Một số bài tập phần tấm vỏ - môn đàn hồi ứng dung
Trang 1Bài 1 Tấm chữ nhật tựa đơn chịu áp lực thủy tĩnh
Phương trình vi phân:
D
y x q y
w y
x
w x
4 2 2
4 4
4
=
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
(1)
Chọn hàm chuyển vị theo Navier:
b
y n a
x m A
w
m n
mn
π
π
sin sin
1 1
∑∑∞
=
∞
=
Khai triển q theo chuỗi Fourier:
b
y n a
x m q
y x q
m n
mn
π
π
sin sin
) , (
1 1
∑∑∞
=
∞
=
b
y n a
x m y
x q ab q
a b
mn = ∫∫
0 0
sin sin
) , (
(4)
Để xác định A mn, ta thế (3) và (2) vào (1) Sau khi biến đổi ta có:
0 sin
sin 2
1 1
4 2
2 4
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑∑∞
=
∞
y n a
x m D
q b
n b
n a
m a
m A
m n
mn mn
π π
π π
π π
Vì phương trình đúng với mọi x, y nên mỗi số hạng của chuỗi phải bằng 0:
0
2
2
2
2
2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
D
q b
n a
m
dxdy b
y n a
x m y
x q
b
n a
m D ab A
a b
0 0 2 2 2 2
2 4
π
π
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
Do tấm chịu tải trọng phân bố dạng tam giác nên:
a
x q y x
Thay (7) vào (6) ta tìm được
)]
1 ) ))(cos(
cos(
) [(sin(
4 1
2 2 2 2 2
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
b
n a m
q D
Do đó ta tìm được hàm chuyển vị cuối cùng
b
y n a
x m n
m m
m
b
n a m
q D
y
x
w
m n
π π
π π
π π
4 1
)
,
(
1 1
2 2 2 2 2
0
7 ∑∑∞
=
∞
=
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
=
Nhận xét:
Nếu lấy m = n =1, thì kết quả theo nghiệm Navier thu được là đối xứng Tuy nhiên bài toán không đối xứng do chịu tác dụng tải trọng phân bố dạng tam giác, nên kết quả này không tốt, mặt dù chuyển vị cực đại ít có sai số do chuỗi hội tụ nhanh
Nếu lấy m = n = 3, kết quả theo nghiệm Navier thu được hợp lý hơn Bởi vì phía chịu tải trọng lớn hơn thì chuyển vị phải lớn hơn Mặt khác kết quả này rất gần với nghiệm của phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000)
Trang 2BÀI TẬP 1 - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG TỰA ĐƠN CHỊU ÁP LỰC THỦY TĨNH-NGHIỆM NAVIER VÀ PTHH
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
NAVIER - m=n=1 NAVIER - m=n=3 SAP2000 - 8x8
BÀI TẬP 2 - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG NGÀM 2 CẠNH VÀ TỰA 2 CẠNH - CHỊU ÁP LỰC THỦY TĨNH - NGHIỆM LEVY VÀ PTHH
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
LEVY - m=1 LEVY - m=3 SAP2000 - 8x8
Trang 3Bài 2
Tấm 2 biên tựa (cạnh b) và 2 biên ngàm (cạnh a) chịu tác dụng tải trọng phân bố dạng tam giác theo cạnh a (áp lực thủy tĩnh)
Có thể được phân tích như sau:
Tấm 4 biên tựa chịu tác dụng tải trọng trọng phân bố dạng tam giác
theo cạnh a (áp lực thủy tĩnh), chọn hàm chuyển vị theo nghiệm Levy w 1
Tấm 4 biên tựa chịu tác dụng của môment phân bố tại các cạnh song song trục x Bài toán dạng đối xứng, nên chọn nghiệm đối xứng Chọn hàm
chuyển vị theo nghiệm Levy w 2
Do tấm ban đầu là ngàm nên w 1 và w 2 phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc là góc xoay tại biên ngàm của tấm thực phải bằng không, tức là:
dy
dw dy
−
2
b
y= ±
và hàm chuyển vị cuối cùng là w = w1 + w2ø
Thực hiện tính toán kết quả cuối cùng như sau:
) sin(
) ( )
(
)]
( 2
[ ) 1 ( ) sin(
) 1 ( 2
5 5
1 5
5
1 4
0
a
x m a
y m ch ch
m
th a
x m m
D
a
q
w
m
m m m
m
α π
α α
π π
+
−
−
−
) sin(
) ( )
(
) 1
(
5
5
1
a
x m a
y m sh a
y m ch
α π
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
+
−
−
+
−
−
)]
( 1
)(
( [
)]
( 1
)(
( [
) sin(
) (
) 1 (
5 5
1 4
0
a
y m sh a
y m a
y m ch th th
th
th th
a
x m ch
m
D
a
q
m m m m m
m
m m m
m
α α α
