Một số bài toán điều khiển tối ưu đối với hệ phương trình navier stokes voigt tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘITRẦN MINH NGUYỆT MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRẦN MINH NGUYỆT

MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

NAVIER-STOKES-VOIGT

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 9 46 01 03

HÀ NỘI, 2019

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Cung Thế Anh

Phản biện 1: GS TSKH Vũ Ngọc Phát

Viện Toán học

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy

Trường ĐH Thương Mại

Phản biện 3: PGS TS Trần Đình Kế

Trường ĐHSP Hà Nội

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam;

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài

Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt mô tả chuyển động của chất lỏng nhớt lí tưởng đànhồi, được giới thiệu lần đầu bởi Oskolkov vào năm 1973 Năm 2006, hệ Navier-Stokes-Voigtcũng được Cao, Lunasin và Titi đề xuất sử dụng như là một xấp xỉ tốt cho hệ Navier-Stokes

ba chiều cho mục đích mô phỏng số trực tiếp Thực tế, hệ Navier-Stokes-Voigt thuộc vào lớpcác α-mô hình trong cơ học chất lỏng, tức là những biến dạng của hệ Navier-Stokes cổ điểntùy theo điều kiện vật lí hoặc mục đích sử dụng (xem Holst, Lunasin và Tsogtgerel (2010)).Một ưu điểm của hệ Navier-Stokes-Voigt so với các α-mô hình khác trong cơ học chất lỏng làkhông cần bổ sung thêm các điều kiện biên (ngoài điều kiện biên Dirichlet) để đảm bảo tínhđặt đúng của bài toán

Trong những năm qua, sự tồn tại nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra

vô cùng của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc Trong miền bị chặn hoặc miền không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, cónhiều kết quả về sự tồn tại nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùngthông qua sự tồn tại và tính chất của tập hút, xem chẳng hạn V.K Kalantarov và E.S Titi(2009), G Yue và C.K Zhong (2011), J García-Luengo, P Marín-Rubio và J Real (2012), Y.Qin, X Yang và X Liu (2012), C.T Anh và P.T Trang (2013), M Conti Zalati và C.G Gal(2015), P.D Damázio, P Manholi và A.L Silvestre (2016) Trong trường hợp miền xét phươngtrình là cả không gian, sự tồn tại và đánh giá độ suy giảm của nghiệm khi thời gian ra vô cùngđược nghiên cứu trong các công trình của C Zhao và H Zhu (2015), C.T Anh và P.T Trang(2016), C.J Niche (2016)

Lý thuyết điều khiển tối ưu đã phát triển nhanh chóng trong vài thập kỷ qua và trở thànhmột lĩnh vực quan trọng và độc lập của toán học ứng dụng Bài toán điều khiển tối ưu chophương trình/hệ phương trình vi phân thường được quan tâm nghiên cứu do có nhiều ứngdụng trong các lĩnh vực như hàng không, khoa học vũ trụ, tự động hóa hay vấn đề điều khiển

các quá trình hóa học Tuy nhiên, trong nhiều tình huống, đối tượng của bài toán điều khiểntối ưu có thể không mô hình hóa được bởi phương trình hoặc hệ phương trình vi phân thường,thay vào đó phương trình/hệ phương trình đạo hàm riêng được sử dụng Chẳng hạn, các quátrình truyền nhiệt, khuếch tán, sóng điện từ, dòng chảy chất lỏng, đều được mô hình hóabằng các phương trình/hệ phương trình đạo hàm riêng Đặc biệt, bài toán điều khiển tối ưuđối với các hệ phương trình đạo hàm riêng trong cơ học chất lỏng được bắt đầu nghiên cứu từnhững năm 1980 bởi Fursikov khi ông thiết lập một số định lý về sự tồn tại nghiệm tối ưu chomột vài bài toán điều khiển tối ưu đối với hệ phương trình Navier-Stokes.

Một trong số các mục tiêu quan trọng của lý thuyết điều khiển tối ưu là đạt được điều kiệncần tối ưu (và điều kiện đủ nếu có thể) Kể từ công trình tiên phong của Abergel và Temamnăm 1990, trong đó lần đầu tiên các điều kiện tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu trong

cơ học chất lỏng được thiết lập, vấn đề này đã được nghiên cứu sâu rộng bởi nhiều tác giả

và theo nhiều hướng khác nhau như là điều khiển tối ưu trong miền, điều khiển tối ưu thờigian, điều khiển tối ưu trên biên và điều khiển thưa Chúng tôi xin điểm qua một số kết quả

về các điều kiện tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu đối với hệ phương trình Navier-Stokes,một trong các hệ phương trình quan trọng nhất trong cơ học chất lỏng Đối với bài toán điềukhiển tối ưu trong miền, vấn đề này được nghiên cứu bởi H.O Fattorini và S Sritharan (1994),

M D Gunzburger và S Manservisi (1999), M Hinze và K Kunisch (2001), F Tr¨oltzsch và

D Wachsmuth (2006) Các công trình này đều nghiên cứu trong tình huống không có ràngbuộc lên trạng thái Trong trường hợp có ràng buộc lên trạng thái, bài toán được nghiên cứubởi G Wang (2002) và Liu (2010) Bài toán điều khiển tối ưu thời gian cho hệ phương trìnhNavier-Stokes được nghiên cứu bởi Barbu (1997) và E Fernandez-Cara (2012) Bài toán điềukhiển tối ưu trên biên được xét bởi nhiều tác giả, chẳng hạn M.D Gunzburger, L.S Hou vàTh.P Svobodny (1991), J.C De Los Reyes và K Kunisch (2005), C John và D Wachsmuth(2009), M Holst, E Lunasin và G Tsogtgerel (2010) đối với hệ dừng, và M Berggren (1998),A.V Fursikov, M.D Gunzburger và L.S Hou (1998, 2005), M.D Gunzburger và S Manservisi(2000), M Hinze và K Kunisch (2004), M Colin và P Fabrie (2010) đối với hệ không dừng.Chúng ta cũng có thể xem thêm các công trình về điều khiển tối ưu đối với hệ Navier-Stokestrong luận án tiến sỹ khoa học của M Hinze (2002), các luận án tiến sỹ của M Sandro (1997),

D Wachsmuth (2006) và các tài liệu tham khảo trong đó

Như đã mô tả bên trên, sự tồn tại duy nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khithời gian ra vô cùng của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt cũng như bài toán điều kiển tối

ưu trong cơ học chất lỏng được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học Tuy nhiên, theo

sự hiểu biết của chúng tôi, bài toán điều khiển tối ưu đối với hệ Navier-Stokes-Voigt vẫn chưa

được quan tâm nghiên cứu Vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu "Một số bài toánđiều khiển tối ưu đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt" cho luận án tiến sĩcủa mình Do ý nghĩa vật lí và ý nghĩa thực tiễn, người ta chỉ xét lớp hệ này trong trường hợp

ba chiều hoặc hai chiều Luận án trình bày tường minh các kết quả về một số bài toán điềukhiển tối ưu đối với hệ này trong trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất).Tuy nhiên, tất cả các kết quả của luận án vẫn đúng trong trường hợp hai chiều (với phát biểucác kết quả và các chứng minh tương ứng giống hệt như trong trường hợp ba chiều) Cụ thể làchúng tôi sẽ nghiên cứu những vấn đề sau:

(P1) Bài toán điều khiển tối ưu trong miền đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigtkhông dừng trong không gian ba chiều, trong đó phiếm hàm mục tiêu có dạng toàn phương

và điều khiển thuộc vào một tập lồi, đóng, khác rỗng bất kì,

(P2) Bài toán điều khiển tối ưu thời gian đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigtkhông dừng trong không gian ba chiều, trong đó tập các điều khiến chấp nhận được làmột tập lồi, đóng, khác rỗng bất kì,

(P3) Bài toán điều khiển tối ưu trên biên đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigtkhông dừng trong không gian ba chiều, trong đó phiếm hàm mục tiêu có dạng toàn phương

và biến điều khiển phải thỏa mãn một số điều kiện tương thích

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận án này là chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu và đưa

ra các điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán (P1), (P2), (P3), cụ thể là:

(i) Chỉ ra sự tồn tại nghiệm tối ưu, thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp một và điều kiện đủtối ưu cấp hai cho bài toán (P1)

(ii) Chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu, thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp một và điều kiện

đủ tối ưu cấp hai cho bài toán (P2)

(iii) Chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu, thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp một, điều kiệncần tối ưu cấp hai và điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho bài toán (P3)

3 Cấu trúc và kết quả của luận án

Luận án gồm bốn chương và một danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về các không gian Sobolev và phươngtrình đạo hàm riêng liên quan đến hệ Navier-Stokes-Voigt và một số kết quả phụ.

Chương 2 trình bày các kết quả về bài toán điều khiển tối ưu trong miền

Chương 3 trình bày các kết quả về bài toán điều khiển tối ưu thời gian

Chương 4 trình bày các kết quả về bài toán điều khiển tối ưu trên biên

Các chương 2, 3 được viết dựa trên các bài báo [CT1], [CT2] trong Danh mục công trìnhkhoa học liên quan đến luận án và được đăng trong các tạp chí Numerical Functional Analysisand Optimization và Applied Mathematics and Optimization Kết quả trong Chương 4 là nộidung của công trình [CT3] trong Danh mục công trình và đã được gửi đăng

3 Các phép nhúng liên tục và compact: Định lý Rellich-Kondrachov, các phép nhúng trongcác không gian hàm trừu tượng.

4 Các toán tử: Dạng tam tuyến tính, toán tử grad, một số toán tử tuyến tính liên tục vàsong tuyến tính cần dùng

5 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ Navier-Stokes-Voigt không dừng trong không gian bachiều

6 Một vài kết quả phụ về hệ tuyến tính hóa: định nghĩa nghiệm yếu và một số tính chấtcủa nghiệm yếu

7 Một số khái niệm trong Giải tích lồi: nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến của tập lồi trongkhông gian Hilbert

Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [CT1] trong Danh mục công trìnhkhoa học liên quan đến luận án.

Cho Ω là một miền bị chặn trong R3 với biên Lipschitz địa phương Γ và T > 0 là thời điểmcuối được cố định Kí hiệu Q là trụ Ω × (0, T ) Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bàitoán cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu dạng toàn phương sau

J (y, u) = αT

2

ZΩ

|y(x, T ) − yT(x)|2dx +αQ

2

Z ZQ

|y(x, t) − yQ(x, t)|2dxdt

+γ2

Z ZQ

Ta phát biểu lại bài toán điều khiển tối ưu một cách chính xác như sau: Tìm

min J (y, u),ràng buộc bởi hệ phương trình

yt+ νAy + α2Ayt+ B(y, y) = u trong L2(0, T ; V0),

y(0) = y0 trong V,

và điều kiện

u ∈ Uad.Chúng tôi sẽ khai thác ý tưởng và phương pháp sử dụng trong bài toán điều khiển tối ưu hệphương trình Navier-Stokes Trong khi sự tồn tại nghiệm tối ưu được chứng minh theo phươngpháp quen thuộc, chúng tôi chọn một cách tiếp cận hơi khác khi thiết lập điều kiện cần tối

ưu, đó là tính trực tiếp các đạo hàm theo hướng của phiếm hàm mục tiêu theo biến điều khiểnthay vì sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange Chúng tôi chọn cách tiếp cận này vì nó có vẻ

tự nhiên hơn do chỉ sử dụng ý tưởng đơn giản như tìm cực trị của hàm thực một biến Cáchtiếp cận của chúng tôi cũng dẫn đến một dạng mới của điều kiện tối ưu cấp hai mà không biểudiễn qua đạo hàm cấp hai của hàm Lagrange như thông thường, mặc dù sau khi tính toán thì

cả hai dạng đều có cùng giá trị Chúng tôi cũng sử dụng cùng cách tiếp cận này khi nghiên cứucác bài toán điều khiển tối ưu trong Chương 3 và Chương 4 Để chứng minh điều kiện đủ tối

ưu cấp hai, chúng tôi sử dụng phương pháp phản chứng giống như D Wachsmuth đã sử dụngcho bài toán điều khiển tối ưu đối với hệ Navier-Stokes trong không gian hai chiều

Trong không gian ba chiều, do sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của hệ phương trình Stokes-Voigt, chúng tôi không phải đối mặt với những khó khăn mà các tác giả khác đã gặpphải khi xét bài toán điều khiển tối ưu trong miền đối với hệ phương trình Navier-Stokes Cũng

Navier-vì lí do này mà bài toán tối ưu chúng tôi đang xét có những điểm tương đồng với bài toánđiều khiển tối ưu trong miền đối với hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian hai chiềuđược xét trong luận án tiến sĩ của D Wachsmuth (2006) D Wachsmuth làm việc với tập ràngbuộc dạng hình hộp còn chúng tôi chọn tập ràng buộc là một tập lồi, đóng, khác rỗng bất kì.Khi tập ràng buộc có dạng hình hộp, người ta có thể chứng minh rằng mỗi phương trong nón

TUad(¯u) ∩ C(¯u) là giới hạn của một dãy các phương trong nón FUad(¯u) ∩ C(¯u) (xem định nghĩacủa C(¯u) trong (2.32)) Đây chính là điểm mấu chốt để thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp haitrong luận án của D Wachsmuth Tuy nhiên, do lựa chọn tập ràng buộc là một tập lồi, đóng,khác rỗng bất kì, chúng tôi không có cách nào nhận được một xấp xỉ tương tự khi điều khiểntối ưu không thuộc vào phần trong của tập ràng buộc Do đó chúng tôi không thiết lập đượcđiều kiện cần tối ưu cấp hai Tuy nhiên, nếu xét tập ràng buộc có dạng hình hộp và sử dụngkết quả về sự xấp xỉ nêu trên thì chúng tôi cũng thu được điều kiện cần tối ưu cấp hai tương

tự như của D Wachsmuth

Trước tiên, chúng tôi đưa ra các định nghĩa nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu trên.Định nghĩa 2.2.1 (i) Một điều khiển ¯u ∈ Uad được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục nếu

J (¯y, ¯u) ≤ J (y, u), ∀u ∈ Uad

(ii) Một điều khiển ¯u ∈ Uad được gọi là nghiệm tối ưu địa phương nếu tồn tại hằng số ρ > 0sao cho

J (¯y, ¯u) ≤ J (y, u)với mọi u ∈ Uad với ku − ¯ukL2 (Q) ≤ ρ

Ở đây, ¯y và y tương ứng là trạng thái liên kết với ¯u và u

Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại của nghiệm tối ưu và được chứng minh bằng một phươngpháp cơ bản dùng cho các bài toán điều khiển tối ưu

Định lí 2.2.2 Bài toán điều khiển tối ưu có ít nhất một nghiệm tối ưu toàn cục ¯u ∈ Uad vớitrạng thái liên kết tương ứng là ¯y ∈ W1,2(0, T ; V )

2.3 Điều kiện cần tối ưu cấp một

Giả sử rằng ¯u là nghiệm tối ưu địa phương với trạng thái liên kết tương ứng kí hiệu là ¯y.Xét hệ phương trình liên hợp sau

Điều kiện cần tối ưu cấp một được phát biểu trong định lý sau đây

Định lí 2.3.3 Giả sử rằng ¯u là nghiệm tối ưu địa phương với trạng thái liên kết tương ứng

kí hiệu là ¯y Khi đó tồn tại w là nghiệm yếu duy nhất của hệ phương trình liên hợp (2.9) trênkhoảng (0, T ) Hơn nữa, ta có

Z ZQ(w + γ ¯u) · hdxdt ≥ 0, ∀h ∈ TUad(¯u) (2.11)

Đặc biệt, ta có bất đẳng thức biến phân sau

Z ZQ(w + γ ¯u) · (v − ¯u) ≥ 0, ∀v ∈ Uad

Điều kiện đủ để một điều khiển là nghiệm tối ưu được đưa ra trong định lý sau đây (điềukiện (2.28)) Hơn nữa, ta còn nhận được sự tăng trưởng bậc hai theo chuẩn của L2 của phiếmhàm mục tiêu trong một L2-lân cận của nghiệm tối ưu (xem (2.33))

Định lí 2.4.1 Giả sử ¯v = (¯y, ¯u) là một cặp chấp nhận được và ¯v cùng với trạng thái liên hợp

w thỏa mãn điều kiện cần tối ưu cấp một, tức là thỏa mãn hệ phương trình (2.9) và bất đẳngthức (2.11) Thêm nữa, ta giả sử cặp ¯v = (¯y, ¯u) thỏa mãn giả thiết dưới đây, sau này gọi làđiều kiện đủ tối ưu cấp hai:

|z|2dxdt + γ

2

Z ZQ

|h|2dxdt −

Z T 0b(z(t), z(t), w(t))dt > 0 (2.28)

với mọi h ∈ (TUad(¯u) ∩ C(¯u))\{0}, trong đó z là nghiệm yếu duy nhất của hệ tuyến tính hóa sau

Khi đó tồn tại ε > 0 và ρ > 0 sao cho

J (v) ≥ J (¯v) + εku − ¯uk2L2 (Q) (2.33)với mọi cặp v = (y, u) với ku − ¯ukL2 (Q)≤ ρ Từ đây ta suy ra ¯u là nghiệm tối ưu địa phương.Chú ý 2.4.2 Để thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp một chúng tôi chỉ cần chứng minh ánh xạđiều khiển - trạng thái u 7→ y có đạo hàm theo hướng, nhưng để thiết lập điều kiện đủ tối ưucấp hai thì chúng tôi cần một tính chất tốt hơn của ánh xạ này, đó là sự khả vi Fréchet đếncấp hai Mặc dù không phát biểu một cách rõ ràng, chúng tôi đã chứng minh tính chất nàytrong chứng minh của định lý trên

Chú ý 2.4.3 Trong chương này, chúng tôi xét bài toán điều khiển tối ưu trong miền đối với hệphương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều trong trường hợp không có ràng buộc đặt lên trạngthái Đối với trường hợp có ràng buộc đặt lên cả điều khiển và trạng thái tại từng điểm, mộtbài toán điều khiển tối ưu tương tự được nghiên cứu gần đây bởi N H Sơn và T M Nguyệt(2019)

Navier-Stokes-Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [CT2] trong Danh mục công trìnhkhoa học liên quan đến luận án.

2kuk2

W 1,2 (0,T ;L 2 (Ω) 3 ),với

T∗(u) := inf

(

t ∈ [0, T ] :

ZΩ

|∇y(t) − ∇ye|2dt

1/2

≤ δ

)

Ở đây, ye là trạng thái mong muốn đạt tới; δ, γ là hằng số dương cho trước và y là trạng tháiliên kết với điều khiển u, tức y là nghiệm yếu duy nhất của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt