dai so hien dai

NỘI DUNG BÀI TẬP THỰC HIỆN PHẦN RIÊNG Bài 1:Câu 2 trang 47 chương I Chứng minh rằng nhóm G có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn có một phần tử là nghịch đảo của chính nó.. Bài 2:Câu

I DANH SÁCH HỌC VIÊN NHÓM 1:

II NỘI DUNG BÀI TẬP THỰC HIỆN

PHẦN RIÊNG

Bài 1:(Câu 2 trang 47 chương I)

Chứng minh rằng nhóm G có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn có một phần

tử là nghịch đảo của chính nó

Bài 2:(Câu 14 trang 48 chương I)

Chứng minh rằng mỗi nhóm abel với 6 phần tử là một nhóm xyclic

Bài 3:( Câu 15 trang 48 chương I)

cũng sinh ra G nếu và chỉ nếu k và m nguyên tố cùng nhau

Bài 4:(Câu 33 trang 50 chương I)

nhóm con chuẩn tắc

Bài 5:(Câu 1 trang 74 chương II)

CMR số các lớp kề trái của một nhóm con bất kỳ trong một nhóm hữu hạn bằng số các lớp kề phải

Bài 6:(Câu 13 trang 140 chương IV)

CMR mọi ảnh đồng cấu của một vành giao hoán (tương ứng: có đơn vị) là một vành giao hoán (tương ứng : có đơn vị)

Bài 7:(Câu 6 trang 200 chương V)

Chứng minh rằng:

( , ) ( , ) ( , ) 0

Z Z Z

Hom Z G G Hom Z Z Z Hom G Z

≅

≅

≅

Trong đó G là một Z- môđun hữu hạn bất kỳ

Bài 8:(Câu 7 trang 200 chương V)

Chứng minh rằng nếu p và q là các số nguyên tố cùng nhau thì

Z Z Z

Hom p q ≅

Bài 9:(Câu 21 trang 202 chương V )

Chứng minh rằng mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun xạ ảnh là xạ ảnh

Bài 10:(Câu 22 trang 202)

Chứng minh rằng nếu các số nguyên m và n nguyên tố cùng nhau thì môđun Z/m xạ ảnh nhưng không tự do trên vành Z/mn

PHẦN CHUNG

Bài 11 Cho R là một miền nguyên Chứng minh R là một môđun không xoắn trên

chính nó

Bài 12 Chứng minh rằng một Z môđun là đơn nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nhóm

Zp (p: nguyên tố)

III BÀI LÀM

PHẦN RIÊNG

Bài 1:(Câu 2 trang 47 chương I)

Chứng minh rằng nhóm G có 2n phần tử, ngoài phần tử đơn vị còn có một phần tử là nghịch đảo của chính nó.

Giải

G là nhóm nên trong G có phần tử đơn vị e, ta đi chứng minh trong G có phần

tử có cấp 2

e thì a có cấp lớn hơn 2 , a− 1 ∈G cũng có cấp lớn hơn 2 và a a≠ − 1, nên số phần tử có cấp lớn hơn 2 là số chẳn, suy ra nhóm G có số phần tử là số lẻ (mâu thuẩn số phần tử trong nhóm G là 2n) Vậy trong nhóm G phải tồn tại phần tử có cấp là 2 và số phần tử

có cấp là 2 là số lẻ, mà phần tử b trong G có cấp là 2 thì b2=e, suy ra b b= − 1 Suy ra trong nhóm G ngoài phần tử đơn vị còn có một phần tử là nghịch đảo của chính nó

Bài 2:(Câu 14 trang 48 chương I)

Chứng minh rằng mỗi nhóm abel với 6 phần tử là một nhóm xyclic.

Giải

Giả sử X là nhóm abel cấp 6 Ta chứng minh X có phần tử cấp 6 Lấy ,

a X a e∈ ≠ Nếu a có cấp khác 6 thì xảy ra một trong hai khả năng sau:

có cấp 3 Suy ra b có cấp là 6 hoặc 3 nếu b có cấp là 3 thì ab có cấp 6

vì ( )ab 6 =a b6 6 =a b2.3 2.3 =e e3 2 =e, mặt khác nếu ( )ab k =ethì

e= ab =a b =e b nên 2 3 à (2,3)=1 nên k 3k mM M

Tương tự kM 2 vậy kM 6 do đó cấp ab là 6

• a có cấp 3 , khi đó nhóm thương X/<a> có cấp 2 bởi vậy, nếu b ∉<a> thì

Vậy mọi trường hợp ta đều có trong X có phần tử cấp 6

Bài 3:(Câu 15 trang 48 chương I)

Chứng minh rằng nếu một nhóm xyclic G được sinh bởi phần tử a cấp m thì

k

a cũng sinh ra G nếu và chỉ nếu k và m nguyên tố cùng nhau.

