BỘ ĐỀ THI LUYỆN TẬP MÔN GIẢI TÍCH

Bộ đề thi luyên tập môn giải tích- Toán cao cấp

ĐỀ 11:

Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi x2 y2z22y, y x2z2

Câu 2: Trên mặt phẳng x y 2z0 tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó

27)

1(

)23)(

13

n

a

a

n

Câu 4 : Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

2 1

n n

n n

  hội tụ tuyệt đối

vậy miền hội tụ: 2 3 2 3

0.5 1 1.5 2

x y

Chia D thành 2 phần:

D1 là phần y x 2 (phía trên Pparrabol)

D2 là phần y x 2 (phía dưới Parabol)



Câu 7:

Tính tích phân mặt loại hai (2 )

S

I x y dydz , với S là phần mặt z x 2y2 bị cắt bởi mặt z4, phía trên theo hướng trục Oz

y D

S1: phía trước mp(0yz) x z y 2 và pháp vecto tạo với ox góc tù

S2: phía trước mp(0yz) x  z y 2và pháp vecto tạo với ox góc nhọn

Các em có thể làm đơn giản bài toán ngay từ đầu bằng cách:

Nhận xét S đối xứng qua oyz và hàm x(y,z)=y chẵn theo x và x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có:

Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa về tích phân đường loại 1

Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 rồi dùng công thức O-G

Cách 2 và 3 nhanh và hay hơn cách 1 Các em tự làm 2 cách sau nhé (dể thôi đừng lo)

khi x=2 => f y( )y36y8,y [ 1, 2]max 13, min 4 

khi y=-1 => f x( )x3 1 3x; f x'( ) 3 x23 vô nghiệm

khi y=2 => f x( )x3 8 6 ,x x(0, 2); f x'( ) 3 x26

=>x 2 f 2, 2 8 4 2

Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1)

Câu 3 : Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

1

( 1)1

n n

lim | n| 1 0

n u

   => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần

Câu 4 : Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

x

xdy dx ydy dx

Câu 6 : Tính tích phân bội ba

r r

 

Câu 7 : Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3

Ix dydz y dxdz z dxdy    x  y z dxdydz

Đổi sang toạ độ trụ:

4 [-2,1]

max z =-4e4 đạt tại (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1)

Câu 3 : Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

( 1) ( 1)

n n

n

u

n



 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Các em nhận xét xem đúng hay sai?

 

1 0

n n

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Đổi sang toạ độ trụ:

cossin

Miền được viết lại trong toạ độ trụ là: V

t t

Câu 2 : Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m 2bìa carton Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này

Vậy P là điểm cực đại

Và vì V liên tục trong góc phần tám thứ nhất và có duy nhất 1 điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn nhất tại P: MaxV=V(P)=4

Cách 2: Thế

122

xy z

Nhận xét: Không nghi ngờ gì nữa cách 2 hay hơn và gọn hơn cách 1 Nhưng các em nên nhớ đang học GT2 về cực trị và max-min Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức đã học vào những bài toán thực tế Bài này điển hình cho bài tìm max-min cho hàm 3 biến và miền không bị chặn rất hay

1 0 1

n n

*

3 2

Do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh

Vậy: miền hội tụ là: [-1,1]

I y dxdy y dxdy y dxdy

Vì E và C đối xứng qua Ox,Oy và hàm dưới dấu tích chẵn theo 2 biến x,y nên:

Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét:

S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y

ĐỀ 15

Câu 1: Cho f  f x y e(3  2, xy) Tính

2,

x x y

   Bài giải

1

n n

2 2 1

n n

Bài giải

2 2

n n n n

1

n n

n n

Dùng tiêu chuẩn D’Alembert dể thấy R=3

Câu 5: Tính tích phân max sin ,sin 

D

x y dxdy

 với D là miền 0 x ,0 y .Bài giải:

