Luận văn hệ phương trình navier stokes có trễ

Líi cam oanTæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS... Navier-Stokes câ tr¹.4... º nghi¶n cùu h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ta sû döng c¡c khæng gian h msau... Cho X l khæng gian Banach

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

NGUY™N THÀ THANH LOAN

H› PH×ÌNG TRœNH NAVIER-STOKES

C TR™

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

H  Nëi, 2018

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

NGUY™N THÀ THANH LOAN

Möc löc

1 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh

1.1 °t b i to¡n 5 1.2 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t nghi»m 9

2 Sü tçn t¤i v  t½nh ên ành cõa nghi»m døng èi vîi h»

2.1 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m døng 21 2.2 T½nh ên ành mô cõa nghi»m døng 25

T i li»u tham kh£o 30

Líi c£m ìn

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn TS  o Trång Quy¸t, ng÷íi ¢ ch¿ b£o tªn t¼nh

v  cho tæi nhúng nhªn x²t qu½ b¡u º tæi câ thº ho n th nh b£n luªn v«n n ymët c¡ch tèt nh§t

Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o ð khoa To¡n, tr÷íng ¤ihåc S÷ ph¤m H  Nëi 2, nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håctªp v  nghi¶n cùu khoa håc, gióp tæi ho n th nh luªn v«n mët c¡ch thuªn lñi.Tæi công xin gûi líi c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u tr÷íng THPT æng Anh - H Nëi, gia ¼nh, c¡c b¤n çng nghi»p, c¡c b¤n håc vi¶n, nhúng ng÷íi ¢ ëng vi¶n

v  t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi ho n th nh khâa håc cõa m¼nh

H  Nëi, th¡ng 06 n«m 2018

T¡c gi£

Nguy¹n Thà Thanh Loan

Líi cam oan

Tæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS  o Trång Quy¸t, luªn v«nth¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i "H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹" ÷ñc ho n th nh bði ch½nh nhªn thùc cõa b£n th¥n tæi

Trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa nhúng th nhtüu cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

H  Nëi, th¡ng 6 n«m 2018T¡c gi£

Nguy¹n Thà Thanh Loan

Mët sè k½ hi»u th÷íng dòng trong luªn v«n

∆ to¡n tû Laplace;

∇ vector gradient;

∇· to¡n tû gradient;

H, V c¡c khæng gian h m dòng º nghi¶n cùu h» Navier-Stokes;

V0 khæng gian èi ng¨u cõa khæng gian V ;

(·, ·), | · | t½ch væ h÷îng v  chu©n trong khæng gian H;

((·, ·)), k · k t½ch væ h÷îng v  chu©n trong khæng gian V ;

k · k∗ chu©n trong khæng gian V0;

C0∞(Ω) khæng gian c¡c h m kh£ vi væ h¤n câ gi¡ compact trong Ω;

Lp(Ω) khæng gian c¡c h m bªc p kh£ t½ch Lebesgue trong Ω; C([0, T ]; X) khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n [0, T ];

Mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

C¡c ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh trong cì håc ch§t läng xu§t hi»nkhi mæ t£ chuyºn ëng cõa c¡c ch§t läng v  kh½ nh÷ n÷îc, khæng kh½, d¦u mä, d÷îi nhúng i·u ki»n t÷ìng èi têng qu¡t, v  chóng xu§t hi»n khi nghi¶ncùu nhi·u hi»n t÷ñng quan trång trong khoa håc h ng khæng, kh½ t÷ñng håc,cæng nghi»p d¦u mä, vªt l½ plasma, Mët trong nhúng lîp h» ph÷ìng tr¼nhquan trång trong cì håc ch§t läng l  h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ d¤ng:

Nhúng v§n · cì b£n °t ra khi nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng

tr¼nh trong cì håc ch§t läng l :

• Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v  t½nh ch½nh qui cõa nghi»m: Nghi»m ð ¥y

câ thº l  nghi»m y¸u ho°c nghi»m m¤nh T½nh ch½nh qui ð ¥y câ thº l  t½nhch½nh qui theo bi¸n thíi gian, ho°c t½nh ch½nh qui theo bi¸n khæng gian

• D¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m: Nghi¶n cùu d¡ng i»u cõa nghi»m khithíi gian t ra væ còng Khi ngo¤i lüc f lîn, ta nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  t½nhch§t cõa tªp hót, â l  mët tªp compact, b§t bi¸n, hót cõa c¡c tªp bà ch°n v chùa üng nhi·u thæng tin v· d¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m; cán khi ngo¤ilüc f nhä v  khæng phö thuëc thíi gian, ta nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  t½nh duynh§t cõa nghi»m døng, tùc l  nghi»m cõa b i to¡n døng t÷ìng ùng, v  chùngminh nghi»m cõa h» ang x²t d¦n ¸n nghi»m døng n y khi thíi gian t ra væcòng °c bi»t, khi tr¤ng th¡i cõa h» phö thuëc v o c£ qu¡ khù cõa nghi»m th¼ngo¤i lüc s³ xu§t hi»n th¶m sè h¤ng chùa tr¹ (xem [1, 2, 3]) Khi â, sü tçn t¤i,t½nh duy nh§t v  d¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m công l  c¡c v§n · thíi sü c¦n

÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu V¼ vªy, chóng tæi chån · t i H» ph÷ìng tr¼nhNavier-Stokes câ tr¹ l m · t i nghi¶n cùu cõa luªn v«n

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i, duy nh§t v  t½nh ên ành cõa nghi»mdøng cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes khi ngo¤i lüc câ tr¹

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

• Nghi¶n cùu sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t cõa nghi»m;

• Chùng minh t½nh ên ành cõa nghi»m døng èi vîi h» ph÷ìng tr¼nh

Navier-Stokes câ tr¹.

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

• èi t÷ñng nghi¶n cùu: H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹

• Ph¤m vi nghi¶n cùu: Sü tçn t¤i, duy nh§t v  t½nh ên ành

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p cõa l½ thuy¸t h» ëng lüc ti¶u hao væ h¤n chi·u, l½thuy¸t h» Navier-Stokes

6 âng gâp cõa luªn v«n

Düa theo t i li»u [5], luªn v«n tr¼nh b y mët c¡ch câ h» thèng c¡c k¸t qu£v· sü tçn t¤i nghi»m y¸u khi N = 2, 3, t½nh duy nh§t nghi»m y¸u khi N = 2, sütçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m døng y¸u khi N = 2, 3 v  t½nh ên ành cõanghi»m døng y¸u khi N = 2 cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹

Cho Ω ⊂RN (N = 2, 3) l  mët tªp mð vîi bi¶n Γ, mi·n Ω khæng nh§t thi¸t

bà ch°n nh÷ng thäa m¢n b§t ¯ng thùc Poincar², tùc l  tçn t¤i λ1 > 0 sao cho

u(t, x) = φ(t, x), t ∈ (−h, 0), x ∈ Ω,

(1.2)

trong â T > 0 cho tr÷îc, ν > 0 l  h» sè nhît, u l  v²c tì vªn tèc c¦n t¼m, p l 

h m ¡p su§t c¦n t¼m, u0 l  vªn tèc ban ¦u, f l  ngo¤i lüc, g l  sè h¤ng chùatr¹

º nghi¶n cùu h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ta sû döng c¡c khæng gian h msau

c 1 |u|1/4kuk3/4kvk|w|1/4kwk3/4, ∀u, v, w ∈ V,

c2|u| 1/4 kuk 3/4 |v| 1/4 kvk 3/4 kwk, ∀u, v, w ∈ V,

(1.6)

trong â c1, c2 l  c¡c h¬ng sè n o â

Ti¸p theo, º thuªn ti»n cho c¡c tr¼nh b y v· sau, chóng tæi nh­c l¤i mët sèkhæng gian h m phö thuëc thíi gian ÷ñc sû döng trong luªn v«n

