Luận văn thạc sĩ toán học vành, trường bậc hai và ứng dụng

Lời nói đầu Trong lý thuyết số đại số, một tr-ờng bậc hai đ-ợc hiểu là một tr-ờngcon của tr-ờng số phức C đồng thời là một mở rộng bậc hai của tr-ờng số hữu tỷ Q tức là một Q-không gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

Mục lục 1

Lời nói đầu 3

1 Kiến thức cơ bản về mở rộng vành và tr-ờng 5 1.1 Kiến thức cơ bản 5

1.2 Mở rộng vành và tr-ờng 8

2 Vành và tr-ờng bậc hai 13 2.1 Tr-ờng bậc hai 13

2.2 Vành bậc hai và vành các số nguyên đại số 21

3 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 31 3.1 Sử dụng tr-ờng bậc hai 31

3.2 Sử dụng chuẩn trong vành bậc hai 32

3.3 Sử dụng phân tích duy nhất trong vành bậc hai 36

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

1

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trờng Đại học Khoa học

-Đại học Thái Nguyên, tôi đ-ợc nhận đề tài nghiên cứu \Vành, tr-ờng bậchai và ứng dụng" d-ới sự h-ớng dẫn của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Đếnnay, luận văn đã đ-ợc hoàn thành Có đ-ợc kết quả này là do sự dạy bảo

và h-ớng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc tới Cô và gia đình!

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đàotạo và Khoa Toán - Tin của Tr-ờng Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tậptại Tr-ờng và trong thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn này Sự giúp

đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các thày cô giáo, các cán bộ thuộcPhòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những

ấn t-ợng tốt đẹp

Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh, đặc biệt là Trungtâm HN&GDTX tỉnh - nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi

để tôi hoàn thành khóa học này

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viên tronglớp cao học Toán K7Q (Khóa 2013-2015) đã quan tâm, tạo điều kiện, cổ

vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Lời nói đầu

Trong lý thuyết số đại số, một tr-ờng bậc hai đ-ợc hiểu là một tr-ờngcon của tr-ờng số phức C đồng thời là một mở rộng bậc hai của tr-ờng số

hữu tỷ Q (tức là một Q-không gian véc tơ chiều 2) Nh- vậy, nếu K là tr-ờng bậc hai thì tồn tại một hệ {α1, β} ⊆ K (gọi là một cơ sở của K)

sao cho mỗi phần tử của K đều biểu diễn đ-ợc một cách duy nhất dạng

aα + bβ với a, b ∈ Q Với suy nghĩ t-ơng tự, ng-ời ta giới thiệu khái niệm

vành bậc hai, đó là một vành con của C đồng thời là một mở rộng bậc

hai của vành số nguyên Z Cụ thể, nếu D là vành bậc hai thì tồn tại một

hệ {α, β} ⊆ D (gọi là một cơ sở của D) sao cho mỗi phần tử của D đều biểu diễn đ-ợc một cách duy nhất dạng aα + bβ với a, b ∈ Z Các vành và

tr-ờng bậc hai đã đ-ợc quan tâm và nghiên cứu một cách sâu sắc với nhiềuứng dụng quan trọng trong toán sơ cấp Chẳng hạn, chúng ta có thể dùngvành và tr-ờng bậc hai để chứng minh rằng không thể dựng bằng th-ớc kẻ

và compa số thực 3

√

2, không thể \cầu ph-ơng một hình tròn" (dựng mộthình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho tr-ớc)

Mục tiêu đầu tiên của luận văn là nghiên cứu các tr-ờng bậc hai và cácvành bậc hai Mục tiêu tiếp theo là làm rõ cấu trúc của vành các số nguyên

đại số trong một tr-ờng bậc hai, chúng tôi chỉ ra rằng đây là một loại vànhbậc hai rất đặc biệt Chẳng hạn, các iđêan của nó đều có một hệ sinh gồmmột hoặc hai phần tử, mỗi phần tử của nó đều có sự phân tích thành nhân

tử bất khả quy Chúng tôi cũng chỉ ra một số lớp vành bậc hai có sự phântích duy nhất Mục tiêu thứ ba của luận văn là áp dụng những kết quả vềvành và tr-ờng bậc hai để giải quyết một số dạng bài toán sơ cấp

Luận văn đ-ợc viết chủ yếu dựa theo 4 tài liệu sau đây

1 Daniel A Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977.

2 J Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998.

3 David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests,

GNU Free Documentation License, October, 2007

4 Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition).

