MÔĐUN bất BIẾN QUA tự ĐẲNG cấu của BAO và ỨNG DỤNG

Một trong những lớp môđun được nghiên cứu đó là lớp các môđun nội xạ,tựa nội xạ Môđun MR được gọi là tựa nội xạ nếu nó là tự nội xạ.. Sau đó, Dickson và Fuller bắt đầu nghiên cứu các môđ

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TRỌNG LỢI

MÔĐUN BẤT BIẾN QUA TỰ ĐẲNG CẤU

CỦA BAO VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCTHEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TS LÊ VĂN THUYẾT

Thừa Thiên Huế, năm 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình của tôi dưới sự hướng dẫn trựctiếp của GS.TS Lê Văn Thuyết, các số liệu và kết quả nghiên cứu được trìnhbày trong luận văn là trung thực

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn tôi có kế thừa và sử dụngcác kết quả khoa học của các nhà Toán học và các nhà Khoa học với sự trântrọng và biết ơn

Tác giả

Hoàng Trọng Lợi

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tôi đã nhận được sựđịnh hướng, giúp đỡ, các ý kiến đóng góp quý báu và những lời động viên củacác thầy cô giáo, các bạn học viên và gia đình

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TS Lê Văn Thuyết đãtrực tiếp giảng dạy, định hướng và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làmluận văn

Cho phép tôi chân thành cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, Đại học

Sư phạm Huế cũng như quý thầy giáo cô giáo thỉnh giảng đã nhiệt tình giảngdạy, góp ý để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn khoa Toán - Đại học Sư phạm - Đại họcHuế đã tạo điều kiện để tôi có thể học tập nghiên cứu và hoàn thành luận văn.Cuối cùng tôi xin tỏ lòng cảm ơn tới các anh chị học viên cao học khoa Toán

- Đại học Sư Phạm - Đại học Huế - khóa K26 , gia đình, bạn bè đã luôn độngviên, chia sẻ, ủng hộ và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tác giả

Hoàng Trọng Lợi

Mục lục

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 2

Lời mở đầu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Một số định nghĩa 5

1.2 Môđun cốt yếu, đồng cấu cốt yếu 7

1.3 Môđun nội xạ 8

1.4 Môđun không chính phương, môđun nội xạ tinh 10

1.5 Các lũy đẳng nâng được môđulô I(R) 11

1.6 Tính chất trao đổi và vành trao đổi 12

1.7 Vành chính quy Von Neumann 13

1.8 Vành clean, môđun clean 14

1.9 Tính chất về vành chính quy 14

2 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao 18 2.1 Bao nội xạ 18

2.2 Môđun tự đẳng cấu - bất biến 21

2.3 Bao tổng quát 22

2.4 Môđun X-tự đồng cấu - bất biến 25

2.5 Môđun X-tự đẳng cấu - bất biến 25

2.6 Một số tính chất 28

2.7 Tính chất của môđun X - tự đẳng cấu - bất biến 29

2.8 Định lí về cấu trúc của môđun X-tự đẳng cấu - bất biến 31

2.9 Định lí về môđun X - tự đẳng cấu - bất biến thỏa tính chất trao đổi toàn phần 35