ành ngh¾a 1.1 Cho X l  khæng gian Banach thüc vîi chu©n k·k Khæng gian

C ([0, T ] ; X) bao gçm t§t c£ c¡c h m li¶n töc u : [0, T ] → X vîi

ành ngh¾a 1.3 a) Khæng gian Sobolev W1,p(0, T ; X) gçm t§t c£ c¡c h m

u ∈ Lp(0, T ; X) sao cho ¤o h m y¸u u0 tçn t¤i v  thuëc Lp(0, T ; X) Hìn núa

ành ngh¾a 1.4 Cho X l  khæng gian Banach thüc vîi chu©n k.k Khæng gian

Lploc(0, T ; X)bao gçm c¡c h m o ÷ñcu : [0, T ] → X sao cho vîi måi tªp compact

ut(s) = u(t + s), s ∈ (−h, 0).

Cho X v  Y l  hai khæng gian Banach kh£ li, v  h m

g : [0, T ] × C0([−h, 0]; X) → Y

thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t sau:

(i) Vîi måi ξ ∈ C0([−h, 0]; X), ¡nh x¤ t ∈ [0, T ] → g(t, ξ) ∈ Y l  o ÷ñc,

(ii) Vîi méi t ∈ [0, T ], th¼ g(t, 0) = 0,

(iii) Tçn t¤i h¬ng sè L g > 0 sao cho ∀t ∈ [0, T ], ∀ξ, η ∈ C0([−h, 0]; X)

kg(t, ξ) − g(t, η)kY ≤ Lgkξ − ηkC0 ([−h,0];X) , (iv) Tçn t¤i Cg > 0 sao cho ∀t ∈ [0, T ], ∀u, v ∈ C 0 ([−h, T ]; X)

Z t 0

câ mð rëng duy nh§t th nh ¡nh x¤Geli¶n töc ·u tøL2(−h, T ; X)v oL2(0, T ; Y ).

º ìn gi£n, ta s³ k½ hi»u g(t, ut) = G(u)(t)e vîi méi u ∈ L2(−h, T ; X) v  do â

∀t ∈ [0, T ], ∀u, v ∈ L2(−h, T ; X), ta câ

Z t 0

1.2 Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t nghi»m

Trong ph¦n n y, ta s³ chùng minh sü tçn t¤i nghi»m y¸u khi N = 2 ho°c

N = 3, v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m y¸u n¸u N = 2.

Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i ành ngh¾a nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Stokes nh÷ sau

Navier-ành ngh¾a 1.5 Mët nghi»m y¸u cõa b i to¡n (1.2) l  mët h mu ∈ L2(−h, T ; V )∩

v  thäa m¢n u(0) = u0, u(t) = φ(t), t ∈ (−h, 0), trong â ph÷ìng tr¼nh (1.7) ÷ñchiºu theo ngh¾a cõa D0(0, T ).

º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m, ta c¦n sû döng k¸t qu£ sau

b) Tçn t¤i t∗∈ (0, T ] sao cho tçn t¤i mët (v  ch¿ mët) nghi»m cõa b i to¡n (1.8);

c) Gi£ sû tçn t¤i h¬ng sè C > 0 sao cho n¸u t∗∈ (0, T ] câ mët nghi»m u cõa (1.8)th¼ maxt∈[0,t∗]|u(t)|Rm ≤ C. Khi â, d÷îi gi£ thi¸t bê sung n y, tçn t¤i nghi»mcõa b i to¡n (1.8) vîi t∗ = T

ành l½ 1.2 ([6, H» qu£ 2.34]) ChoΘl  mët tªp mð bà ch°n trong Rd, v X ⊂ E

l  c¡c khæng gian Banach vîi ph²p nhóng compact X²t 1 ≤ r < q ≤ ∞. Gi£ sû

F ⊂ Lr(Θ; E) thäa m¢n:

i) ∀w ⊂⊂ Θ, supf ∈F||τhf − f ||Lr (w;E) → 0 khi h → 0, ð ¥y τhf thäa m¢n (τhf )(x) =

f (x + h);

ii) F l  bà ch°n trong Lq(Θ; E) ∩ L1(Θ; X).