Chia D làm 4 miền bởi 2 đường thẳng y=x và x+y=Pi

f(x)=0 f(x)=x f(x)=Pi x(t)=0 , y(t)=t x(t)=Pi , y(t)=t f(x)=Pi-x

I  ydxdy ydxdy xdxdy ydxdy

Câu 6: Tính tích phân đường 2 2 2 2 2 2

9

y D

Bài giải

Gọi M(a,b,c) thuộc mặt phẳng 2x y3z  6 a 2b3c 6

2 2

Bài này dùng bất đẳng thức cosi nhanh hơn nhưng không liên quan đến bài học

Câu 3: Tính tổng 1

1

( 2)( 2) 7

n n

2 2

2 1

n f

S n

2 1 1

1

2 1 1

n

n n

n

n n

n

n

n x

n n

x

n n

        , trong đó D là miền phẳng giới

hạn bởi x  0, y  0, x  4sin , t y  3cos , t t   0, / 2   Bài giải :

Dùng toạ độ cực mở rộng:

2 2 2 1

3

0 0

312

I  zdx xdy ydz  dydz dxdz dxdy

Pháp véc tơ đơn vị của S: ( 1 ,0, 1 )

Gọi S là mặt dưới của E:

2

2 116

x y

4085

xy x xy x

'' 2

4 '' 2

4 ''

6

26

51

xy xx

xy yy

xy xy

Thế vào trên ta được: d L P2   6dx20

Vậy P là điểm cực đại

1 2 1

e n

f(x)=0 f(x)=3 x(t)=0 , y(t)=t x(t)=3 , y(t)=t f(x)=sqrt(x^2+2) Series 1

-0.5

0.5

1 1.5

2 2.5

3 3.5

 

' 2

Câu này không giải được Em nào can đảm thì cứ việc

Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 1

x x

x(t)=cos(t) , y(t)=1/sqrt(3)*sin(t) f(x)=x

f(x)=0

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Trên là diện tích cần tìm:

Đổi sang toạ độ cực mở rộng:

cos

3 1

(Để tìm cận dưới của, ta cho x=y suy ra tan= 3 r trong toạ độ cực

mở rộng của Elip luôn đi từ 0 đến 1)

1

0 3

0 2

Câu 2 : Tìm cực trị của hàm f x y z( , , ) 2 x6y10z với điều kiện

d L P

d L P



Vậy hàm f đạt cực đại tại P2(1,3,5) và cực tiểu tại P1(-1,-3,-5)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2

1( 1)n

Ta có:

( 1)n n

n  n

Suy ra chuỗi phân kỳ

Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của

0 1

1 2 0

(3 )( 1)

( 1)

13

( ) ( 1)

( 1)

n n

n

n

n n

2 0

n n

x(t)=1+cos(t) , y(t)=sin(t) x(t)=3+3cos(t) , y(t)=3sin(t) f(x)=-x

f(x)=x*sqrt(3)

-3 -2 -1

1 2 3

x

y

D

28

2 3 43

x y

(1 ost) 2 sin

2256

11

y z

x y z e x y z e z

z e

   

2 2

Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý giữa hàm và biến mới làm được cách 2

Câu 2: Tìm cực trị của hàm f x y z ( , , )   x 2 y  3 z với hai điều kiện

00

n n

n n

 hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz

Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1]

sin 3 sin cossin

0.2 0.4 0.6 0.8

x y

Mặt S kín nên ta dùng O-G suy ra tích phân bằng không

Ghi chú: Các em có thắt mắc gì mail cho Thầy: nguyenhuuhiep47@yahoo.com

( 1)

n n n

n

x n

A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ

Câu 7 Tính    ( ) 

C

I ydx z x dy xdz , với C là giao của x2y2 1 và z y  , chiều kim đồng 1

hồ theo hướng dương trục 0z

Câu 8 Tính tích phân mặt loại một    2 2

S

I x y dS, trong đó S là phần mặt nón z2 x2y2, nằm giữa hai mặt phẳng 0,z z 1

6.4.2

)12 (

5.3

Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu z R2x2y2nằm trong hình trụ x2y2 Rx