2.10 Tính chất clean của môđun X- tự đẳng cấu - bất biến 35

2.11 Ứng dụng môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao 37

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

N,Z,Q,R,C Tập các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức

A < B A là môđun con thực sự của B

A ≤e B A là môđun con cốt yếu của B

A ∼ = B Môđun A đẳng cấu với môđun B

B Tổng trực tiếp của hai môđun A và B

Ker(f ) Hạt nhân của đồng cấu f

HomR(N, M ) Tập tất cả các đồng cấu môđun từ N vào M

End(M ) Vành các tự đồng cấu của môđun M

Aut(M ) Vành các tự đẳng cấu của môđun M

M/N Môđun thương của M trên N

Ai Tích trực tiếp của các môđun Ai, i ∈ I

M(X) Tổng trực tiếp |X| bản sao của M

MX Tích trực tiếp |X) bản sao của M

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành nghiên cứu cấu trúc của các vành, các biểu diễn của chúng.Trong đó nghiên cứu vành thông qua các lớp môđun của chúng đã và đang đượccác nhà toán học quan tâm nghiên cứu Việc nghiên cứu lý thuyết môđun ngàycàng có nhiều thành tựu trong việc nghiên cứu lý thuyết vành Nghiên cứu vànhdựa vào các lớp môđun trên nó ngày càng có nhiều kết quả mới vì vậy ngày nay

có nhiều lớp môđun mới được nghiên cứu

Một trong những lớp môđun được nghiên cứu đó là lớp các môđun nội xạ,tựa nội xạ (Môđun MR được gọi là tựa nội xạ nếu nó là tự nội xạ) Một tiêuchuẩn để xác định môđun nội xạ đó là tiêu chuẩn Baer, trong đó chỉ ra rằng MR

là nội xạ khi và chỉ khi M là RR nội xạ

Vào năm 1961 Johnson – Wong đã chứng minh MR là tựa nội xạ nếu với mọi

f thuộc EndR(E(M )) thì M bất biến qua f nghĩa là f (M ) ≤ M với E(M) là baonội xạ của môđun M Phát triển theo hướng này các nhà toán học đã chuyển

từ tự đồng cấu sang tự đẳng cấu, lũy đẳng,

Sau đó, Dickson và Fuller bắt đầu nghiên cứu các môđun bất biến dưới nhómcác tự đồng cấu qua bao nội xạ của chúng Các môđun như vậy gọi là các môđun

tự đẳng cấu - bất biến Vào năm 1969 Fuller và Dickson chứng minh rằng bất kìmôđun tự đẳng cấu bất biến không phân tích được trên một K-đại số A là tựanội xạ miễn là K là một trường nhiều hơn hai phần tử Và kết quả này gần đây

đã được mở rộng với bất kì các môđun tự đồng cấu bất biếnM sao cho vành tựđồng cấu của các môđun này không có ảnh đẳng cấu tới trường hai phần tử Z2.Đến năm 2013 Lee và Zhou đã xây dựng khái niệm về môđun tự đẳng cấu

- bất biến, một môđun M được gọi là tự đẳng cấu - bất biến nếu ϕ(M ) ≤ M

với mọi ϕ ∈ AutR(E(M )) Cũng trong năm 2013 Sing và Srivastava chứng minhđược rằng môđun tự đẳng cấu bất biến trùng với môđun giả nội xạ (một kháiniệm đã được Teply đưa ra vào năm 1975) Một môđun M gọi là giả nội xạ nếumỗi đơn cấu từ môđun con của M vào M có thể mở rộng lên một tự đồng cấucủa M

Sau đó cấu trúc này được mở rộng ra lớp môđun bất biến qua tự đẳng cấucủa bao nội xạ.

Dựa vào bài báo "Modules invariant under automorphisms of their covers andenvelopes, Israel journal of mathematics 206 (2015), 457 -482 " của Pedro A.GuilAsensio, Derya Keskin Tutuncu, và Ashish K.Srivastava và bài báo "Moduleswhich are invariant under automorphisms of their injective hulls, J AlgebraAppl 12(2), (2013)" của T.K.Lee and Y.Zhou, cùng với sự gợi ý của GS.TS LêVăn Thuyết, tôi đã chọn đề tài "Môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao và ứngdụng" để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn này

Ngoài lời mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì luận văn của tôi được trìnhbày trong hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi trình bày lại các định nghĩa, định lí cơ bản có liên quanđến nội dung của luận văn Trong đó tôi sẽ chứng minh một số định lí cần thiết

và những định lí còn lại đã được chứng minh trong tài liệu tham khảo

Chương 2 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao và ứng dụngTrong chương này tôi sẽ trình bày nội dung chính của luận văn bao gồm:

