tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình navier-stokes

Möc löcMöc löc... kþ hi»u c¡c khæng gian Sobolev... To¡n tû Stokes l tü li¶n hñp... Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -NGÔ VĂN GIANG

TÍNH TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

Thái Nguyên, năm 2011

Möc löc

Möc löc 2

Mët sè kþ hi»u 3

Mð ¦u 5

1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 7 1.1 Khæng gian Sobolev 7

1.1.1 ¤o h m y¸u 7

1.1.2 Khæng gian Sobolev 8

1.1.3 Khæng gian H−1 9

1.1.4 Khæng gian phö thuëc thíi gian 9

1.2 Mët sè b§t ¯ng thùc cì b£n 11

1.2.1 B§t ¯ng thùc Cauchy vîi  11

1.2.2 B§t ¯ng thùc Holder 12

1.2.3 B§t ¯ng thùc nëi suy èi vîi chu©n Lp 12

1.2.4 B§t ¯ng thùc Gronwall 12

1.2.5 B§t ¯ng thùc Sobolev 12

1.3 Ph÷ìng tr¼nh Stokes 13

1.3.1 ành ngh¾a 13

1.3.2 T½nh ch§t 13

1.4 To¡n tû Stokes 14

1.4.1 ành ngh¾a 14

1.4.2 T½nh ch§t 14

1.5 B§t ¯ng thùc cho sè h¤ng phi tuy¸n 16

2 Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 19 2.1 Mët sè b§t ¯ng thùc ÷îc l÷ñng nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 19

2.2 Sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 26 3 Nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 29 3.1 Sü tçn t¤i nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 29 3.1.1 Trong tr÷íng hñp 2 chi·u 30

3.1.2 Trong tr÷íng hñp 3 chi·u 33

3.2 Sü duy nh§t cõa nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes 35

3.2.1 Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 2 chi·u 35

3.2.2 Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 3 chi·u 36

K¸t luªn 39

• Ck( ¯U ) = {u ∈ Ck(U ) | Dαul  li¶n töc ·u vîi måi |α| ≤ k}.

Do â: n¸u u ∈ Ck( ¯U )th¼ Dαuth¡c triºn li¶n töc tîi ¯U vîi måi a ch¿

kukLp (U ) = ess sup

U

|u|

• Lploc(U ) = {u : U → R | u ∈ Lp(V ), vîi måi V ⊂⊂ U}

• Hk(U ), Wpk(k = 1, 2, 3 ) kþ hi»u c¡c khæng gian Sobolev

Mð ¦u

H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes l¦n ¦u ti¶n ÷ñc nghi¶n cùu v o n«m

1822, cho ¸n nay ¢ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu vi¸t v· ph÷ìngtr¼nh n y tuy nhi¶n nhúng hiºu bi¸t cõa ta v· ph÷ìng tr¼nh n y cán qu¡khi¶m tèn Muèn hiºu ÷ñc hi»n t÷ñng sâng dªp sau uæi con t u ch¤ytr¶n m°t n÷îc hay hi»n t÷ñng hén lo¤n cõa khæng kh½ sau uæi m¡y baykhi bay tr¶n b¦u tríi chóng ta ·u ph£i t¼m c¡ch gi£i h» ph÷ìng tr¼nhNavier-Stokes Do nhu c¦u cõa Khoa håc v  Cæng ngh» m  vi»c nghi¶ncùu h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes c ng trð n¶n thíi sü v  c§p thi¸t.H» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes mæ t£ sü chuyºn ëng cõa ch§t längtrong Rn (n = 2 ho°c n = 3) Ta gi£ thi¸t r¬ng ch§t läng khæng n²n ÷ñcl§p ¦y Rn Ta i t¼m mët h m vectì vªn tèc u(x, t) = (ui(x, t)), i =

1, 2, , n v  h m ¡p su§t p(x, t), x¡c ành t¤i và tr½ x ∈ Rn v  thíi gian

t > 0, thäa m¢n h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes nh÷ sau:

Ð ¥y, h m vectì uo(x) l  h m kh£ vi væ h¤n vîi div uo = 0, fi(x, t) l nhúng h m ¢ bi¸t biºu thà c¡c lüc t¡c ëng b¶n ngo i, ν l  mët h» sèd÷ìng.

Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng v  t i li»u tham kh£o Cöthº l 

Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng 2: Nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes

Ch÷ìng 3: Nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-stokes

Cuèi còng, tæi xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c tîith¦y gi¡o PGS TSKH Nguy¹n Minh Tr½, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n,t¤o måi i·u ki»n gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y Tæi xin ch¥n

th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m KhoaTo¡n  Tr÷íng H S÷ ph¤m  H Th¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cægi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y kho¡ håc, xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh,b¤n b±, çng nghi»p v  c¡c b¤n còng lîp cao håc To¡n K17 ¢ luæn quant¥m, ëng vi¶n v  gióp ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp v  l m luªnv«n

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y sì bë v· khæng gian Sobolev, mët sè b§t

¯ng thùc cì b£n, ph÷ìng tr¼nh Stokes, to¡n tû Stokes v  mët sè b§t

¯ng thùc v· sè h¤ng phi tuy¸n

1.1 Khæng gian Sobolev

Trong ph¦n n y tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ li¶n quan

¸n khæng gian Sobolev, ph¦n chùng minh chi ti¸t câ thº xem trong [5].1.1.1 ¤o h m y¸u

ành ngh¾a 1.1.1 Gi£ sû u, v ∈ L1

loc(U ) v  α l  mët a ch¿ sè Ta nâir¬ng v l  ¤o h m y¸u c§p α cõa u n¸u

Bê · 1.1.2 (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m y¸u) Mët ¤o h m y¸u c§p

α cõa u n¸u tçn t¤i th¼ ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t (sai kh¡c tr¶n

Chóng ta kþ hi»u |u| = kukL 2 (Ω) Chu©n Dirichlet

1.1.4 Khæng gian phö thuëc thíi gian

ành ngh¾a 1.1.10 Khæng gian

Lp(0, T ; X)gçm t§t c£ c¡c h m o ÷ñc u : [0, T ] → X vîi

kukLp (0,T ;X) := (

Z T

0

ku(t)kpdt)1/p < ∞

|u(t, x)|qdx)p/qdt)1/p < ∞vîi 1 ≤ p < ∞, v 

kukL∞ (0,T ;L q ) := ess sup

0≤t≤T

ku(t)kLq (Ω) < ∞

ành ngh¾a 1.1.12 Khæng gian

C([0, T ]; X)gçm t§t c£ c¡c h m li¶n töc u : [0, T ] → X vîi

Z t

s

u0(τ )dτvîi méi 0 ≤ s ≤ t ≤ T Hìn núa,

max

h¬ng sè C ch¿ phö thuëc v o T

ành lþ 1.1.14 Gi£ sû u ∈ L2(0, T ; H01(U )), vîi u0 ∈ L2(0, T ; H−1(U )).(i) Khi â

kukLr (U ) ≤ kukθLs (U )kuk1−θLt (U ).

1.2.4 B§t ¯ng thùc Gronwall

Cho η(.) l  mët h m li¶n töc tuy»t èi, khæng ¥m tr¶n [0, T ] v  thäam¢n h¦u kh­p t b§t ¯ng thùc vi ph¥n

η0(t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t)trong â φ(t), ψ(t) l  c¡c h m kh£ t½ch, khæng ¥m tr¶n [0, T ] Khi â

p ∗ = 1p−n1 Khi â tçn t¤i h¬ng sè C ch¿ phö thuëc

v o p v  n sao cho:

kukLp∗ ≤ CkDukLp (R n )

1.3 Ph÷ìng tr¼nh Stokes

1.3.1 ành ngh¾a

Cho Ω l  tªp mð, bà ch°n trong Rn Cho f ∈ L2(Ω)n Ph÷ìng tr¼nhStokes cho vector u = (u1, u2, un) v  væ h÷îng f l  (ν > 0 l  mët h¬ngsè)

−ν∆u + grad p = f trong Ω (1.1)

div u = 0 trong Ω (1.2)

u = 0 trong ∂Ω (1.3)N¸u u, p l  c¡c h m trìn th¼ t½ch ph¥n tøng ph¦n ta ÷ñc

ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V (1.4)Trong â ((u, v)) l  t½ch væ h÷îng

ành lþ 1.3.1 Cho Ω l  tªp mð, bà ch°n Khi â vîi méi f ∈ L2(Ω)n, ν >

0 tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (1.1)-(1.3)

ành lþ 1.3.2 Cho Ω l  tªp mð, bà ch°n cõa lîp C2 Khi â vîi méi

f ∈ L2(Ω)n, ν > 0 tçn t¤i duy nh§t nghi»m u ∈ H2(Ω) ∩ V, p ∈ H1(Ω)cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (1.1)-(1.3) Hìn núa,

Cho Ω l  mët tªp mð, bà ch°n trong R, ∂Ω thuëc lîp C2 Cho f ∈

L2(Ω)n Gåi P : L2(Ω)n → H l  ph²p chi¸u Helmoltz-Leray

ành ngh¾a 1.4.1 To¡n tû Stokes ÷ñc ành ngh¾a l 

A : D(A) ⊂ H → H, A = −P∆, D(A) = H2(Ω) ∩ V

1.4.2 T½nh ch§t

M»nh · 1.4.2 To¡n tû Stokes l  èi xùng, tùc l 

(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A)

Chùng minh Tr÷îc h¸t gi£ sû u, v ∈ (C∞

0 (Ω))n v  div u = div v = 0.Th¼ tø P u = u, P v = v n¶n (Au, v) = (u, Av) v  ta câ

−Z

B¥y gií, n¸u u, v ∈ D(A), tòy þ, chóng ta câ thº x§p x¿ chóng trong

H1(Ω)n bði mët h m trong V N¸u u ∈ D(A) v  v ∈ V th¼ hiºn nhi¶n

−Z

(Au, v) = ((u, v)), ∀u, v ∈ D(A)

Tø ((u, v)) l  èi xùng n¶n m»nh · ÷ñc chùng minh Chóng ta chó þr¬ng (Au, v) = ((u, v)) óng vîi u ∈ D(A), v ∈ V

ành lþ 1.4.3 To¡n tû Stokes l  tü li¶n hñp

ành lþ 1.4.4 Nghàch £o cõa to¡n tû Stokes, A−1, l  to¡n tû compacttrong H

Chùng minh Cho f ∈ H, A−1f = u trong â u l  nghi»m duy nh§tthuëc H2(Ω) ∩ V = D(A) cõa ph÷ìng tr¼nh Stokes (xem [1]) Ta ¢ bi¸t

A−1 : H → V l  bà ch°n Ta câ K = A−1 l  ìn ¡nh, copact v  tü li¶nhñp v¼

< A−1f, g >=< A−1f, AA−1g >=< AA−1f, A−1g >=< f, A−1g >

Do â tçn t¤i mët d¢y c¡c sè d÷ìng µj > 0, µj+1 ≤ µj v  mët cì sð trücgiao cõa H l  (wj) thäa m¢n Kwj = µjwj °t λj = µ−1j ta câ

Awj = λjwj (1.5)

1.5 B§t ¯ng thùc cho sè h¤ng phi tuy¸n

Chóng ta ành ngh¾a sè h¤ng phi tuy¸n

s1, s2, s3 l  c¡c sè thüc, 0 ≤ s1 ≤ l, 0 ≤ s2 ≤ l − 1, 0 ≤ s3 ≤ l Gi£ sûr¬ng s1 + s2 + s3 ≥ n2 v  (s1, s2, s3) 6= (0, 0, n2), (0, n2, 0), (n2, 0, 0) th¼ tçnt¤i mët h¬ng sè ëc lªp vîi s1, s2, s3, Ω sao cho

vîi måi u, v, w ∈ C∞( ¯Ω)n.

Chó þ 1.5.2 ×îc l÷ñng (1.9) câ thº suy ra

|b(u, v, w)| ≤ c|Ω|s1+s2+s3n − 1

2 k u ks1,Ωk v ks2+1,Ωk u ks3,Ω Chó þ 1.5.3 Trong tr÷íng hñp (s1, s2, s3)l  mët trong c¡c vectì (0, 0, n

2),(0,n2, 0), (n

2, 0, 0) t÷ìng ùng vîi mët ¡nh gi¡ cõa d¤ng L∞ Khi â ta

câ c¡c ¡nh gi¡ sau:

|b(u, v, w)| ≤ ckukL∞kvk1,Ωkwk0,Ω ≤ ckuk1−tl0 ,Ωkuktl,Ωkvk1,Ωkwk1−t0,Ω (1.10)vîi n

2 = (1 − t)l0+ tl, t ∈ (0, 1), Ω thuëc lîp Cl

|b(u, v, w)| ≤ ckuk0,Ωkvk1,ΩkwkL∞ ≤ ckuk0,Ωkvk1,Ωkwk1−tl0 ,Ω|wktl,Ω (1.11)

|b(u, v, w)| ≤ ckuk0,Ωkwk0,Ωk∇vkL∞ ≤ ckuk0,Ωkwk0,Ωkvk1−tl0 +1,Ωkvktl+1,Ω

(1.12)Vîi u, v, w ∈ V ta câ t½nh ch§t °c bi»t sau cõa sè h¤ng phi tuy¸n

b(u, v, w) = −b(u, w, v), (1.13)b(u, v, v) = 0 (1.14)Thªt vªy, trong tr÷íng hñp khæng gian 3 chi·u ta câ

= −12

3

X

j=1

(Z

M»nh · 1.5.5 Cho Ω ⊂ Rn l  tªp mð, bà ch°n, cõa lîp Cl Cho

s1, s2, s3 l  c¡c sè thüc thäa m¢n 0 ≤ s1 ≤ l, 0 ≤ s2 ≤ l − 1, 0 ≤

s3 ≤ l Gi£ sû r¬ng s1+ s2+ s3 ≥ n/2 v  (s1, s2, s3) khæng l  (n/2, 0, 0),(0, n/2, 0), (0, 0, n/2) Khi â tçn t¤i mët h¬ng sè c = c(s1, s2, s3, Ω) thäam¢n, ∀u, v ∈ C∞( ¯Ω)n

|A−s3 /2B(u, v)| ≤ c|Ω|s1+s2+s32 − 1

2kuk1+[s1 ]−s1[s 1 ],Ω kuks1 −[s 1 ]

[s 1 ]+1,Ω×

×kvk1+[s2 ]−s 2

[s 2 ]+1,Ω kvks2 −[s 2 ]

mæ t£ ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Galerkin â l  h» c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥nth÷íng.

Cho m l  sè nguy¶n d÷ìng Chóng ta x²t w1, w2, , wm l  m vectìri¶ng cõa A X²t ph²p chi¸u pm : H −→ span(H)

T¡c ëng Pm v o (2.1) ta ÷ñc

d

P u = νA(P u) + P B(u, u) = P f (2.3)

Khi â h» Galerkin s³ l 

Nh¥n væ h÷îng c£ hai v¸ cõa (2.4) vîi wj ta ÷ñc :

d

dt(um, wj) + ν(Aum, wj) + (PmB(um, um), wj) = (gm, wj) (2.6)

⇔ dξj

dt + ν(um, Awj) + b(um, um, wj) = ηj. (2.7)V¼

Sè h¤ng b(wk, wl, wj) vîi méi k cè ành l  ph£n xùng vîi l v  j, tùc l 

b(wk, wl, wj) = −b(wk, wj, wl)

T½nh ch§t n y suy ra r¬ng o¤n cüc ¤i cõa sü tçn t¤i cõa ξ(t) l tròng vîi cõa η Nâi c¡ch kh¡c n¸u η câ thº x¡c ành ( v  li¶n töc) vîimåi t th¼ ξ công vªy

L§y t½ch væ h÷îng cõa (2.8) vîi ξj rçi têng l¤i ta ÷ñc:

12

d|ξ(t)|2

dt ≤ −νλ1|ξ(t)|2 + |η(t)|2

νλ1 .Theo b§t ¯ng thùc Gronwall ta suy ra

Tø â ta suy ra n¸u |η(t)| bà ch°n th¼ |ξ(t)| bà ch°n

¡nh gi¡ v¸ ph£i cõa (2.10) ta câ

Gi£ sû d¢y u0

m l  bà ch°n trong H v  d¢y gm l  bà ch°n trong L2(0, T ; V0).Chóng ta chó þ r¬ng khæng gian Lp

(I, X), I ⊂ R, 1 ≤ p ≤ +∞, X l khæng gian Banach, l  khæng gian c¡c h m X(t) : I → X thäa m¢n chu©nkX(t)kX l  o ÷ñc v  RIkX(t)kpXdt, p ≤ +∞, esst∈I sup kX(t)k < ∞vîi p < ∞ N¸u

|um(0)| ≤ |u0| (2.14)Th¼ tø (2.12) ta suy ra d¢y um l  bà ch°n trong L∞(0, T ; H)

Tø um l  bà ch°n trong L2(0, T ; V ) cho th§y Aum l  bà ch°n trong

M > 0, p > 1 vîi m = 1, 2, Th¼ tçn t¤i mët d¢y con um j cõa um hëi

tö trong L2(0, T ; H) tîi h m u ∈ L2(0, T ; H), ngh¾a l :

X0 ,→ X−1 l  li¶n töc Cho u : [0, T ] → X0 l  h m o ÷ñc m¤nh,chóng ta nâi r¬ng du/ds ∈ Lp(0, T ; X−1) vîi 1 < p < ∞ n¸u tçn t¤i

∀L ∈ (X−1)0 (khæng gian èi ng¨u cõa X−1)

Bê · 2.1.3 Vîi måi  > 0 tçn t¤i C > 0 thäa m¢n ∀x ∈ X1 th¼

k x k0≤ ε k x k1 +C k x k−1 Chùng minh Gi£ sû ng÷ñc l¤i Tçn t¤i 1 d¢y xm ∈ X1 sao cho

k xm k0≥ ε k xm k1 +m k xm k−1

°t ym = xm

kxmk1 khi â ta câ

kymk1 = 1 Tø X1 l  copact y¸u Chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng ym hëi töy¸u trong X1 tîi y Tø ph²p nhóng X1 ,→ X0 l  compact n¶n ym hëi töm¤nh tîi y trong X0 Tø kymk0 l  bà ch°n n¶n kymk−1 hëi tö tîi 0 suy

ra y = 0 Nh÷ng kymk0 ≥  → kyk0 ≥  i·u n y l  m¥u thu¨n Vªy ta

câ i·u ph£i chùng minh

Bê · 2.1.4 Cho um l  d¢y bà ch°n trong Lp 1(0, T ; X1) Gi£ sû r¬ng

1 = 1, X10 l  èi ng¨u cõa

X1) Do â tçn t¤i 1 d¢y con cõa um hëi tö y¸u trong Lp1(0, T ; X1).Chóng ta gi£ sû r¬ng um 0 hëi tö y¸u trong Lp1(0, T ; X1) tîi 0 Muènchùng minh sû hëi tö l  m¤nh trong Lp 1(0, T ; X0) Chóng ta sû döng bê

