SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 Khóa ngày: 23/6/2009 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức Q = 2 2 1 1 x x x x x x x − − − − + + với x > 0 1. Rút gọn biểu thức Q. 2. Tìm x để Q = 4. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q. Giá trị nhỏ nhất này đạt được khi x bằng bao nhiêu ? Câu 2 (1,5 điểm) Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + Câu 3 (2,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1. 2 2 3 2 1 4 2 1 x x x x + + = + 2. 2 2 1 2 12 1 16 x y y x  + + =   + =   Câu 4 (1,0 điểm) Cho phương trình: 2 2 sin cos 1 0x x− α + α − = với 0° < α < 90°. 1. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 , x 2 của phương trình không phụ thuộc vào tham số α . Câu 5 (1,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ; R) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh AB 2 + CD 2 = 4R 2 . Câu 6 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB, gọi S là điểm đối xứng của O qua A. Từ S vẽ hai tiếp tuyến SM, SN với đường tròn (O) (M và N là hai tiếp điểm). 1. Chứng minh tứ giác SMBN là hình thoi. 2. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lần lượt cắt SM, SN tại C và D. Chứng minh SA 2 = AC.SM. 3. Gọi (O’) là đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD và I là điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ » SC của (O’). Trên đoạn ID lấy điểm E sao cho IS = IE. Chứng minh khi I di động trên cung nhỏ » SC thì E luôn thuộc một cung tròn cố định. 4. Xác định vị trí điểm I sao cho tổng IS + IC có giá trị lớn nhất và tính giá trị này theo R. --------HẾT-------- 1 ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ CẦN THƠ MÔN: TOÁN (Hệ chuyên) Năm học: 2009 – 2010 CÂU 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức Q = 2 x x 2x x 1 x x 1 x − − − − + + với x > 0 a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm x để Q = 4. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q và khi đó giá trị của x là bao nhiêu? a) Q = x( x 1)(x x 1) x(2 x 1) 1 x x 1 x − + + − − − + + = x x 2 x 1 1− − + − = x 3 x− (+ +) b) Q = 4 x 3 x 4⇔ − = x 3 x 4 0⇔ − − = ( x 1)( x 4) 0⇔ + − = x 16⇔ = (+ +) c) Q = x 3 x− = 2 3 9 9 ( x ) 2 4 4 − − ≥ − Giá trị nhỏ nhất của Q là 9 4 − xảy ra khi x = 9 4 (+ +) CÂU 2. (1,5 điểm ) Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh : 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 3 x y z 3 xyz+ + ≥ ( + ) 3 1 1 1 1 3 x y z xyz + + ≥ ( + ) 3 1 1 1 xyz (x y z)( ) 9 x y z xyz ⇒ + + + + ≥ 1 1 1 (x y z)( ) 9 x y z ⇔ + + + + ≥ 1 1 1 9 x y z x y z ⇔ + + ≥ + + (+ + + +) CÂU 3. ( 2 điểm ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 2 2 3x 2x 1 4 2x 1 x + + = + b) 2 2 x 1 2y 12 y x 1 16  + + =   + =   2 a).(1đ) ĐK: x ≠ 0 (+) Đặt: 2 x t 2x 1 = + (1) Thay vào ta có pt: 2 1 3t 4 3t 4t 1 0 t + = ⇔ − + = Giải tìm đ ược: t 1 = 1 ; t 2 = 1 3 (+) Thay t 1 = 1 vào (1) có : 2 2 x 1 2x x 1 0 2x 1 = ⇔ − + = + (vô nghiệm) Thay t 2 = 1 3 vào (1) có : 2 2 x 1 2x 3x 1 0 2x 1 3 = ⇔ − + = + Giải tìm được : x 1 = 1 ; x 2 = 1 2 (+ +) b).