1 Định nghĩa tổng quát của bao, định nghĩa môđun tự đẳng cấu - bất biến,môđun X-tự đồng cấu - bất biến, môđun X-tự đồng cấu - bất biến,

2 Các tính chất của môđun X-tự đồng cấu - bất biến, môđunX-tự đồng cấu

- bất biến, định lí về cấu trúc của môđun X-tự đẳng cấu - bất biến,

3 Ứng dụng của môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao

Huế, ngày 08 tháng 09 năm 2019

Tác giả

Hoàng Trọng Lợi

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi trình bày các định nghĩa, tính chất và định línhư: Môđun cốt yếu, môđun nội xạ, môđun không chính phương, vànhchính quy, vành trao đổi, vành clean, Trong đó có chứng minh một sốtính chất, định lí để chuẩn bị cho chương sau Hầu hết các nội dung đượctrình bày trong chương này được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [4], [7],[10], [12], [17], [19], Trong suốt chương này ta luôn quy ước vành R làvành có đơn vị khác không và được kí hiệu là 1

như tập các chỉ số i ∈ I mà ai 6= 0 là hữu hạn, tức là ai = 0 với mọi i trừmột số hữu hạn.

Mệnh đề 1.1.3 Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Q

i∈I

Ai làmôđun con của Q

thì (xi + yi) cũng có giá hữu hạn nên (xi) + (yi) ∈ S Lấy (xi) ∈ S và

α ∈ R thì (xiα) cũng có giá hữu hạn nên (xi)α ∈ S Từ đó ta suy ra

được gọi là tích trực tiếp của họ các R - môđun đó

(2) Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Qi∈IAi đượcgọi là tổng trực tiếp (ngoài) của họ (Ai|i ∈ I), kí hiệu: L

Đơn cấu nhúng tổng trực tiếp vào tích trực tiếp:

,

và đơn cấu nhúng:

Định nghĩa 1.1.5 Môđun con B của môđun A được gọi là hạng tử trựctiếp trong A nếu có môđun C của A sao cho A = B ⊕ C Môđun A kháckhông được gọi là không phân tích được nếu 0và A là những hạng tử trựctiếp duy nhất trong A.

Định nghĩa 1.2.1 Môđun K ≤ M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong

M nếu với mọi môđun L ≤ M sao cho: K ∩ L = 0 ⇒ L = 0, kí hiệu:

K ≤e M Khi đó, ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của K

Nếu mọi môđun con của môđun M là cốt yếu thì M được gọi là môđunđều

Ví dụ 1.2.2 (1) M ≤e M; Z ≤e

QZ

(2) Vành số nguyên Z xem như môđun trên chính nó Khi đó, mỗi iđêankhác không trong Z (tức là các môđun con khác không của Z) đềucốt yếu trong Z Thật vậy, đối với hai iđêan khác không bất kỳ của

Bổ đề 1.2.3 Cho A là môđun con của môđun M Khi đó, A ≤e M khi

và chỉ khi mỗi phần tử 0 6= m ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= mr ∈ A.Chứng minh Giả sử A ≤e M, 0 6= m ∈ M, thì khi đó mR 6= 0 và A ∩

mR 6= 0 Suy ra, tồn tại r ∈ R mà 0 6= mr Ngược lại, nếu B là môđuncon khác không của M, lấy 0 6= m ∈ B và tìm được r ∈ R, sao cho

chia được nếu và chỉ nếu nó là hạng tử trực tiếp của nhóm bất kỳ chứa

nó như là nhóm con Khái niệm tổng quát về môđun nội xạ được nghiêncứu đầu tiên bởi nhà toán học Baer vào năm 1940 Thuật ngữ nội xạ đượcđưa ra vào năm 1956 bởi Cartan và Eilemberg