Phần mở rộng vành và tr-ờng đ-ợc tham khảo từ các tài liệu 1 và 2.Khái niệm và một số kết quả về vành và tr-ờng bậc hai đ-ợc tham khảo từtài liệu 1 Phần ứng dụng giải toán sơ cấp trong Ch-ơng 3 đ-ợc tham khảo

từ tài liệu 3, 4 và một tài liệu về toán sơ cấp của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ.Luận văn chia làm 3 ch-ơng Ch-ơng 1 trình bày những kiến thức cơbản về vành, tr-ờng, đồng cấu, mở rộng tr-ờng, cơ sở và bậc của mở rộngvành và tr-ờng, số đại số, số nguyên đại số Trong Ch-ơng 2, chúng tôichỉ ra cấu trúc của tr-ờng bậc hai, vành bậc hai, vành các số nguyên đại sốtrong tr-ờng bậc hai, iđêan trong vành bậc hai, sự phân tích duy nhất trongvành bậc hai Ch-ơng 3 trình bày những ứng dụng của vành và tr-ờng bậchai trong việc giải toán sơ cấp Ch-ơng chia làm 3 tiết nhỏ Tiết 3.1 là cácbài toán giải đ-ợc bằng cách sử dụng tr-ờng bậc hai Tiết 3.2 là các bàitoán sử dụng chuẩn trong vành bậc hai Tiết 3.3 dành để trình bày các bàitoán sử dụng sự phân tích duy nhất trong vành bậc hai

Ch-ơng 1

Kiến thức cơ bản về mở rộng vành và tr-ờng

1.1 Kiến thức cơ bản

Để bắt đầu chúng ta sẽ nhắc lại các định nghĩa cơ bản sau

1.1.1 Định nghĩa Một vành là một tập V cùng với 2 phép toán + (phép

cộng) và (phép nhân) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Phép cộng kết hợp: ∀x, y, z ∈ V ta có (x + y) + z = x + (y + z).

(ii) Có phần tử không: ∃0 ∈ V sao cho ∀x ∈ V ta có 0 + x = x + 0 = x (iii) Có phần tử đối: ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0 (iv) Phép cộng giao hoán: ∀x, y ∈ V ta có x + y = y + x.

(v) Phép nhân kết hợp: ∀x, y, z ∈ V ta có (xy)z = x(yz).

(vi) Có phần tử đơn vị: ∃1 ∈ V sao cho 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ V

(vii) Tính phân phối: ∀x, y, z ∈ V sao cho x(y + z) = xy + xz.

Vành V gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có tính giao hoán, tức là

ab = ba với mọi a, b ∈ V Cho V là một vành Một tập con A của V đ-ợc

gọi là một vành con của V nếu 2 phép toán trong vành V là đóng trong A (tức là a + b, ab ∈ A với mọi a, b ∈ A) và A cùng với hai phép toán cảm

sinh là một vành

1.1.2 Ví dụ (i) Tập hợp các số nguyên Z với phép cộng và phép nhân thông

5

th-ờng là vành giao hoán, gọi là vành các số nguyên T-ơng tự ta có vành

các số hữu tỷ Q, vành các số thực R, vành các số phức C

(ii) Tập Zn = {¯x | x ∈ Z} các số nguyên modulo n là một vành với phép

cộng và phép nhân nh- sau: ¯x + ¯ y = x + y và ¯ x¯ y = xy với mọi ¯ x, ¯ y ∈ Z n.Vành Zm đ-ợc gọi là vành các số nguyên modulo m hay vành các lớp thặng

V [x] đ-ợc gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong V

1.1.3 Định nghĩa Cho V là một vành Tập con I của V đ-ợc gọi là một

iđêan của V nếu các điều kiện sau thỏa mãn

(i) Phép cộng đóng trong I, tức là x + y ∈ I, ∀x, y ∈ I.

(ii) I chứa phần tử không: 0 ∈ I.

(iii) Có phần tử đối: −x ∈ I với mọi ∀x ∈ I.

(iv) ax, xa ∈ I với mọi a ∈ I, x ∈ V

1.1.4 Ví dụ (i) 0 = {0} là iđêan bé nhất và V là iđêan lớn nhất của V

(ii) I là iđêan của vành Z khi và chỉ khi I có dạng nZ với n ∈ N.