Khi â F l  ti·n compact trong Lr(Θ; E)

K½ hi»u V(O) t÷ìng tü khæng gian vîi V nh÷ng vîi tªp O mð thay cho mi·n

Ω, v  V (O) l  bao âng trong V(O) trong (H1(Ω))N. Khi â, ta câ k¸t qu£ sau

ành l½ 1.3 ([5]) Cho u0 ∈ H, φ ∈ (L2(−h, 0; V ), f ∈ L2(0, T ; V0), v  gi£ thi¸tr¬ng g1 : [0, T ] × C0([−h, 0]; V ) → (L2(Ω))N v  g2 : [0, T ] × C0([−h, 0]; V ) → V0 thäam¢n c¡c gi£ thi¸t (i) − (iv) trong khæng gian t÷ìng ùng Khi â:

a) N¸u N = 2 v  ν2 > C2, tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n (1.2);

b) N¸u N ∈ {2, 3} v  ν2 > C2, tçn t¤i nghi»m cõa (1.2), n¸u th¶m gi£ thi¸t (v)

nh÷ sau:

(v) N¸u vm hëi tö y¸u tîi v trong L2(−h, T ; V ), hëi tö y¸u∗ trong L∞(0, T ; H),

v  hëi tö m¤nh trong L2(−h, T ; (L2(O))N) måi tªp mð bà ch°n O ⊂ Ω câ bi¶ntrìn, khi â gi(·, vm. ) hëi tö y¸u ¸n gi(·, v.) trong L2(0, T ; V (O)0) vîi i = 1, 2.

Chùng minh

a) T½nh duy nh§t vîi N = 2:

N¸u ν2 > C 2 , gi£ sû u, v l  hai nghi»m cõa (1.2) v  °t w = u − v Khi â tø

¯ng thùc n«ng l÷ñng, v  t½nh bà ch°n cõa d¤ng ba tuy¸n t½nh tø Bê · 1.1, ta

câ måi t ∈ (0, T )

|ω(t)|2+ 2ν

Z t 0

kω(s)k2ds = −2

Z t 0

b(ω(s), u(s), ω(s))ds

+ 2

Z t 0

(g1(s, us) − g1(s, vs), ω(s))ds + 2

Z t 0

hg2(s, us) − g2(s, vs), ω(s)ids

≤ 212

Z t 0

|ω(s)| kω(s)k ku(s)k ds

+ 2

Z t 0

|g1(s, us) − g1(s, vs)| |ω(s)| ds + 2

Z t 0

kw(s)k2ds = 1

2ε

Z t 0

|w(s)|2ku(s)k2ds + ε

Z t 0

kw(s)k2ds

+ C1ε

Z t 0

|w(s)|2ds + ε

Z t 0

kw(s)k2ds

+ 2 √

C2

Z t 0

kw(s)k2ds,

Do vªy,

|w(t)|2+ 2ε

Z t 0

kw(s)k2ds ≤ 1

2ε

Z t 0

|w(s)|2ku(s)k2ds + C1

ε

Z t 0

|w(s)|2ds.

p döng b§t ¯ng thùc Gronwall ta câ

d dt

b) Sü tçn t¤i: Vîi N ∈ {2, 3}, ν2 > C2 v  i·u ki»n (v) óng

X²t mët cì sð trüc chu©n B = {w1, w2, wn, } ⊂ V cõa H sao cho c¡c

tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c ph¦n tû cõa B l  trò mªt trong V. K½ hi»u Vm =

(trong â d¢y { ˜ w1, , ˜ w1} câ ÷ñc b¬ng c¡ch trüc chu©n Gram-Schmidt tø mët

cì sð thuëc V Cuèi còng, k½ hi»u um(t) =

Chó þ r¬ng b i to¡n (1.9) câ mët nghi»m ÷ñc x¡c ành trong o¤n[0, t∗] vîi

0 < t∗ ≤ T Thªt vªy, º thu ÷ñc i·u n y, ta c¦n c¡c ¡nh gi¡ ti¶n nghi»md÷îi ¥y Ta câ thº °t t∗ = T v  nh¥n (1.9) vîi γmj v  l§y têng theo j, ta câvîi måi t ∈ [0, t∗],

|um(t)|2+ 2ν

Z t 0

kum(s)k2ds ≤ u0

2

+ 2

Z t 0

hf (s), um(s)ids + 2

Z t 0

(g 1 (s, ums ), um(s))ds + 2

Z t 0

hg2(s, ums ), um(s)ids,

v  lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh t½nh duy nh§t nghi»m trong tr÷ínghñp hai chi·u, ta th§y tçn t¤i hai h¬ng sè (phö thuëc v oφ, ν, f, g1, g2, h, T nh÷ngkhæng phö thuëc v o m v  t∗), K1 v  K2 thäa m¢n:

L∞(0, T ; H), do â tçn t¤i mët d¢y con, v¨n k½ hi»u l  {u m }, sao cho

um * utrong L2(0, T ; V ) khi m → ∞,

um ∗* utrong L∞(0, T ; H) khi m → ∞.

(1.11)

Hìn núa, chó þ r¬ng um = PVV

m φ trong (−h, 0) hëi tö ¸n φ trong L2(−h, 0; V ),

v  trong tr÷íng hñp °c bi»t, nhí (iv) ta câ, g1(·, um) + g2(·, um) bà ch°n trong

L2(0, T ; V0)

V¼ mi·n Ω câ thº khæng bà ch°n, n¶n º qua giîi h¤n c¡c sè h¤ng phi tuy¸n,

ta thüc hi»n nh÷ sau, nhí Bê · 1.3, vîi méi tªp mð bà ch°n O ⊂ Ω tçn t¤i d¢ycon (phö thuëc O) thäa m¢n:

um|O → u|O trong L2(0, T ; (L2(O))N). (1.12)

B¥y gií, choψ l  mët h m kh£ vi li¶n töc tr¶n[0, T ]vîiψ(T ) = 0 X²t ph÷ìngtr¼nh (1.9) v  ph¦n tû cè ành wj cõaB. V¼ (um(·), wj)ψ(·) ∈ W1,1(0, T ) (thüc t¸trong H1(0, T ) vîi N = 2, v  trong W1,4/3(0, T ) vîi N = 3), ta câ

−

Z T 0

(um(t), ψ0(t)wj)dt + ν

Z T 0

((um(t), wjψ(t)))dt +

Z T 0

b(um(t), um(t), w j ψ(t))dt = (um(0), w j )ψ(0) +

Z T 0

hf (t), wjψ(t)idt +

Z T 0

(g1(t, umt ), wjψ(t))dt +

Z T 0

hg2(t, umt ), wjψ(t)idt.

L§y d¢y con ÷íng ch²o, v¨n kþ hi»u l  um sao cho thäa m¢n (1.12) vîi d¢y c¡ctªp mð câ bà ch°n Oj ⊂ Ωchùa t§t c£ gi¡ cõa h» h m cì sð wj, chuyºn qua giîih¤n, nhí t½nh ch§t hëi tö y¸u trong (1.11) v  i·u ki»n (v), ta câ

−

Z T 0

(u(t), ψ0(t)w)dt + ν

Z T 0

(u(t), wψ(t))dt

+

Z T 0

b(u(t), u(t), wψ(t))dt

= (u0, w)ψ(0) +

Z T 0

hf (t), wψ(t)idt

+

Z T 0

(g1(t, ut), wψ(t))dt +

Z T 0

hg2(t, ut), wψ(t)idt.

(1.13)

¯ng thùc tr¶n óng vîi vîi måi ψ ∈ D(0, T ), n¶n u thäa m¢n (1.9) theo ngh¾aph¥n bè.

Hìn núa, v¼ (u(t), w j )ψ(t) ∈ W1,4/3(0, T )vîi N = 2, 3,n¶n l½ luªn t÷ìng tü tr¶n

ta công thu ÷ñc biºu thùc t÷ìng tü (1.13) vîi (u(0), w) thay cho (u0, w). i·u

n y chùng tä (u(0) − u0, w) = 0 vîi måi w ∈ V, v¼ vªy u(0) = u0. ành l½ ÷ñcchùng minh

Sau ¥y ta s³ chùng minh Bê · 1.3 ¢ sû döng trong chùng minh cõa ànhl½ tr¶n

Bê · 1.3 D÷îi c¡c gi£ thi¸t cõa ành l½ 1.3, d¢y {um} x¡c ành trong (1.9) l ti·n compact theo ngh¾a: Vîi mët tªp mð bà ch°n O ⊂ Ω, khi â tçn t¤i mët d¢ycon phö thuëc v o O, v¨n k½ hi»u l  {um}, thäa m¢n

um|O → u|O trong (L2(0, T ; (L2(O))N),

trong â u l  giîi h¤n y¸u cho trong (1.11)

Chùng minh Ta s³ ¡p döng ành l½ 1.2 ð tr¶n vîir = 2, q = +∞, Θ = (0, T ). Thªtvªy, vîi tªpO ⊂ Ωthäa m¢n: n¸uO ⊂⊂ Ωth¼ tªpO ⊂ Ω ˜ câ thº thu ÷ñc nhí phõhúu h¤n c¡c h¼nh c¦u l  mð v  bà ch°n, v  khi â X = (H1( ˜ O))N ⊂ E = (L2( ˜ O))N

nhí ph²p nhóng compact

Tuy nhi¶n, vîi mët tªp O ⊂ Ω têng qu¡t, th¼ nhªn x²t tr¶n câ thº khæng

óng v¼ O v  Ω câ thº câ bi¶n giao nhau Ph²p nhóng compact H1 khæng cán

óng v¼ bi¶n khæng cán õ t½nh ch½nh quy, tuy nhi¶n, ph²p nhóng v¨n cán óngtrong H01 Khi â, nhí sû döng mët h m ch°t cöt χ ∈ C1(R+) vîi

X²t O nh÷ tr¶n, vîi R > 0 sao cho O ⊂ B(0, R) v  O = Ω ∩ B(0, 2R) ˜ , v 

um,R(x) = um(x)χ(|x|2/R2) Do â t½nh compact cán óng vîi X = (H01( ˜ O))N ⊂

E = (L2( ˜ O))N vîi ph²p nhóng compact, v  ta v¨n b£o to n c¡c h m ban ¦u um

tr¶n Ω ∩ B(0, R)

Nh÷ vªy, ta câ thº ti¸p töc chùng minh trüc ti¸p vîi um thay v¼ vîi h m

um,R V¼ i·u ki»n ii) trong ành l½ 1.2 ÷ñc thäa m¢n v¼ i·u ki»n (1.10), ta c¦nchùng tä i·u ki»n i) công óng Thªt vªy, ta s³ chùng tä t½nh ch§t sau óngvîi to n bë mi·n Ω,

sup

m∈N

||τhum− um||L2 (0,T −h;(L 2 (Ω)) N ) → 0 khi h → 0. (1.14)X²t h > 0 nhä tòy þ, tø (1.9) ta suy ra vîi (t, t + h) ⊂ (0, T ),

Z

Ω

(um(t + h) − u(t))wjdx + ν

Z t+h t

Z

Ω

∇um(s).∇wjdxds +

Z t+h t

b(um(s), um(s)wjds

=

Z t+h t

hf (s), wjids +

Z t+h t

Z

Ω

g1(s, ums )wjdxds +

Z t+h t

b(um(s), um(s), um(t + h) − um(t))ds +

Z t+h t

Z

Ω

g1(s, ums )(um(t + h) − um(t))dxdt +

Z t+h t

hf (s) + g2(s, ums ), um(t + h) − um(t)ids.

Ta th§y v¸ ph£i cõa b§t ¯ng thùc n y l  bà ch°n bði

ν |∇um(t + h) − ∇um(t)|

Z t+h t

|∇um(s)|ds +

Z t+h t

GN(|um(s)| , kum(s)k , kum(t + h) − umk)ds +

Z t+h t

|g1(s, ums )| |um(t + h) − um(t)| ds +

Z t+h t

Gm(s)ds, (1.16)trong â h m Gm :R→R ÷ñc x¡c ành nh÷ sau

ν kum(s)k + 2−1K11/4ku m (s)k3/2+kf (s)k∗+ kg2(s, ums )k∗+ λ−1/21 |g1(s, ums | n¸u N = 3.

º ho n th nh chùng minh, ta c¦n ¡nh gi¡

kτhum− umk2

L 2 (0,T,−h;(L 2 (Ω))N) =

Z T −h 0

kum(t + h) − um(t)k

Z t+h t

Gm(s)dsdt.

Vîi v¸ ph£i, ¡p döng ành l½ Fubini, v  sû döng h m

kum(t + h) − um(t)k

Z t+h t

Gm(s)dsdt

≤

Z T 0

Gm(s)

Z s s−h

kum(t + h) − um(t)k dtds

≤ 2(hK2)1/2

Z T 0

kum(t + h) − um(t)k dt

≤

Z s s−h

!1/2

+ √ T

Z T 0

kg1(s, ums k2ds

!1/2

,

v  tø gi£ thi¸t (ii) v  (iv) cho ta t½ch ph¥n g i l  bà ch°n

Tr÷íng hñp N = 3 l  t÷ìng tü, vîi sü kh¡c bi»t duy nh§t l 

Z T 0

kum(s)k3/2ds ≤ T1/4

Z T 0

Ch֓ng 2

Sü tçn t¤i v  t½nh ên ành cõa

nghi»m døng èi vîi h» ph÷ìng

tr¼nh Navier-Stokes câ tr¹

Trong ch÷ìng n y, düa theo t i li»u [5] chóng tæi tr¼nh b y sü tçn t¤i v  t½nh

ên ành cõa nghi»m døng cho h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes vîi sè chi·u N = 2

ho°c N = 3, khi sè h¤ng tr¹ câ d¤ng °c bi»t v  khi h» sè nhît õ lîn Ngo i

ra, vîi N = 2, ta th§y r¬ng måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa hëi tö ¸nnghi»m døng theo tèc ë mô

Gi£ sû f khæng phö thuëc v o thíi gian, v  sè h¤ng tr¹ câ d¤ng g(t, ut) = G(u(t − ρ(t)) vîi G nh÷ trong tr÷íng hñp 1 nh÷ng ëc lªp vîi thíi gian, tùc l 

G :RN →RN thäa G(0) = 0 v  tçn t¤i h¬ng sè L1> 0 sao cho

trẳnh Navier- Stokes cõ trạ

Trong chữỡng ny, dỹa theo ti liằu [5] chúng tổi trẳnh by sỹ tỗn tÔi v tẵnh

ờn nh cừa nghiằm dứng cho hằ phữỡng trẳnh Navier- Stokes vợi số... umt ), wj(t)idt.

LĐy dÂy ữớng cho, văn kỵ hiằu l um cho thọa mÂn (1.12) vợi dÂy cĂctêp mð câ bà ch°n Oj... nghắa: Vợi mởt têp m b chn O , õ tỗn tÔi mởt dÂycon phử thuởc vo O, văn kẵ hiằu l {um}, thọa mÂn

um|O