N¸u I ⊂ [0, T ] th¼ d¢y RIum(s)ds hëi tö y¸u tîi 0 ⊆ X1

Gåi χI l  h m °c tr÷ng cõa I, khi â vîi ∀L ∈ X0

1, χI(s)L l  mëtph¦n tû cõa Lp 1(0, T ; X1) v 

1 p20(

Trong â 1

p 2 0 + p1

2 = 1.Cho tr÷îc 0 > 0 chån  sao cho cp201

Khæng gian Cw(0, T ; H) l  khæng gian con cõa L∞(0, T ; H) bao gçm

ành lþ 2.2.2 (Leray) Tçn t¤i ½t nh§t mët nghi»m y¸u cõa h» ph÷ìngtr¼nh Navier-Stokes vîi ∀u0 ∈ H, f ∈ L2(0, T ; V0) Hìn núa,

um0 l  mët d¢y con cõa um hëi tö y¸u trong L2(0, T ; V ), m¤nh trong

L2(0, T ; H) v  trong C(0, T ; V0) tîi u Hìn núa, dum0

dt hëi tö y¸u trong

lim um(t0) = u(t0), hëi tö m¤nh trong H, t0 6∈ E

B¥y gií ta câ

du/dt ∈ L2(0, T ; V0) vîi d=2 ta câ ÷îc l÷ñng sau

|A−1/2B(u, u)| ≤ c|u|kuk( (A−1/2B(u, u), v) = b(u, u, A−1/2v) = −b(u, A−1/2v, u) suy ra

|A−1/2B(u, u), v| ≤ c|u|kuk|v| i·u n y còng vîi um bà ch°n trong

L2(0, T ; V ) v  L∞(0, T ; H) suy ra A−1/2B(um, um)) l  bà ch°n trong

L2(0, T ; V )

Ch֓ng 3

Nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes

3.1 Sü tçn t¤i nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng tr¼nh

12

d

dt k um k2 +ν|Aum|2 + b(um, um, Aum) = (f, Aum) (3.6)Chóng ta s³ nghi¶n cùu nghi»m m¤nh cõa ph÷ìng tr¼nh trong hai tr÷ínghñp khæng gian 2 chi·u v  khæng gian 3 chi·u