Giải

a =e thì a kn=e nên

kn mM suy ra k n m

d Md vì k m, 1

d d

m n d

M vậy a k có cấp là m

d , a k sinh ra G khi và chỉ

Bài 4:(Câu 33 trang 50 chương I)

Giả sử S G≤ và a G∈ Gọi T a là phép thế xS a axS trên tập hợp G/S các lớp kề trái của S Chứng minh rằng tương ứng aa T a là một đồng cấu nhóm với hạt nhân

là nhóm con chuẩn tắc.

Giải

GH = HG









∈ =

⇒

∈ =

Chứng minh:

- Rõ ràng f là toàn ánh.

- Hx1 =Hx2 ⇒x x1 2∈H

( -1) 1 2 -1 1

1 2

H H

x x

x x

x x

−

⇒

⇒

⇒

∈

∈

Suy ra f là đơn ánh.

a a Ta: SG →GS

xS a axS

- f là đồng cấu nhóm

Thật vậy, a,b G, x G∀ ∈ ∀ ∈

a

T T ( )=T (T (x))

=T bxS =abxS =T (x), x G

x

∀ ∈

⇒T Tf(a).f(b)=f(ab)a b =Tab

⇒

a G

S

- er f = a G/ TK  id 

a (xS) xS

a G/ T xS, x G

a G/ a xS, x G

=

=

a G

Ker f = aSa

∈

I

∈

≤ I

Vì b Ker f ∈ ⇒bxS=xS, x G∀ ∈

⇒bxy=xy' y,y S'∈

Bài 5:(Câu 1 trang 74 chương II)

CMR số các lớp kề trái của một nhóm con bất kỳ trong một nhóm hữu hạn bằng số các lớp kề phải.

Giải

Cho X là một nhóm hữu hạn có n phần tử

Gọi A là một nhóm con bất kỳ của X,giả sử A có m phần tử

Giả sử A={x1,x2, ,x m}

{xx xx xx m}

xA X

∀

j

xx

j

Vậy xA có m phần tử

Vì X hữu hạn nên số các lớp kề trái xA cũng hữu hạn.Gọi k là số các lớp trái xA

Do các lớp rời nhau nên n=m.k.(1)

Gọi s là số các lớp kề phải Ax

Lý luận tương tự như trên ta có:n= m.s (2)

Vậy từ (1) & (2),suy ra k = s.(đpcm)

Bài 6:(Câu 13 trang 140 chương IV)

CMR mọi ảnh đồng cấu của một vành giao hoán (tương ứng: có đơn vị) là một vành giao hoán (tương ứng : có đơn vị).

Giải

Cho f : (X, + , • ) → (Y, + , • ) là đồng cấu vành

Ta có X là vành nên dễ dàng chương minh f(X) cùng với hai phép toán trên là một vành

i)Cho X là vành giao hoán.Chương minh f(X) là vành giao hoán.

2 2 1 1 2

2

1 ,y f(X) x1,x X : f(x ) y;f(x ) y

Ta có: y1 y2 = f(x1 ).f(x2 ) = f(x1 x2 ) = f(x2 x1 ) = f(x2 )f(x1 ) = y2 y1

Vậy f(X) giao hoán

ii)Cho X là vành có đơn vị là 1.Chương minh f(X) là vành có đơn vị.

y f x f f x f x f y X x X

f

y∈ ( ) ⇒ ∃ ∈ : = ( ) = ( 1 ) = ( 1 ) ( ) = ( 1 ).

) 1 ( ) 1 ( ).

( ) 1 ( ) (x f x f x f y f f

Từ (1) & (2) ta suy ra f(1) là phần tử đơn vị của f(X)

Bài 7:(Câu 6 trang 200 chương V)

Chứng minh rằng:

( , ) ( , ) ( , ) 0

Z Z Z

Hom Z G G Hom Z Z Z Hom G Z

≅

≅

≅

Trong đó G là một Z- môđun hữu hạn bất kỳ.

Giải

a) Chứng minh: Homz(Z,G) ≡ G

+ Rõ ràng f là đồng cấu

+ kerf = {a thuộc G / f(a) = 0}

= {a thuộc G / n.a = 0, với mọi n}

= {0}

Nên f đơn cấu

f(a)(n) = n.a = n.g(1) =g(n), với mọi n

Nên f toàn cấu

Do đó f đẳng cấu

Vậy HomZ(Z,G) ≡ G.

b) Chứng minh HomZ(Z,Z) ≡ Z

Xem G = Z như ở câu a, ta được điều phải chứng minh

c) Chứng minh HomZ(G,Z) = 0

giả sử tồn tại a thuộc G : f(a) = n ≠ 0

Ta có : 2a thuộc G nên f(2a) = 2.f(a) = 2n

3a thuộc G nên f(3a) = 3.f(a) = 3n

.tiếp tục quá trình đó

Vì G là nhóm hữu hạn nên tồn tại k,l : ka=la (k≠l)

Do đó f(ka) = f(la) hay kn =ln

Nên k = l (vô lý)

Vậy HomZ(G,Z) = 0

Bài 8:(Câu 7 trang 200 chương V)

Chứng minh rằng nếu p và q là các số nguyên tố cùng nhau thì

Z Z Z

Hom p q ≅ .