(1đ ) 2 2 2 2 x 1 2y 12 x 1 2y 12 y x 1 16 2y x 1 32   + + = + + =   ⇔   + = + =     Đặt: x 1 u+ = ( u 0 ≥ ) 2y 2 = v ( v 0≥ ) Thay vào ta có hệ: u v 12 uv 32 + =   =  Giải hệ nầy tìm được: (u = 4; v = 8) , (u = 8; v = 4) (+) Với (u = 4; v = 8) tìm được: x 15 y 2 =   = ±  (+) Với (u = 8; v = 4) tìm được: x 63 y 2 =    = ±   (+) Trả lời: Hệ có bốn nghiệm: x 15 y 2 =   =  ; x 15 y 2 =   = −  ; x 63 y 2 =    =   ; x 63 y 2 =    = −   (+) CÂU 4. ( 1 điểm ) Cho phương trình : 2 x 2x sin cos 1 0− α + α − = , ( 0 0 0 90< α < ) a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b)Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 , x 2 của phương trình không phụ thuộc vào tham số α . a).(0,25đ) Ta có: 2 2 ' sin cos 1 sin (1 cos )∆ = α − α + = + − α > 0 (+) Vậy pt luôn có hai nghiệm x 1 và x 2 . b).(0,75đ) 3 B' D C B A O I D C S N M B A E OO' 1 2 1 2 x x 2sin x .x cos 1 + = α   = α −  (+) 1 2 1 2 x x sin 2 cos x .x 1 +  α =  ⇔   α = +  (+) 2 2 1 2 1 2 x x (x .x 1) 1 2 +   ⇒ + + =  ÷   ( do 2 2 sin cos 1α + α = ) (+) 2 2 1 2 1. 2 (x x ) 4(x x 1) 4⇔ + + + = CÂU 5. (1 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: AB 2 + CD 2 = 4R 2 . Kẻ đường kính BB’. Nối B’A, B’D, B’C. Ta có tứ giác ACB’D là hình thang (AC // B’D vì cùng vuông góc với BD). Hình thang nầy nội tiếp đường tròn (O) nên là hình thang cân, suy ra: CD = AB’. Do đó: AB 2 + CD 2 = AB 2 + AB’ 2 = BB’ 2 ( ABB'∆ vuông ở A). Vậy AB 2 + CD 2 = 4R 2 (+ + + +) CÂU 6. (3 điểm) Cho đường tròn ( O; R ), đường kính AB, gọi S là điểm đối xứng của O qua A. Từ S vẽ hai tiếp tuyến SM, SN với đường tròn (O) ( M và N là hai tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác SMBN là hình thoi. b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lần lượt cắt SM, SN tại C và D. Chứng minh: SA 2 = AC . SM. c) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD và I là điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ » SC . Trên đoạn ID lấy điểm E sao cho IS = IE. Chứng minh khi I di động trên cung nhỏ » SC thì E luôn thuộc một cung tròn cố định. d) Xác định vị trí điểm I sao cho tổng IS + IC có giá trị lớn nhất và tính giá trị nầy theo R. 4 a).(0,75đ) Lập luận chứng minh được MSN & MBN ∆ ∆ là hai tam giác đều, suy ra SM = SN = BM = BN suy ra tứ giác SMBN là hình thoi. (+ + +) b).(0,75đ) sin · · 0 OM R 1 OSM OSM 30 OS 2R 2 = = = ⇒ = · 0 CSD 60⇒ = Tiếp tục lập luận suy ra được tam giác SCD là tam giác đều từ đó suy ra AC = SC 2 SA 2 = SC 2 – AC 2 = SC 2 – CM 2 = (SC + CM)(SC – CM) = SM(SC – AC) = SM . AC (+ + +) c).(0,75đ) Lập luận được tam giác ISE là tam giác đều (+) Suy ra số đo · 0 SED 120= (+) Suy ra E thuộc cung chứa góc 120 0 dựng trên đoạn SD cố định. (+) Vậy E luôn thuộc một cung tròn cố định. d).(0,75đ) Lập luận chứng minh được : IS + IC = ID (+) Suy ra tổng IS + IC lớn nhất khi ID là đường kính của đường tròn (O’) (+) Suy ra vị trí của điểm I bằng cách vẽ đường kính DI ( hay I là điểm chính giữa của cung SC ) Lập luận tính được giá trị lớn nhất của tổng IS + IC = 4R 3 (+) ------------------------------------HẾT---------------------------------- Ghi chú: - Mỗi dấu + tương ứng với 0,25 điểm. - Mỗi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó. - Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số. 5 . --------HẾT-------- 1 ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ CẦN THƠ MÔN: TOÁN (Hệ chuyên) Năm học: 2009 – 2 010 CÂU. THƠ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2 010 Khóa ngày: 23/6/2009 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1