Định nghĩa 1.3.1 (1) Cho UR và MR là các môđun khi đó U đượcgọi là M-nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : KR → MR và mỗi đồng cấu

g : KR → UR tồn tại một R-đồng cấu h : M → U sao cho g = h ◦ f tứcbiểu đồ sau giao hoán:

(2) Môđun U được gọi là nội xạ nếu U là M - nội xạ, ∀M ∈ M od − R

(3) Môđun M được goi là tựa nội xạ nếu U là U - nội xạ

Ví dụ 1.3.2 (1)Mỗi không gian véc tơ trên trường K là một K - môđunnội xạ

(2) Nếu n > 1, ta có Zn là Zn - môđun nội xạ

Định nghĩa 1.3.3 Một nhóm aben A được gọi là chia được nếu

∀z ∈ Z[z 6= 0 ⇒ Az = A]

Các tính chất cơ bản của nhóm chia được là:

(1) Ảnh toàn cấu của nhóm chia được là nhóm chia được

(2) Nhóm thương của nhóm chia được là nhóm chia được

(3) Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nhóm chai được là chia được

(4) Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của một nhóm aben chia đượcnào đó.

Định lý 1.3.4 Nhóm aben A chia được là Z-môđun nội xạ

Chứng minh (Xem [2], đính lý 3.4.10, trang 33]

Hệ quả 1.3.5 MZ là nội xạ nếu và chỉ nếu MZ là chia được

Định lý 1.3.6 Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạ nào đó.Chứng minh (Xem [2, định lý 3.4.12, trang 34])

Ví dụ 1.3.7

(1) Q là Z-nội xạ vì Q là Z-môđun chia được

(2) Các Z-môđun Z và Zn không phải là Z-môđun nội xạ vì chúng khôngchia được

(2) Môđun M được gọi là nội xạ tinh nếu với mỗi môđun N và mỗi đồngcấu từ một môđun con tinh N0 của N đến M có thể mở rộng đến mộtđồng cấu từ N → M, tức biểu đồ sau giao hoán:

Ví dụ 1.4.3 (1) Mỗi một môđun nội xạ là môđun nội xạ tinh

(2) Nhóm Prufer Z∞p là Z - môđun nội xạ tinh

(3) Môđun nội xạ tinh chưa chắc là môđun nội xạ Thật vậy, ta có mỗinhóm aben Z/pnZ là môđun nội xạ tinh nhưng nó không nội xạ Đây là

một phản ví dụ để chứng minh môđun nội xạ tinh chưa chắc đã nội xạ.(4) Lấy K là một trường bất kỳ khi đó vành k[[X]] là nội xạ tinh như một

K-môđun

Định nghĩa 1.5.1 (1) Cho vành R Phần tử e ∈ R được gọi là phần tửlũy đẳng nếu e2 = e

(2) Một phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy linh nếu xn = 0 với

n là số tự nhiên nào đó Iđêan của vành R được gọi là iđêan lũy linh nếu

In = 0 với n là số tự nhiên nào đó I được gọi là iđêan linh nếu với mọi

x ∈ I, x lũy linh

Định nghĩa 1.5.2 ChoI là iđêan của vànhR Khi đó nếu mọi lũy đẳngf

của vành thương R/I đều tồn tại lũy đẳng e của vành R sao cho e − f ∈ I

thì ta gọi các lũy đẳng nâng được môđulô I

Định lý 1.5.3 Nếu I là là một iđêan linh của vành R , thì mọi lũy đẳngnâng được môđulô I

Chứng minh Xem [1, mệnh đề 2.7, trang 30]

Định nghĩa 1.6.1 (1) Một R-môđun phải M được gọi là thỏa tính chấttrao đổi nếu với mọi R-môđun phải A và bất kỳ sự phân tích thành tổngtrực tiếp A = M0L

i∈I

Ai với M0 ∼= M thì tồn tại các môđun con

Bi của Ai sao cho A = M0L

Định nghĩa 1.6.2 Một vành R được gọi là vành trao đổi nếu môđun RR

thỏa tính chất trao đổi

Mệnh đề 1.6.3 (Warfield) Môđun M được gọi là có tính chất trao đổihữu hạn nếu và chỉ nếu End(M ) là vành trao đổi

