Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2chủ đề 6
cực trị của hàm số lợng giác
I Kiến thức cơ bản
Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm số lợng giác y=f(x).
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số
Bớc 2 : Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0, giả sử có nghiệm x=x0 Bớc 3 : Khi đó:
Tìm đạo hàm y''
Tính y''(x0) rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 2
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y=sinx(1+cosx).
Giải
Miền xác định D=R
Đạo hàm:
y'= (1+cosx)cosx+sinx.(-sinx)=2cos2x+cosx-1
y'=0 2cos2x+cosx-1=0
2
1 x cos
1 x cos
k 2 3 x
k 2 x
, kZ
y''=-4sinx.cosx-sinx
Ta có:
- Với x=+2k thì y''(+2k)=0
x=+2k không phải là điểm cực trị của hàm số
- Với x=
3
+2k thì y''(
3
+2k)<0
hàm số đạt cực đại tại các điểm x=
3
+2k, kZ
- Với
x=-3
+2k thì
y''(-3
+2k)>0
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
x=-3
+2k, kZ
Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y=ex.cosx
Giải
Miền xác định: D=R
Đạo hàm:
y'=ex.cosx-ex.sinx
y'=0 ex.cosx-ex.sinx =0 cosx-sinx=0 x=
4
+ k, kZ
y''= ex.cosx-ex.sinx-( ex.sinx+ ex.cosx)=-2ex.sinx
Ta có: với x=
4
+ k thì:
-Nếu k=2l y''(
4
+ k)= y''(
4
+ 2l)=2 2 l
4
+ 2l)>0 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x= + 2l, lZ
Trang 3-Nếu k=2l+1 y''(
4
+ k)= y''[
4
+ (2l+1)]=2 2 l
4
5 + 2l)<0
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x=
4
+ (2l+1), lZ
Bài toán 2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
phơng pháp chung
Ta có:
Miền xác định D
Đạo hàm: y' & y''
a Hàm số có cực trị hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D
0 '
y
0 '
y
b Hàm số có cực tiểu hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D
0 '
y
0 '
c Hàm số có cực đại hệ phơng trình sau có nghiệm thuộc D
0 '
y
0 '
y
Bài 2 (ĐHNT TP.HCM- 96): Cho hàm số y=
x cos a
1 x cos x sin
Xác định a để hàm số đạt cực trị tại ba điểm phân biệt thuộc (0,
4
9
) Giải
Điều kiện cosx0 x
2
+k (kZ)
Vậy D=R\{ x=
2
+k (kZ)}
Đạo hàm:
y'=
x cos
a
x sin a
2
y''=
x cos a
1 x sin a x sin
3
Hàm số đạt cực trị tại ba điểm phân biệt thuộc (0,
4
9
) trớc hết phơng
trình (1) có ba nghiệm phân biệt thuộc (0,
4
9
)\{
2
, 2
3
}
sinx=a có ba nghiệm phân biệt thuộc (0,
2
)(
2
, 2
3
)( 2
3 ,
4
9
)
0<a<
2
2 . Nhận xét rằng khi đó y''0 (bởi 'y''=a2-1<0)
Vậy 0<a<
2
2 thoả mãn.
Trang 4II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (Đề 11): Tìm cực trị của hàm số y= 3 sinx+cosx+
2
3 x
2
bài giải
Miền xác định: D=R
Đạo hàm: y'= 3 cosx-sinx+1
y'=0
sin(x-3
)=
2
1
k 2 6
7 x
k 2 2
x
, kZ
y''=- 3 sinx-cosx
Với x=
2
+2k thì y''(
2
+2k)=- 3 <0
hàm số đạt cực đại tại các điểm x=
2
+2k, kZ
Với x=
6
7
+2k thì y''(
6
7
+2k)= 3 >0
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=
6
7
+2k, kZ
Bài 2: Cho hàm số y=msinx-x.
a Với m=2 tìm cực trị của hàm số
b Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số
bài giải
a Với m=2, hàm số có dạng: y=2sinx-x
Miền xác định: D=R
Đạo hàm: y'=2cosx-1 y'=0 2cosx-1=0 cosx=
2
1 x=
3
+2k y''=-2sinx
Với x=
3
+2k y''(
3
+2k)=-2sin(
3
+2k)=-2sin
3
=- 3 <0
hàm số đạt cực đại tại các điểm x=
3
+2k, kZ
Với
x=-3
+2k
y''(-3
+2k)=-2sin(-3
+2k)=-2sin(-3
)= 3
>0
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
x=-3
+2k, kZ
b Ta có:
Miền xác định: D=R
Đạo hàm:
y'=mcosx-1; y''=-msinx
Trờng hợp 1 Với m=0 y'=-10 xD hàm số không có cực trị
Trờng hợp 2 Với m0, kh đó:
(1) cosx=
m 1
(2)
Trang 5Ta xét các khả năng:
Khả năng 1 Nếu
m
1
>1 |m|<m|m|<<1 thì : (2) vô nghiệm hàm số không có cực trị
Khả năng 2 Nếu m=1 thì:
(2) cosx=1 sinx=0 y"=0 hàm số không có cực trị
Khả năng 3 Nếu m>1 thì:
(0,
2
) sao cho
m
1
=cos
Khi đó:
(2) cosx=cos x=+2k, kZ
Với x=+2k y''(+2k)=-msin(+2k)=-msin<0
hàm số đạt cực đại tại các điểm x=+2k, kZ
Với x=-+2k y''(-+2k)=-msin(-+2k)=msin()>0
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=-+2k, kZ
Khả năng 4 Nếu m<-1 thì:
(
2
, ) sao cho
m
1
=cos
Khi đó:
(2) cosx=cos x=+2k, kZ
Với x=-+2k y''(-+2k)=-msin(-+2k)=msin<0
hàm số đạt cực đại tại các điểm x=-+2k, kZ
Với x=+2k y''(+2k)=-msin(+2k)=-msin>0
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=+2k, kZ
III Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số:
a y=cosx(1+sinx)
b y=cosx+
2
1 cos2x
c y=cotg(x+
3
)
d y=
x sin 1
x sin 1
e y=ex.sinx
f y=
x cos
x sin
1
g
y=tg(2x-6
)
Bài tập 2. Cho hàm số y=mcosx-x
a Với m=2 tìm cực trị của hàm số
b Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số