Cho V là một vành Phần tử a ∈ V đ-ợc gọi là phần tử khả nghịch nếu tồn tại b ∈ V sao cho ab = 1 Chú ý rằng nếu I là iđêan của V thì các phát

biểu sau là t-ơng đ-ơng:

(i) I = V ;

(ii) I chứa một phần tử khả nghịch;

(iii) I chứa phần tử đơn vị.

1.1.5 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành V Với x ∈ V, đặt x + I =

{x + a | a ∈ I} Ta gọi x + I là lớp ghép trái của I ứng với x Chú ý rằng x + I = y + I khi và chỉ khi x − y ∈ I Đặt V /I = {x + I | x ∈ V }

là tập các lớp ghép trái của I Khi đó V /I là một vành với phép cộng (x + I) + (y + I) = (x + y) + I và phép nhân (x + I)(y + I) = xy + I Vành V /I đ-ợc gọi là vành th-ơng của V ứng với I.

Chẳng hạn, vành th-ơng Z/mZ của vành Z theo iđêan mZ chính là vành

Zm các số nguyên modulo m.

1.1.6 Định nghĩa Một ánh xạ f từ vành V vào vành V0 đ-ợc gọi là một

đồng cấu vành nếu f bảo toàn các phép toán, nghĩa là

f (x + y) = f (x) + f (y) và f (xy) = f (x)f (y)

với mọi x, y ∈ V Một đồng cấu từ vành V vào V đ-ợc gọi là một tự đồng

cấu của V Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) đ-ợc

gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Nếu f là một tự đồng cấu và là song

ánh thì ta nói f là một tự đẳng cấu.

1.1.7 Ví dụ (i) Giả sử A là một vành con của vành V Khi đó ánh xạ

nhúng i A : A → V xác định bởi i A (x) = x là một đơn cấu, gọi là đơn cấu

chính tắc hay đơn cấu nhúng.

(ii) Giả sử I là một iđêan của vành V Khi đó ánh xạ p : A → V /I xác

định bởi: p(x) = x + I là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc hay phép

chiếu tự nhiên.

1.1.8 Định nghĩa (i) Cho V là một vành giao hoán Phần tử a ∈ V đ-ợc

gọi là một -ớc của không nếu a 6= 0 và tồn tại b ∈ V, b 6= 0 sao cho ab = 0.

(ii) Một vành giao hoán khác {0} và không có -ớc của không đ-ợc gọi là

một miền nguyên.

(ii) Một tr-ờng là một vành giao hoán khác 0 và mọi phần tử khác 0 đều

khả nghịch Cho K là một tr-ờng và T là một tập con khác rỗng của K

ổn định với hai phép toán trong K Ta nói T là một tr-ờng con của K nếu

T cùng với hai phép toán cảm sinh từ K cũng là một tr-ờng.

Z là miền nguyên, Q, R, C là tr-ờng Chú ý rằng mỗi tr-ờng là một

miền nguyên, và mỗi miền nguyên hữu hạn là một tr-ờng Tuy nhiên miềnnguyên vô hạn không nhất thiết là tr-ờng, chẳng hạn nh- miền nguyên Z.Chú ý rằng mỗi tr-ờng có đúng hai iđêan là {0} và chính nó Tổng quát

hơn, nếu V 6= {0} là vành giao hoán thì các phát biểu sau là t-ơng đ-ơng: (i) V là một tr-ờng;

(ii) V chỉ có đúng hai iđêan là {0} và V

(iii) Mọi đồng cấu từ V đến một vành giao hoán khác {0} đều là đơn cấu.

1.2 Mở rộng vành và tr-ờng

1.2.1 Định nghĩa (i) Cho F là một tr-ờng và K là một tr-ờng chứa F

Khi đó F ⊂ K đ-ợc gọi là một mở rộng tr-ờng và ta nói K là một mở

rộng của tr-ờng F Mở rộng tr-ờng F ⊂ K đ-ợc kí hiệu là K/F

(ii) Cho A là một vành và V là một vành chứa A Khi đó A ⊂ V đ-ợc gọi

là một mở rộng vành và ta nói V là một mở rộng của vành A Mở rộng vành A ⊂ V đ-ợc kí hiệu là V /A.