Câu 8 Tính tích phân mặt loại hai  3  3  3

S

I x dydz y dxdz z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi

2 2 2 4,  2 2

x y z z x y , phía trong

n x n

 dxdy với D là miền 1  x2+y2e2

Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Với h(y) vừa tìm, tính tích

L

dy y x Q y h dx y x P

)5(2)1

n n

x  y  từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ

Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y 2 x y2, 1,z0,z3x, lấy phần z  0

z







Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

2 1

1 4 9

n

n n

n ( 1)1.4

3.)1(

I x y dl , với C là nửa trên đường tròn x2y22y

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính  (  ) (2  ) 

Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f x y( , ) 1 4  x8 ; y x28y2 8

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

2 !n n n

n n







I x dS , với S là nửa trên mặt x2y2z24

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính  (3  2) (3  2) (3  2)

Câu 1. Tìm z z của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình 'x, 'y x3 y2 yz  ln z

Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f x y( , )x2y2x y2  trên miền 4 D{( , ) | | | 1,| | 1}x y x y 

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/

) 1 (

!)12 (

5.3.1

9.4

3 1

n n

I x y dydz y z dxdz z x dxdy , với S là phần mặt

paraboloid zx2y , bị cắt bởi 2 z 2 2x, phía dưới

Đề luyện tập số 9

Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của 2 2

1, if ( , ) (0, 0)( , )

n n

n

n x

Câu 5. Tính J= 

D dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x và các đường thẳng y = x, y = 0

Câu 6. Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi

I= h x y x x y dy y x y dx

AB

)(

)(

)( 2 2 2 2  2  2

I xdydz y z dxdz z y dxdy , với S là phần mặt

paraboloid x2y2z2 2x , phần z  , phía dưới 0

n n

không qua gốc O và không cắt trục tung

Câu 1 Vẽ khối  giới hạn bởi x2y2z22y, y x2z2

Câu 2 Trên mặt phẳng 2x y z tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó điểm hai mặt phẳng 0

x z  và y3z  là nhỏ nhất 2 0

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

2 1

n n

Câu 2 Tìm gtln, gtnn của f x y( , )x3 y33xy trên miền 0    x 2, 1 y 2

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:

1

( 1)1

n n

Câu 1. Tính f y'(0,1) của hàm f x y( , ) 3 2  x2y2 và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như

là hệ số góc của tiếp tuyến

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) xy

z  x  y e trên miền    2 x y 1

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

( 1) ( 1)

n n

I   xy dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 1  x2 y2  4.

Câu 6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi  2 22

x y  xy z x y z x

cầu x2y2z2  4

Đề luyện tập số 14

Câu 1. Vẽ khối  giới hạn bởi y 4 x2,y 1 x z2, 0,z2x

Câu 2. Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m2 bìa carton Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này

Câu 6. Tìm diện tích phần mặt cầu x2y2z218 nằm trong hình nón x2y2z2

Câu 7. Tính tích phân mặt loại một

 và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này

Câu 5. Tính tích phân max sin ,sin 

n n

y z  và mặt cầu x x2y2z2 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox 4

.Câu 7 Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3

dưới mặt cầu x2y2z22 ,x z 0

Đề luyện tập số 19

Câu 1 Vẽ khối  giới hạn bởi z 4 x x2, 2y22 ,y x   y z 2

Câu 2 Tìm cực trị của hàm f x y z( , , ) 2 x6y10z với điều kiện x2y2z235

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

2

1( 1)n

  và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này

Câu 5 Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2xx2y26 ,x yx 3,y  x 0

Câu 6 Tính tích phân đường 2

C

I y dl, C là cung Cycloid xa t( sin ),t ya(1 cos ),0 t  t 2

Câu 7 Tính tích phân mặt loại hai 2