1.7 Vành chính quy Von Neumann

Định nghĩa 1.7.1 Cho vành R, phần tử a của vành R được gọi là chínhquy nếu tồn tại phần tử x ∈ R sao cho axa = a

Định nghĩa 1.7.2 Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa VonNeumann) nếu mọi phần tử của R đều là phần tử chính quy

Định lý 1.7.3 Một vành là vành chính quy nếu và chỉ nếu mỗi iđêanphải hữu hạn sinh là được sinh bởi một phần tử lũy đẳng

Chứng minh Giả sử mỗi iđêan phải hữu hạn sinh là được sinh bởi mộtphần tử lũy đẳng Lấya ∈ R, khi đó aR = eR với e là một lũy đẳng trong

R Ta suy ra tồn tại: x, x0 ∈ R sao cho ax = e, e0x = a Nhưng khi đó thì

axa = e2x0 = ex0 = a Bây giờ ta giả sử R là vành chính quy Ta dễ dàngchứng minh được mỗi iđêan cyclic phải I = aR được sinh bởi một phần tửlũy đẳng Do R là vành chính quy nên ta lấy x ∈ R sao cho axa = a Khi

đó axR = aR Để chứng minh rằng mỗi iđêan phải hữu hạn sinh I đượcsinh bởi một phần tử lũy đẳng ta chỉ cần chứng minh rằng I được sinhbởi hai phần tử khi đó ta thì I là được sinh bởi một phần tử lũy đẳng.Giả sử I = x1R + x2R khi đó tồn tại e1 ∈ R sao cho x1R = e1R và ta suy

ra I = e1R + (1 − e1)x2R Bây giờ ta xét một lũy đẳng e2 ∈ R sao cho

(1 − e1)x2R = e2R và tập e3 = e2(1 − e1) Đặc biệt có một phần tử x3 saocho e2 = (1 − e1)x2x3 Dễ dàng chỉ ra rằnge3e1 = 0,e1, e3 = 0, e2R = e3R

và e3 là một phần tử lũy đẳng Vì vậy I = e1R + e3R, e1 + e3 là một lũyđẳng và I = (e1 + e3)R; thực tế với mỗi phần tử eixi trong eiR, điều đó

là đủ để suy ra (e1 + e3)eiri = eiri

Từ định lí trên ta suy ra ngay một kết quả rằng căn Jacobson của mộtvành chính quy R là bằng 0, thực tế nếu x(R), khi đó xR = eR ≤ J (R)

với lũy đẳng e ∈ R, nhưng do (1 − e) là khả nghịch, ta suy ra e = 0

Định lý 1.7.4 Mỗi vành chính quy đều có tính chất trao đổi

Chứng minh Theo định lí trên ta suy ra một vành chính quy S thỏa tínhchất rằng nếu r1 và r2 là hai phần tử của S sao cho r1 + r2 = 1, khi đótồn tại các lũy đẳng e ∈ r1R và f ∈ r2R sao cho f + e = 1

Định nghĩa 1.8.1 (1) Vành R được gọi là vành clean nếu mỗi phần tử

a ∈ R có thể biểu diễn thành a = e + u với e là phần tử lũy đẳng trong

R và u là khả nghịch trong R

(2) Một môđun M được gọi là môđun clean nếu End(M ) là vành clean

Bổ đề 1.9.1 Nếu S là một vành chính quy tự nội xạ phải khi đó S =

T1 × T2 với T1 là vành aben chính quy tự nội xạ và mọi phần tử trong T2

là tổng của hai phần tử khả nghịch

Chứng minh Xem [8, Lemma 2.1]

Định lý 1.9.2 Lấy S là một vành chính quy tự nội xạ phải vàR là vànhcon của S Giả sử rằng R ổn định dưới phép nhân trái bởi các phần tửkhả nghịch của S Khi đó R cũng là vành chính quy

Hơn nữa, R = R1 × R2, với R1 là vành aben chính quy và R2 là vànhchính quy tự nội xạ phải bất biến dưới phép nhân trái bởi các phần tửtrong S

Chứng minh Theo bổ đề 1.9.1, ta có S = T1 × T2 với T1 là vành abenchính quy tự nội xạ và mỗi phần tử trong T2 là tổng của hai phần tử khảnghịch Do R là vành con của S, ta có thể viết R = R1 × R2 với R1 làvành con của T1 và R2 là vành con của T2.

Từ giả thiết ta có tất cả các phần tử khả nghịch của S cũng khả nghịchtrong R Ta có thể chọn bất kỳ t2 ∈ T2, ta có t2 = φ + ψ với φ, ψ là cácphần tử khả nghịch trong T2 Do đó, 1T1× φvà 1T1× ψ là khả nghịch trong

sao cho x = xux Do đó, u + 1T2 là khả nghịch trong S, vì nó khả nghịchtrong R Điều đó suy ra rằng R/T2 là vành chính quy Do đó T2 là mộtiđêan chính quy và R/T2 là vành chính quy,từ [6, Lemma 1.3] ta suy ra R

là vành chính quy

Bây giờ, do R = R1 × R2, rõ ràng của R1 và R2 là vành chính quy Domỗi lũy đẳng trong R1 là lũy đẳng của T1 và T1 là aben chính quy, mỗilũy đẳng của R1 thuộc tâm của T1 và và ngược lại nó thuộc tâm của R1

Vì vậy, R1 là vành aben chính quy Ta nhớ lại ở phần đầu rằng R2 = T2

, vì vậy R2 là vành chính quy tự nội xạ phải và bất biến dưới phép nhântrái bởi các phần tử của S

Mệnh đề 1.9.3 Lấy S là một vành chính quy tự nội xạ phải và R là vànhcon của S Giả sử rằng R là bất biến dưới phép nhân trái bởi các phần tửkhả nghịch của S Nếu R không có ảnh đẳng cấu đến Z2, khi đó R = S.Chứng minh Chú ý rằng giả thiết của ta suy ra rằngS không có đẳng cấu

đến Z2 vì, nếu Ψ : S → Z2 là một đơn cấu vành, khi đó Ψ|R : R → Z2

sẽ cho một đơn cấu vành, trái với giả thiết.Do đó mỗi phần tử của S làtổng của hai phần tử khả nghịch (xem [12]) và vì vậy R là bất biến dướiphép nhân trái bởi các phần tử khả nghịch của S Nhưng khi đó, ta gọi

1R là phần tử đơn vị của R, ta suy ra s = s.1R ∈ R với mỗi s ∈ S Do đó,

R = S

Bây giờ lấy S là vành bất kỳ và gọi Aut(S) là nhóm các phần tử khảnghịch của S Đồng cấu vành chính tắc ν : Z → S biến 1Z thành 1S, cóhạt nhân là 0 hoặc Zn, với mỗi n ∈ N Trong trường hợp đầu tiên, S đượcgọi là có đặc số 0 và các trường hợp khác vànhS là có đặc số n Ta kí hiêụ

Z bởi Z0

Ta quy ước trong phần này rằng kí hiệu S0 là ảnh của Zn[Aut(S)]trong

S với đồng cấu vành từ một phần tử của Aut(S) đến một phần tử tươngứng trong S

Khi đó S0 là vành con của S gồm tất cả các phần tử có thể biểu diễndưới tổng hữu hạn các phần tử khả nghịch của S, với nlà đặc số của vành

S Theo cấu trúc trên, vành con S0 là bất biến dưới phép nhân trái bởicác phần tử khả nghịch của S