Chú ý rằng nếu A là vành con của vành V và A 6= V thì A không bao giờ là iđêan của V Vì thế chúng ta không sợ nhầm lẫn giữa kí hiệu của

mở rộng vành V /A với kí hiệu cho một vành th-ơng nào đó của V

1.2.2 Ví dụ (i) Q ⊂ C, Q ⊂ R, R ⊂ C là các mở rộng tr-ờng.

(ii) Z ⊂ Q, Z ⊂ R, R ⊂ C là các mở rộng vành.

(iii) Cho F là tr-ờng và F [x] là vành đa thức Đặt

F (x) = {f (x)/g(x) | f (x), g(x) ∈ F [x], g(x) 6= 0},

trong đó f (x)/g(x) = h(x)/k(x) chỉ nếu f (x)k(x) = g(x)h(x) Khi đó

F (x) là một tr-ờng, gọi là tr-ờng các phân thức hữu tỷ một biến x với hệ

số trong F Anh xạ j : F → F (x) cho bởi j(a) = a là một đơn cấu Vì

thế ta có thể đồng nhất mỗi phần tử a ∈ F với phân thức hằng a/1 ∈ F (x) Khi đó ta có F ⊂ F (x) là một mở rộng tr-ờng.

1.2.3 Định nghĩa (i) Cho K/F là một mở rộng tr-ờng Khi đó K có cấu

trúc không gian vectơ trên tr-ờng F với phép cộng trong K và phép nhân vô h-ớng suy ra từ phép nhân của K Một cơ sở của F -không gian véctơ

K đ-ợc gọi là cơ sở của mở rộng tr-ờng K/F

(ii) Bậc của mở rộng tr-ờng K/F là chiều của F -không gian véctơ K, kí hiệu là [K : F ] Nếu [K : F ] hữu hạn thì ta gọi K/F là mở rộng hữu hạn.

1.2.4 Ví dụ (i) Xét mở rộng tr-ờng C/R Ta biết rằng mọi phần tử của C

đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng a + bi với a, b ∈ R Do đó {1, i} là một cơ

sở của C/R Suy ra [C : R] = 2.

(ii) Đặt Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q} Khi đó Q[i] là một tr-ờng chứa Q Vì thế Q[i]/Q là một mở rộng tr-ờng và {1, i} là một cơ sở của mở rộng này Suy ra [Q[i] : Q] = 2.

siêu việt là hệ con vô hạn của R và hệ này độc lập tuyến tính trên Q

(v) Với K(x) là tr-ờng các phân thức một biến x với hệ số trong K, mở rộng K(x)/K là mở rộng vô hạn vì hệ {1, x, , x n , } là một hệ con vô

hạn của K(x) và hệ này độc lập tuyến tính trên K.

1.2.5 Mệnh đề Cho K2/K1 và K3/K2 là các mở rộng hữu hạn, trong đó

c ij ∈ K1 Do đó S3 là hệ sinh của K1-không gian vectơ K3

Ta chứng minh S3 độc lập tuyến tính Xét một ràng buộc tuyến tính của

a ij e i = 0 với mọi j Mặt khác do S1 độc lập tuyến tính nên a ij = 0

với mọi i, j Vậy S3 độc lập tuyến tính

Cho E/K là mở rộng tr-ờng và α1, , α n ∈ E Kí hiệu K[α1, , α n] là

giao của các vành con của E chứa K và α1, , α n Khi đó K[α1, , α n]

là vành con bé nhất của E chứa K và α1, , α n T-ơng tự, kí hiệu

1.2.6 Ví dụ (i) Ta có Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q} là vành con bé nhất của

C chứa Q và i Hơn nữa, dễ kiểm tra đ-ợc Q[i] cũng là một tr-ờng, vì thế

nó là tr-ờng con bé nhất của C chứa Q(i) và

√

2 Do đó Q(i,

1.2.7 Định nghĩa Cho V0/V là một mở rộng vành Giả sử S là một hệ

con của V0 thỏa mãn tính chất: Mỗi phần tử u ∈ V0 đều đ-ợc biểu diễn

một cách duy nhất d-ới dạng u = a1s1 + + a n s n , trong đó n ∈ N,

s∈S

V s

và ta gọi S là một cơ sở của mở rộng vành V0/V Chú ý rằng nếu mở rộng

tr-ờng hợp này, lực l-ợng của một cơ sở của mở rộng V0/V đ-ợc gọi là

của mở rộng vành V0/V là n nếu tồn tại hệ {e1, , e n} các phần tử của

V0 sao cho mỗi phần tử u ∈ V0 đều đ-ợc viết một cách duy nhất d-ới dạng

Trong tr-ờng hợp này, hệ {e1, , e n } là một cơ sở của mở rộng vành V0/V

và ta viết

1.2.8 Ví dụ (i) Vành Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} là một mở rộng bậc 2 của

vành Z, một cơ sở của mở rộng này là {1, i} vì mọi phần tử của Z[i] đều

đ-ợc viết duy nhất d-ới dạng a + bi với a, b ∈ Z Do đó ta có Z[i] = Z ⊕ Zi.

