Chủ đề: Cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số

PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

chủ đề 7

cực trị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

I Kiến thức cơ bản

Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

phơng pháp chung

Sử dụng mở rộng của định lí 2 để tìm cực trị của hàm số: định lí 2 vẫn còn

đúng nếu ta thay giả thiết bằng "f(x) liên tục tại x0 và có đạo hàm trong các khoảng (a, x0) và (x0, b) " Cụ thể:

Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số y=|-2x2+3x+5| Giải

Hàm số:

y=|-2x2+3x+5|=























1 x hoac 2 / 5 x khi 5 x x

2 / 5 x 1 khi 5 x x 2 2

Miền xác định D=R

Hàm số liên tục tại x=-1 và x=

2

5

Đạo hàm trong khoảng (-1,

2

5 ) là:

y'=-4x+3  y'=0  -4x+3=0  x=

4

3 Bảng xét dấu

-Đạo hàm trong khoảng (-, -1) & (

2

5 , +) là y'=4x-3

 Ta có: y'<0 x(-, -1)

 Ta có: y'>0 x(

2

5 , +)

Giới hạn:





xlim y=





xlim y =+.

Bảng biến thiên

0

CĐ

49/8 CT

Vậy:

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-, -1)(

4

3 , 2 5 )

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-1,

4

3 )(

2

5 , +)

- Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1, x=

2

5

và giá trị cực tiểu yCT=0

- Hàm số đạt cực đại tại x=

4

3

và giá trị cực đại yCĐ=

8

49

Bài toán 2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

phơng pháp chung

Thực hiện phép xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối đa bài toán về các trờng hợp riêng

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=2x+|x2-4x+4m| có cực đại

Giải

Nhận xét rằng hàm số y=ax2+bx+c có cực đại  a<0

Xét g(x)= x2-4x+4m , ta có: '=4(1-m)

Ta đi xét các trờng hợp sau:

Trờng hợp 1: '0  1-m 0  m1

Khi đó g(x)0 x, vậy hàm số có dạng:

y=x2-2x+4m

Hàm số không thể có cực đại Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài Trờng hợp 2: '>0  1-m >0  m<1

Khi đó phơng trình g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt là: x1,2=22 1  m

Ta có bảng xét dấu của g(x) nh sau:

1 Nếu xx1 hoặc xx2 hàm số có dạng y=x2-2x+4m

Miền xác định D=(-, x1][xx2, +)

Hàm số không thể có cực đại Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài

2 Nếu x1<x<x2 hàm số có dạng

y=-x2+6x-4m

Miền xác định D=(x1, x2)

Đạo hàm: y'=-2x+6  y'=0  -2x+6=0  x=3

Hàm số có cực đại khi

x1<3<x2  2-2 1  m<3<2+2 1  m 

2

1

< 1  m  m<

4

3

Kết luận: với m<

4

3 hàm số có cực đại

II.Các bài toán chọn lọc

Bài 1 Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số y=|x2+4x+3|

bài giải

Hàm số:

y=|x2+4x+3|=



























3 x hoac 1 x khi 3 x x

1 x 3 khi 3 x x 2 2

Miền xác định D=R.

Hàm số liên tục tại x=-1 và x=-3

Đạo hàm trong khoảng (-3, -1) là:

y'=-2x-4  y'=0  -2x-4=0  x=-2

Bảng xét dấu

-Đạo hàm trong khoảng (-, -3) & (-1, +) là y'=2x+4

 Ta có: y'<0 x(-, -3)

 Ta có: y'>0 x(-1, +)

Giới hạn:





xlim y=





xlim y =+.

Bảng biến thiên

Vậy:

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-, -3)(-2, -1)

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-3, 2)(-1, +)

- Hàm số đạt cực tiểu tại x=-3, x=-1 và giá trị cực tiểu yCT=0

- Hàm số đạt cực đại tại x=-2 và giá trị cực đại yCĐ=1

Bài 2 (Đề 112) : Tìm m để hàm số y=x+|x2-2x+m| có cực đại và số cực đại yCĐ<13

bài giải

Nhận xét rằng hàm số y=ax2+bx+c có cực đại  a<0

Xét g(x)= x2-2x+m , ta có: '=1-m

Ta đi xét các trờng hợp sau:

Trờng hợp 1: '0  1-m 0  m1

Khi đó g(x)0 x, vậy hàm số có dạng:

y=x+x2-2x+m  y=x2-x+m

Hàm số không thể có cực đại Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài Trờng hợp 2: '>0  1-m >0  m<1

Khi đó phơng trình g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt là:

x1=1- 1  m và x2=1+ 1  m

Ta có bảng xét dấu của g(x) nh sau:

1 Nếu xx1 hoặc xx2 hàm số có dạng y=x2-x+m

Miền xác định D=(-, x1][xx2, +)

Hàm số không thể có cực đại Vậy không thoả mãn điều kiện đầu bài

2 Nếu x1<x<x2 hàm số có dạng

y=-x2+3x-m

Miền xác định D=(x1, x2)

Đạo hàm: y'=-2x+3  y'=0  -2x+3=0  x=3/2

Trớc hết hàm số có cực đại khi

x1<

2

3

<x2  1- 1  m<

2

3

<1+ 1  m 

2

1

< 1  m  m<

4

3

Khi đó yCĐ=y(

2

3 )=

4

9 -m  yCĐ<13 

4

9 -m<13 

m>-4

43

Kết luận: với

-4

43

<m<

4

3 hàm số có cực đại và số cực đại yCĐ<13

III Bài tập đề nghị

Bài tập 1. Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số:

a y=|2x2-x-3|

b y=|x2+3x+2|

c (Đề 96) : y=

1

| x

|

2

| x

| 2

x2







Bài tập 2. Tìm m để hàm số y=|12x2+2(a+3)x+a | có cực tiểu

Bài tập 3. Tìm m để hàm số y=|mx2-2(m-1)x+m-2| có cực tiểu

Bài tập 4. Tìm m để hàm số y=x+|x2+2x+2m| có cực đại và số cực đại

yCĐ<10