Hệ quả 1.9.4 Lấy S là vành chính quy và vành tự nội xạ phải của đặc

số n Nếu S không có ảnh đẳng cấu đến Z2, khi đó S = S0 Trong trườnghợp riêng, khi n > 0 và 2 không chia hết n

Hệ quả 1.9.5 Lấy S là vành chính quy tự nội xạ phải có đặc số n, Khi

đó S0 cũng là vành chính quy

Chứng minh Phần đầu tiên của hệ quả ta suy ra ngay từ tính chất 1.9.3

Ở phần thứ 2, ta lưu ý rằng nếu Zn là hạt nhân của ν : Z → S với

n > 0 và 2 không chia hết n, khi đó S không thể có bất kỳ đồng cấu vành

δ : S →Z2 do nếu không phải như vậy thì2 và n thuộc Ker(δ ◦ ν) Và do

2 và n là nguyên tố cùng nhau, ta suy ra rằng 1 ∈ Ker(δ ◦ ν), mâu thuẫnvới ν là một đồng cấu vành

Chương 2

Môđun bất biến qua tự

đẳng cấu của bao

Chương này là phần trọng tâm của Luận văn Trong chương này ta luônquy ước R là vành kết hợp có đơn vị khác không và được kí hiệu

là 1 và các môđun là các môđun phải, trừ khi có chú ý khác Ta nhắc lạirằng J (R) được kí hiệu cho căn Jacobson của vành R

Ta nhớ lại rằng mỗi môđun A là môđun con của một môđun nội xạ Ởmục này ta sẽ tìm hiểu về môđun tối tiểu trong các môđun nội xạ chứa A.Định nghĩa 2.1.1 Cho môđun A, đơn cấu: α : A → M được gọi là baonội xạ của A nếu M là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu

Khi α : A → M là bao nội xạ ta thường gọi môđun M là bao nội xạcủa A, kí hiệu: M = E(A) Ví dụ: E(ZZ) = QZ

Định nghĩa 2.1.2 Cho một môđun M ta nói rằng M có một bao nội xạtinh nếu tồn tại một R-môđun nội xạ tinh P E(M ) và một đồng cấu tinh

i : M → P E(M ) sao cho nó không thể mở rộng đến bất kỳ tổng trực tiếpnào của P E(M ).

Định lý 2.1.3 Cho Alà một môđun Bất kỳ một môđun nội xạ nào cũngbao hàm một bao nội xạ của A

Chứng minh Xét một môđun nội xạ M ≥ A, theo bổ đề Zorn, tồn tại mộtmôđun con U ≤ M sao cho A ≥ U và U cực đại với điều kiện A ≤e U.Nếu U0 là một môđun con bất kỳ của M để U ≤e U0 thì A ≤e U0 Do tínhchất cực đại của U nên U = U0 Suy ra U cốt yếu đóng trong M hay U

nội xạ Vậy U là bao nội xạ của A

Vì vậy, ta có thể nói rằng một bao nội xạ của môđun A là một môđunnội xạ M sao cho nó là mở rộng cốt yếu của A

Bổ đề 2.1.4 Nếu α : A → M là một đơn cấu và M là một môđun nội

xạ thì với mỗi đơn cấu cốt yếu ϕ : A → A0 đều tồn tại một đơn cấu

ϕ0 : A0 → M sao cho α = ϕ0 ◦ ϕ, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

Chứng minh Do M nội xạ nên tồn tại một đồng cấuϕ0 : A0 → M sao cho

α = ϕ0◦ ϕ Gọi K = Ker(ϕ0), do α đơn cấu nên:

K ∩ Im(ϕ) = Ker(ϕ0) ∩ Im(ϕ) = Ker(ϕ0ϕ) = Ker(α) = 0

Do ϕ cốt yếu nên K = 0, vậy ϕ0 là đơn cấu

Mệnh đề 2.1.5 Nếu M và M0 là hai bao nội xạ của môđun A thì phépđồng nhất trên A có thể mở rộng thành một phép đẳng cấu từ M vào M0