√

2, 3

√4} vì mọi phần tử củaZ[ 3

Chú ý rằng mỗi mở rộng tr-ờng luôn có cơ sở vì mỗi không gian véc tơ

đều có cơ sở Tuy nhiên, điều này không đúng đối với mở rộng vành

1.2.9 Ví dụ Tồn tại những mở rộng vành không có cơ sở, chẳng hạn

nh-mở rộng vành Q/Z.

Chứng minh Giả sử mở rộng vành Q/Z có một cơ sở Gọi S ⊆ Q là

một cơ sở của mở rộng Q/Z Chú ý rằng 0 / ∈ S vì nếu ng-ợc lại ta có

0 = 1.0 = 2.0 là hai biểu diễn khác nhau của 0 qua cơ sở S (điều này không thể xảy ra do tính duy nhất của biểu diễn) Nếu S có nhiều hơn 1 phần tử thì ta lấy s1 6= s2 ∈ S Với i = 1, 2, viết s i = p i /q i là biểu diễn của s i thành

phân số tối giản, trong đó q i 6= 0 Khi đó p1p2 = p2q1(p1/q1) = p2q1s1 và

p1p2 = p1q2(p2/q2) = p1q2s2 Do tính biểu diễn duy nhất của p1p2 qua cơ

sở S nên ta có p2q1 = 0 Suy ra p2 = 0 và do đó s2 = 0, điều này không thể xảy ra (do 0 / ∈ S theo chứng minh trên) Do đó S gồm đúng một phần

tử Giả sử S = {s} với s = p/q là phân số tối giản, p, q ∈ Z, p, q 6= 0 Vì

1

2q ∈ Q nên nó biểu diễn đ-ợc qua S Suy ra 1

2q = n(p/q) với n ∈ Z Vì thế q = 2qnp Suy ra 1 = 2np, điều này vô lí.

Ch-ơng 2

Vành và tr-ờng bậc hai

Mục tiêu của ch-ơng này là nghiên cứu các tr-ờng bậc hai và các vành bậchai Ta hiểu các tr-ờng bậc hai (các vành bậc hai) t-ơng ứng là các tr-ờngcon của C chứa Q (vành con của C chứa Z) sao cho nó là mở rộng tr-ờngbậc hai của Q (mở rộng vành bậc hai của Z)

2.1 Tr-ờng bậc hai

Tr-ớc khi định nghĩa khái niệm tr-ờng bậc hai, chú ý rằng Q là tr-ờngcon bé nhất của C Vì thế mỗi tr-ờng con của C đều chứa Q Thật vậy,

giả sử K là một tr-ờng con của C Khi đó 1 ∈ K và 0 ∈ K Suy ra

n = 1 + 1 + + 1 ∈ K với mọi số nguyên d-ơng n > 0 Vì thế phần tử

đối −n của n cũng thuộc K với mọi số nguyên d-ơng n Suy ra m

với mọi m, n ∈ Z, n 6= 0 Do đó Q ⊆ K.

2.1.1 Định nghĩa Cho K là một tr-ờng con của C Nếu bậc của mở rộng

K/Q là hữu hạn thì K đ-ợc gọi là tr-ờng số Nếu [K : Q] = 2 thì K đ-ợc

gọi là mở rộng tr-ờng bậc hai của Q hay ngắn gọn là tr-ờng bậc hai.