α
α α α
α
π α
π
Nhận xét:
Nếu lấy m = n =1, thì kết quả nghiệm theo Levy thu được là đối xứng Tuy nhiên bài toán không đối xứng do chịu tác dụng tải trọng phân bố dạng tam giác, nên kết quả này không tốt, mặt dù chuyển vị cực đại ít có sai số do chuỗi hội tụ nhanh
Nếu lấy m = n = 3, kết quả nghiệm theo Levy thu được hợp lý hơn Bởi
vì phía chịu tải trọng lớn hơn thì chuyển vị phải lớn hơn Mặt khác kết quả này rất gần với nghiệm của phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000)
Trang 4Bài 3
Tấm 3 biên tựa và 1 biên ngàm (cạnh a) chịu tác dụng tải trọng phân bố dạng tam giác theo cạnh a (áp lực thủy tĩnh) có thể được phân tích như sau:
Tấm 4 biên tựa chịu tác dụng tải trọng trọng phân bố dạng tam giác
theo cạnh a (áp lực thủy tĩnh), chọn hàm chuyển vị theo nghiệm Levy w 1
Tấm 4 biên tựa chịu tác dụng của môment phân bố tại 1 cạnh song song trục x Bài toán dạng tổng quát, phải phân thành nghiệm đối xứng và
phản xứng Chọn hàm chuyển vị theo nghiệm Levy w 2
Phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc là góc xoay tại biên ngàm của tấm thực phải bằng không Tức là:
dy
dw dy
dw1 2
−
= Tại biên
2
b
y= ±
Và hàm chuyển vị cuối cùng là w=w1 +w2ø
Thực hiện tính toán kết quả cuối cùng như sau:
) sin(
) ( ) (
)]
( 2 [ ) 1 ( ) sin(
) 1 (
2
5 5 1 5
5
1 4
0
a
x m a
y m ch ch
m
th a
x m m
D
a
q
w
m
m m m
m
α π
α α π
π
+
−
−
−
) (
) 1 ( 5 5 1
a
x m a
y m sh a
y m ch
m m
α π
+
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
+
−
−
− +
−
+
−
−
) (
) ( )
( ) ( )
(
) ( )
( ) (
] 2 ) ( ) ( )
( ) ( [
)]
( 1
)(
( [
) sin(
) 1 (
2 2
5 5
1 4
0
m
m m
m
m m
m m m
m m m
m
m m m
m m
m
sh
a
y m ch a
y m a
y m sh cth ch
a
y m sh a
y m a
y m ch th
cth cth
th th
th th
a
x m m
D
a
q
α
π π
π α
α α
π π
π α
α
α α α
α α α
α
α α α
α π
π
BÀI TẬP 3 - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG NGÀM 1 CẠNH VÀ TỰA
3 CẠNH - CHỊU ÁP LỰC THỦY TĨNH - NGHIỆM LEVYVÀ PTHH
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
LEVY - m=1 LEVY - m=3 SAP2000 - 8x8
Trang 5CHƯƠNG 9
Bài 4
Tấm chữ nhật các biên tựa đơn, chịu tải trọng phân bố đều Dùng phương pháp Ritz tìm chuyển vị
Chọn hàm chuyển vị như sau:
b
y n a
x m C
y x w
m n
mn
π
π
sin sin
) , (
1 1
∑∑∞
=
∞
=
=
y
w x
w D
U
0 0
2
2 2 2 2
1
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
Công ngoại lực A qw dxdy
a b
∫∫
=
0 0
Thế năng toàn phần ∏=U −A
Dùng nguyên lý Lagrange, các tham số Cmn sẽ được xác định dựa vào điều kiện dừng của thế năng biến dạng toàn phần:
2 2 2 6
4 4 11
22 21 12
) (
16
0
b a D
q b a C
C C
C
+
=
=
=
=
π
Hàm chuyển vị cuối cùng
b
y a
x b
a D
q b a
16
2 2 2 6
4 4 +
=
Nhận xét:
Nếu lấy m = n =2, thì kết quả nghiệm theo Ritz thu được tương đối gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) - sai số lớn nhất 2.3%
BÀI TẬP 4 - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG TỰA ĐƠN CHỊU TẢI PHÂN
BỐ ĐỀU - NGHIỆM RITZ VÀ PTHH
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
RITZ - m=n=2 SAP2000 - 8x8 SAP2000 - 16x16 SAP2000 - 32x32
Bài 5
Trang 6Tấm chữ nhật các biên ngàm, chịu tải trọng phân bố đều Chọn hàm chuyển vị như sau: ( , ) ( 1 cos2 )( 1 cos2 )
y n a
x m C
y x w
m n
mn
π
−
=∑∑∞
=
∞
=
Thế năng biến dạng của tấm: dxdy
y
w x
w D
U
0 0
2 2 2 2 2
1
∫ ∫⎜⎜⎝⎛∂∂ +∂∂ ⎟⎟⎠⎞
=
Công ngoại lực: A qw dxdy và Thế năng toàn phần
a b
∫∫
=
0 0
∏=U −A
Dùng nguyên lý Lagrange, các tham số Cmn sẽ được xác định:
) 35100 400
3000 17965
35100 45662
400 3000
17965 (
) 80 80
7146 760
5027 760
5027 ( 4
1
10 6 16
2 14 4
12
6 10 8
8 16
14 2 12
4
12 12
6 6 2
10 4
8 10
2 8
4 4
4 4
11
a b b
a b a
b
a b a
b a
a b a
b
a b
a b a
b a
b a
b a
b q b a
D
C
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
π
) 35100 400
3000 17965
35100 45662
400 3000
17965 (
) 5 80 624
80 557
40 302
( 4
1
10 6 16
2 14 4
12
6 10 8
8 16
14 2 12
4
12 12 6
6 2
10 4
8 10
2 8
4 4
4 4
12
a b b
a b a
b
a b a
b a
a b a
b
a b a
b a
b a
b a
b a
b q b a
D
C
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
π
) 35100 400
3000 17965
35100 45662
400 3000
17965 (
) 80 5
624 40
302 280
557 ( 4
1
10 6 16
2 14 4
12
6 10 8
8 16
14 2 12
4
12 12
6 6 2
10 4
8 10
2 8
4 4
4 4
21
a b b
a b a
b
a b a
b a
a b a
b
a b
a b a
b a
b a
b a
b q b a
D
C
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ +
+
=
π
) 35100 400
3000 17965
35100 45662
400 3000
17965 (
) 80 80
546 520
1487 520
1487 ( 64
1
10 6 16
2 14 4
12
6 10 8
8 16
14 2 12
4
12 12
6 6 2
10 4
8 10
2 8
4 4
4 4
22
a b b
a b a
b
a b a
b a
a b a
b
a b
a b a
b a
b a
b a
b q b a D
C
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
π
BÀI TẬP 5 - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG NGÀM CHỊU TẢI
PHÂN BỐ ĐỀU - NGHIỆM RITZ VÀ PTHH
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
RITZ - m=n=2 SAP2000 - 8x8 SAP2000 - 16x16 SAP2000 - 32x32
Nhận xét:
Nếu lấy m = n =2, thì kết quả nghiệm theo Ritz thu được tương đối gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) - sai số lớn nhất 3.1%
Bài 6
Trang 7Tấm chữ nhật 2 biên ngàm( cạnh b) 2 biên khớp ( cạnh a), chịu tải trọng phân bố đều Dùng phương pháp Ritz tìm chuyển vị
Chọn hàm chuyển vị như sau:
b
y n a
x m C
y x w
m n
mn
π π
sin )
2 cos 1 ( )
, (
1 1
−
=∑∑∞
=
∞
=
Thế năng biến dạng của tấm: dxdy
y
w x
w D
U
0 0
2 2 2 2 2
1
∫ ∫⎜⎜⎝⎛∂∂ + ∂∂ ⎟⎟⎠⎞
=
Công ngoại lực: A qw dxdy
a b
∫∫
=
0 0
Thế năng toàn phần: ∏=U −A
Dùng nguyên lý Lagrange, các tham số Cmn sẽ được xác định dựa vào điều kiện dừng của thế năng biến dạng toàn phần:
) 1096 5
1072 2560
120 (
16 8
( 8
) 1096 5
1072 2560
120 (
256 32
( 8 0
8 8
4 4 2
6 6
2 5
) 4 4 2 2 4 4 21
8 8
4 4 2
6 6
2 5
) 4 4
2 2 4 4 11
22 12
b a
a b a
b a
b D
b a b a q b a C
b a
a b a
b a
b D
b a
b a q b a C
C
C
+ + +
+
+ +
=
+ + +
+
+ +
=
=
=
π π
Hàm chuyển vị cuối cùng
b
y n a
x m C
y
x
w
m n
mn
π π
sin )
2 cos 1 ( )
,
(
2 1 2 1
−
=∑∑
= =
BÀI TẬP 6 - CHUYỂN VỊ TẤM VUÔNG NGÀM 2 CẠNH VÀ
TỰA 2 CẠNH - CHỊU TẢI PHÂN BỐ ĐỀU - NGHIỆM RITZ
VÀ PTHH
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
RITZ - m=n=2
SA P2000 - 8x8
SA P2000 - 16x16
Nhận xét:
Nếu lấy m = n =2, thì kết quả nghiệm theo Ritz thu được rất gần với nghiệm phương pháp phần tử hữu hạn (SAP2000) - sai số lớn nhất 1.3%
Trang 8Nhận xét chung:
- Độ hội tụ của phương pháp phần tử hữu hạn nhanh Chia lưới 8x8 phần tử và chia lưới 32x32 phần tử cho tấm thì kết quả gần như bằng nhau Với tấm chịu tải trọng ít thay đổi thì việc chia lưới thô hơn vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết
- Nghiệm chuỗi dạng giải tích theo Navier hoặc Levy cho kết quả rất tốt và độ hội tụ nhanh, tuy nhiên nếu chỉ lấy một số hạng duy nhất thì luôn đối xứng nên không phản ánh được thực tế bài toán
- Độ chính xác của phương pháp Ritz phụ thuộc nhiều vào độ dài của chuỗi hàm chuyển vị Các bài tập 4, 5, 6 có giải thử khi lấy m = n = 1 nhưng kết quả này rất kém chính xác, khi m = n =2 thì kết quả tương đối chính xác hơn