Giải

n +pZ f(n) + qZ

vì (p,q) = 1 nên tồn tại s,t thuộc Z ,ps+ qt =1

Khi đó f(1 +pZ) = f(ps +qt+pZ) = f(qt+pZ) = f(qt) + qZ

= q.f(t) + qZ

= qZ

Nên f( ) =

Bài 9:(Câu 21 trang 202 chương V )

Chứng minh rằng mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun xạ ảnh là xạ ảnh Giả thiết tổng trực tiếp : X = U + V của hai môđun U và V trên vành R là xạ ảnh Cần chứng minh U xạ ảnh.

Giải

Giả sử f : U B là một đồng cấu và g : A B là một toàn cấu tùy ý cho trước

Gọi j : U X là phép nhúng tự nhiên và p : X U là phép chiếu tự nhiên

Vì X xạ ảnh nên tồn tại một đồng cấu k : X A thỏa mãn g.k = f.p

Xét đồng cấu hợp thành :

h = k.j : U A

Vì p.j là tự đồng cấu đồng nhất của U nên ta được :

g.h = g.k.j = f.p.j =f

Ta đã chứng minh được tồn tại đồng cấu h thỏa: g.h = f

vậy U xạ ảnh ( theo định nghĩa môđun xạ ảnh)

Chứng minh môđun V xạ ảnh tương tự

Bài 10:(Câu 22 trang 202)

Chứng minh rằng nếu các số nguyên m và n nguyên tố cùng nhau thì môđun Z/m xạ ảnh nhưng không tự do trên vành Z/mn.

Giải

a) Trước hết ta chứng minh: Z/m × Z/n ≡ Z/mn

* Giả sử a và b là các phần tử sinh của Z/m và Z/n tương ứng Vì Z/m có cấp

m, Z/n có cấp n nên a có cấp m và b có cấp n

Có: mn.(a,b) = (mna, mnb) = (0,0) (phần tử 0) vì na = 0, mb = 0

Nếu có k thỏa : k.(a,b) = (0,0)

 (k.a, k.b) = (0,0)

 k.a = 0 và k.b = 0

 k chia hết cho m và k chia hết cho n

Vì m và n nguyên tố cùng nhau nên k chia hết cho m.n

Do đó (a,b) có cấp bằng m.n trong Z/m × Z/n Nhóm này có đúng m.n phần tử.Vây nó

là nhóm xyclic sinh bởi (a,b)

Với mọi k,h thuộc Z Có f(k +h) = (k +h).(a,b) = k.(a,b) + h.(a,b)

Nên f đồng cấu

Mọi phần tử của Z/m × Z/n đều được viết dưới dạng k.(a,b) nên ta luôn tồn tại k để k (a,b) = f(k)

Nên f: toàn cấu

Kerf = { k thuộc Z / f(k) = k.(a,b) = (0,0) }

= { k thuộc Z / k chia hết cho m.n }

= m.nZ

Theo định lý đồng cấu ta có: f(Z) ≡ Z/ Kerf hay Z/m × Z/n ≡ Z/mn

Vành Z/mn là một môđun tự do trên chính nó với cơ sở là {1} ( 1: đơn vị của Zmn) Như vây: Z/m × Z/n cũng là môđun tự do trên vành Z/mn

Vì mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun tự do là xạ ảnh

Vậy Z/m là xạ ảnh trên vành Z/mn

b) ta thấy mọi phần tử x thuộc Z/m đều bị ràng buộc bởi hệ thức: m.x = 0 (m

là phần tử thuộc vành Z/mn) Do đó trong Z/m không tồn tại cơ sở

vậy Z/m không tự do trên vành Z/mn

PHẦN CHUNG

Bài 11:

Cho R là một miền nguyên Chứng minh R là một môđun không xoắn trên chính nó.

Giải

Vì R là miền nguyên nên nó là vành có đơn vị nên R là là một môđun

Với mọi x∈M,x≠ 0 ,ta có:

) ( )

Do đó Ann(x) = {0} Vậy R là môđun không xoắn trên chính nó

Bài 12:

Chứng minh rằng một Z môđun là đơn nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nhóm

Z p (p: nguyên tố).

Giải

chỉ có 2 môđun con là {0} và M.)

Xét:f :M →Z P,p nguyên tố

s

Ta có

+ f là đồng cấu môđun Thật vậy,

∀m,n ∈ Ζ, m = s + pt, n = s, + pt, (s, s, ∈Z, t,t, ∈Z, 0≤ s,s, ≤p-1)

f(an+am) = f(a(m+n))=s+s,= s+s,= f(an) + f(am)

+ Ta biết Kerf là Z môđun con của M, suy ra

Kerf = 0 hoặc Kerf = M, vì M là Z môđun đơn

Vậy Kerf = 0 nên f là đơn ánh

+Rõ ràng f là toàn ánh

Do đó f là song ánh