2.1.2 Ví dụ (i) Kí hiệu Q[√−3] = {a+b√−3 | a, b ∈ Q} Khi đó Q[√−3]

là một tr-ờng chứa Q và là một mở rộng tr-ờng bậc hai của Q vì {1, i

√3}

là một cơ sở của mở rộng này Vì thế Q[√−3] = Q(i√3) là một tr-ờng

13

√2} là cơ sở của mở rộng này Vì thếQ(

√

2) = Q[

√2] là một tr-ờng bậc hai

(iii) Nh- trong Tiết 1.2, chúng ta đã chỉ ra rằng

Q(i) = Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q}

là mở rộng tr-ờng bậc hai của Q, vì thế nó là một tr-ờng bậc hai

Định lí sau đây mô tả cấu trúc của các tr-ờng bậc hai Với mỗi số

nguyên m không có -ớc chính ph-ơng (tức là m không chia hết cho a2 với

mọi số nguyên a > 1) ta kí hiệu

trong đó nếu m < 0 thì ta hiểu √m là số phức i√−m Rõ ràng Q[√m] là

một tr-ờng con của C chứa Q

2.1.3 Định lý Một tr-ờng con K của C là tr-ờng bậc hai khi và chỉ khi

tồn tại số nguyên m 6= 0, m 6= 1 và m không có -ớc chính ph-ơng sao cho

Chứng minh Ta sẽ chứng minh Định lý theo 2 chiều.

(⇐): Giả sử tồn tại một số nguyên m không có -ớc chính ph-ơng sao cho

m 6= 0, m 6= 1 và

Vì m 6= 0, m 6= 1 và m không có -ớc chính ph-ơng nên √m /∈ Q Vìthế [Q[√m] : Q] > 1 Rõ ràng {1,√m} là một hệ sinh của Q-không gian

véc tơ Q[√m], do đó [Q[√m] : Q] 6 2 Suy ra [Q[√m] : Q] = 2 Vì thế

(⇒): Giả sử K là một tr-ờng bậc hai Khi đó Q ⊆ K ⊆ C và K là một không gian vectơ chiều 2 Suy ra K 6= Q Vì thế tồn tại α ∈ K \ Q Kí hiệu Q(α) là tr-ờng con bé nhất của K chứa Q và α Khi đó Q(α) 6= Q Suy ra [Q(α) : Q] > 1 Vì [K : Q] = 2 nên [Q(α) : Q] 6 2 Vì thế [Q(α) : Q] = 2 Suy ra K = Q[α] Khi đó hệ {1, α} là hệ độc lập tuyến tính trên Q, nh-ng

Q-hệ {1, α, α2} là phụ thuộc tuyến tính trên Q Vì vậy tồn tại một quan hệ

phụ thuộc tuyến tính aα2+ bα + c = 0 với a, b, c ∈ Q và a, b, c không đồng thời bằng 0 Nếu a = 0 thì bα + c = 0 với b, c không đồng thời bằng 0, điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của {1, α} Do đó a 6= 0 Chia hai vế cho a ta đ-ợc ràng buộc tuyến tính α2 + dα + e = 0 với d, e ∈ Q Nếu e = 0 thì α = 0 hoặc α = −d ∈ Q, điều này vô lí Do đó e 6= 0 Ta có

Từ định lí trên ta thấy rằng các tr-ờng bậc hai đều có dạng Q[√m] với

tr-ờng bậc hai ứng với m Kết quả sau đây chỉ ra rằng với hai số nguyên

phân biệt không có -ớc chính ph-ơng, các tr-ờng bậc hai t-ơng ứng vớichúng là phân biệt

2.1.4 Mệnh đề Nếu m, n ∈ Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc

Chứng minh Cho m, n ∈ Z là hai số nguyên phân biệt không có -ớc chính

Nếu p < 0 thì ϕ(r) = −ϕ(−p/q) = −(−p/q) = r Do đó ϕ(r) = r với mọi

2ab ∈ Q, điều này là vô lí

Vì vậy a = 0, do đó m = b2 Suy ra b = ±√m /∈ Q Điều này cũng vô lí

Vì vậy Q[√m] không đẳng cấu với Q[√n].

Phần cuối tiết này dành để đặc tr-ng các số đại số và số nguyên đại sốtrong các tr-ờng bậc hai

2.1.5 Định nghĩa Cho K là một tr-ờng con của tr-ờng C.

(i) Số u ∈ K đ-ợc gọi là số đại số của K nếu tồn tại đa thức khác không

f (x) ∈ Q[x] sao cho f (u) = 0.

(ii) Số u ∈ K đ-ợc gọi là số nguyên đại số của K nếu tồn tại đa thức

f (x) ∈ Z[x] có hệ số cao nhất bằng 1 sao cho f (u) = 0.