Do â trong méi o¤n câ ë d i τ tçn t¤i mët thíi gian t0 ∈ [t, t + τ ]sao cho

|b(um, um, Aum)| ≤ c|um|1/2kumk|Aum|3/2 (3.12)N¶n (3.6) trð th nh

t0 c ν3 |u m | 2 ku m k 2 ds

ta ֖cd

dt[kumk2e−

R t t0 c ν3 |u m | 2 ku m k 2 ds

.T½ch ph¥n 2 v¸ ta ÷ñc

kumk2 ≤ kum(t0)k2e

R t t0 c ν3 |u m | 2 ku m k 2 ds

,(3.14)vîi 0 ≤ t0 ≤ t

B¥y gií ta ¡nh gi¡ mô cõa h m e, sû döng (3.9), (3.10) ta câ

ta câ

ku (t)k2 ≤ AeB + 2|f |

2

∞τ eB

Trong â A l  v¸ ph£i cõa (3.11) v  B l 

ν2λ21) 2

(3.15)M»nh · 3.1.1 Cho m ≥ 1 l  sè nguy¶n Cho u0 ∈ H, f ∈ L∞(R, H),

um l  nghi»m cõa h» Galerkin

dum

dt + νAum + PmB(um, um) = Pmf

um(0) = Pmu0.Khi â, tçn t¤i mët h¬ng sè ρ0 ëc lªp vîi ν, λ1, |u0| sao cho

sup

0≤t≤1/νλ 1

kum(t)k ≤ ρ1 (3.18)Chuyºn qua giîi h¤n ta ÷ñc

ành lþ 3.1.2 Cho Ω l  tªp mð, bà ch°n cõa lîp C2 Cho u0 ∈ H, f ∈

L∞(R+, H) Cho T > 0 Khi â tçn t¤i mët nghi»m u cõa h» ph÷ìngtr¼nh Navier-Stokes

du

dt + νAu + B(u, u) = f

u(0) = u ,

k um k2< c1/2ν2λ1/21 (3.24)V¼ tø (3.23) suy ra k um(0) k2< c−1/2ν2λ1/21 Tø k um(t) k l  h m trìnn¶n k um(t) k2< c−1/2ν2λ1/21 vîi t õ nhä.

ành lþ 3.1.3 Cho Ω ⊂ R3 l  tªp mð, bà ch°n cõa lîp C2 Khi â tçnt¤i mët h¬ng sè C > 0 sao cho, vîi u0 ∈ V v  f ∈ L2(0, T ; H) thäa m¢n

du

dt + νAu + B(u, u) = f (3.26)

u(0) = u0 (3.27)u(t) ∈ L∞(0, T ; V ) ∩ L2(0, T ; D(A)) v  thäa m¢n

3.2 Sü duy nh§t cõa nghi»m m¤nh cõa h» ph÷ìng

tr¼nh Navier-Stokes

3.2.1 Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 2 chi·u

ành lþ 3.2.1 Cho Ω ⊂ R2 l  tªp mð, bà ch°n, cõa lîp C2 Cho f ∈

L2(0, T ; V0) Hai nghi»m thuëc L2(0, T ; V ) ∩ Cw(0, T ; H) cõa

du

dt + νAu + B(u, u) = f (3.29)u(0) = u0 ∈ H (3.30)ph£i tròng nhau

Chùng minh Gi£ sû hai nghi»m l  u1, u2 °t w = u1 − u2 Tø (3.29)

= B(u1, u1) − B(u2, u2))

Tø (3.30) ta suy ra

w(0) = u1(0) − u2(0) = u0 − u0 = 0 (3.32)Nh¥n væ h÷îng (3.31) vîi w ta ÷ñc

< dw, w > +νkwk2 + b(w, u , w) = 0, (3.33)

(v¼ b(u1, w, w) = 0) Ta câ ¡nh gi¡ sau

b(w, u2, w) ≤ c|w|kwkku2k

Chóng ta th§y < dw

dt, w >= 12dtd|w|2 ∈ L1(0, T ) Tø (3.33) ta ÷ñc1

|w(t)|2 ≤ |w(0)|2e2νc2

R t

0 ku 2 (s)k 2 ds

Tø |w(0)| = 0 n¶n w = 0 Vªy u1 ≡ u2

3.2.2 Sü duy nh§t nghi»m trong tr÷íng hñp 3 chi·u

ành lþ 3.2.2 Cho Ω ⊂ R3 l  tªp mð, bà ch°n, cõa lîp C2 Cho f ∈

L2(0, T ; H), u0 ∈ V Hai nghi»m thuëc L2(0, T ; D(A)) ∩ Cw(0, T ; V ) cõa(3.29) (3.30) ph£i tròng nhau

Chùng minh Ta chùng minh sü duy nh§t cõa nghi»m trong tr÷íng hñp

3 chi·u t÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hñp 2 chi·u v  ta công câ (3.33)

Chó þ 3.2.3 Theo chùng minh tr¶n ta th§y r¬ng n¸u trong tr÷íng hñp

u1, u2 câ mët nghi»m l  nghi»m y¸u, mët nghi»m l  nghi»m m¤nh th¼

ta v¨n chùng minh ÷ñc chóng la tròng nhau Tuy nhi¶n trong tr÷ínghñp c£ hai nghi»m l  nghi»m y¸u th¼ v§n · v¨n cán º ngä