một lớp phĩ và

một thủ quỹ Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp như trên ?