(iii) Các số đại số (số nguyên đại số) là các số đại số của C (các số nguyên

đại số của C)

2.1.6 Ví dụ (i) Số i ∈ Q[i] là số đại số của Q[i] và cũng là số nguyên đại

số của Q[i] vì i là nghiệm của đa thức f (x) = x2+ 1 ∈ Q[x].

(ii) Số

√

2 là số đại số của Q[

√2] và cũng là số nguyên đại số của Q[

√2]vì

đại số và cũng là số nguyên đại số của R.

Kết quả sau đây đặc tr-ng số đại số và số nguyên đại số trong Q Tr-ớchết ta cần bổ đề sau

2.1.7 Bổ đề Giải sử f (x) = a n x n + + a1x + a0 là một đa thức có hệ số nguyên bậc n ≥ 1 và phân số tối giản p/q là nghiệm hữu tỷ của f (x) Khi

Chứng minh Vì p/q là nghiệm của f (x) nên

2.1.8 Mệnh đề (i) Mỗi số hữu tỷ là một số đại số của Q.

(ii) Một số hữu tỷ là số nguyên đại số của Q nếu và chỉ nếu nó là số nguyên Chứng minh (i) Cho p/q là một số hữu tỷ với p, q ∈ Z Khi đó p/q là

nghiệm của đa thức f (x) = x − p/q ∈ Q[x] Do đó p/q là số đại số của Q (ii) Giả sử phân số tối giản p/q là số nguyên đại số Khi đó có đa thức

bổ đề 2.1.7 ta có q là -ớc của 1 Do đó p/q là số nguyên.

Ng-ợc lại mỗi số nguyên p đều là nghiệm của đa thức f (x) = x − p ∈ Z[x],

đa thức này có hệ số cao nhất bằng 1 Do đó p là số nguyên đại số.

Mệnh đề tiếp theo đặc tr-ng số đại số và số nguyên đại số trong tr-ờngbậc hai

2.1.9 Mệnh đề Cho m là số nguyên, m 6= 0, m 6= 1 và m không có -ớc

chính ph-ơng Khi đó m 6≡ 0 (mod 4) và ta có

√

m

ph-ơng trình x2− 2ax + a2− b2m ∈ Q[x] Suy ra α là số đại số.

Tr-ớc khi chứng minh (ii), (iii), ta giả sử α = a + b√m ∈ Q[√m] là một số

nguyên đại số Khi đó α là nghiệm của đa thức f (x) = x2− 2ax+a2− b2m.

Để f (x) ∈ Z[x] thì 2a ∈ Z và a2 − b2m ∈ Z Suy ra 4a2 − 4b2m =

(2a)2− (2b)2m ∈ Z Do 2a ∈ Z nên ta suy ra (2b)2m ∈ Z Do m không có

-ớc chính ph-ơng nên m không thể giản -ớc với bất kỳ -ớc nào của mẫu

số của (2b)2 Suy ra 2b ∈ Z Vì thế (2a)2− (2b)2m ≡ 0 (mod 4) Bây giờ

ta chứng minh (ii) và (iii)

(ii) Nếu m ≡ 2, 3(mod 4) thì từ (2a)2 − (2b)2m ≡ 0(mod 4) ta phải

có (2a)2, (2b)2 ≡ 0(mod 4) hay 2a, 2b là số chẵn, tức là a, b ∈ Z Vậy

(iii) Nếu m ≡ 1(mod 4) thì từ (2a)2 − (2b)2m ≡ 0(mod 4) ta phải có

chẵn hoặc cùng lẻ Vậy α = a + b

√

m

2 với a ≡ b(mod 2).

2.1.10 Mệnh đề Cho K = Q[√m] là tr-ờng bậc hai Khi đó tồn tại đúng

của Q.

Chứng minh Cho ϕ là một tự đẳng cấu của K Bằng các lập luận nh- trong

chứng minh Mệnh đề 2.1.4 ta suy ra ϕ giữ nguyên các phần tử của Q, tức

là ϕ(a) = a với mọi a ∈ Q Giả sử ϕ(√m) = a + b√m với a, b ∈ Q Nếu

2.1.11 Định nghĩa Cho α = a + b√m thuộc tr-ờng bậc hai K Khi đó α

là nghiệm của đa thức P α (x) = x2 − 2ax + a2− b2m ∈ Q[x] Nghiệm thứ

hai của đa thức là ¯α = a − b√m Định nghĩa: