Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất. Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kíchthích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cáchchủ động và đạt được mục đích học tâp

Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhấtđịnh là đặc biệt quan trọng Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảngdạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúpngười học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thiđạt được kết quả cao nhất

Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếmmột tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy tôinhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chungvà chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vậndụng cao Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mônToán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cáchtiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất

Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải

các bài toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.

II Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cáchtiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từđó từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải vớimong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắcnghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”

IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị

hàm số”

Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A1 và 12A9.

V Phạm vi nghiên cứu: các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số, tìm điều kiện

của tham số m để hàm số có n điểm cực trị, tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạtcực trị tại điểm x x 0

VI Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp điều tra thực tiễn

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

VII Cấu trúc của SKKN

A Đặt vấn đề

I Lý do chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu

III Nhiệm vụ nghiên cứu

IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu

V Phạm vi nghiên cứu

VI Phương pháp nghiên cứu

VII Cấu trúc của SKKN

B Nội dung

I Cơ sở lý thuyết

II Một số dạng toán

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

C Kết luận và đề xuất

x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a b chứa ; 

điểm x sao cho: f0

;( ) ( ), ; \

Khi đó f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f  0

0

x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a b chứa; 

điểm x sao cho: 0

Khi đó f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f  0

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại 0

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a b chứa điểm ;  x và có đạo hàm trên 0

các khoảng a x và ; 0 x b Khi đó :0; 

f x f a f b( )( )

f x  và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

Nếu f '' x  thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0 0 x 0

Nếu f '' x  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0 0 x 0

'( ) 0''( ) 0

Cho hàm số yf x  có đồ thị  C Khi đó, với số a  ta có:0

a) Nếu tịnh tiến  C theo phương của

1

a x y

e) Đồ thị của hàm số yf x a  

có được bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy rồi tịnh tiến theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

f) Đồ thị của hàm số yf x a  

có được bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục

Oy rồi tịnh tiến theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

g) Đồ thị của hàm số yf x a  

có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của

Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy

Trang 4

h) Đồ thị của hàm số yf x a  

có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của

Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy

5 Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị

a) Nếu đồ thị hàm số yf x( ) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị

nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số yf x( )có 2n  điểm cực trị.1

b) Nếu đồ thị hàm số yf x( ) có n điểm cực trị và phương trình f x  có m   0nghiệm bội lẻ thì đồ thị hàm số y f x( ) có m n điểm cực trị

c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số yf ax b   bằng số điểm cực trị của đồ c

thị hàm sốyf x( ).

d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi.

II Một số dạng toán:

Dạng 1: Cho đồ thị hàm số ( ).f x Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu

giá trị tuyệt đối liên quan đến ( ).f x

Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.

Câu 1 Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ Hỏi

hàm số yf x( )có bao nhiêu điểm cực trị?

A 1 B 2 C 3 D 5

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số yf x( )có 1 điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số( )

yf x có 3 điểm cực trị

Câu 2 Cho hàm số yf x( )có đồ thị như hình vẽ sau:

1 Hàm số yf x( )có bao nhiêu điểm cực trị?

2 Hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

3 Hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời gải

1 Đồ thị hàm số yf x( )có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số

( )

yf x có 5 điểm cực trị

2 Đồ thị hàm số yf x( )có 3 điểm cực trị và phương trình ( ) 0f x  có 2 nghiệm

đơn nên hàm số y f x( ) có 5 điểm cực trị

3 Đồ thị hàm số yf x( )có 5 điểm cực trị và phương trình ( ) 0f x  có 2 nghiệm

đơn nên hàm số y f x( )có 7 điểm cực trị

Câu 3 Cho hàm số yf x( ) Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên dưới

+ -

f'(x)

+∞ 2

1 -1

-2 -∞

x

1 Đồ thị hàm số g x  f x m  

có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số yf x( )qua Oy được đồ thị hàm số yf x 

.+ Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x 

theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số g x  f x m  

Ta thấy: Hàm số yf x( )có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương  f x 

có 5 điểm cực trị

có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số yf x m  

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số yf x m  nằm bên phải Oy qua Oy được

đồ thị hàm số g x  f x m  

Từ đó ta thấy: để hàm số g x  f x m  

có 7 điểm cực trị thì hàm số

3 Để hàm số g x  f x m  

có 5 điểm cực trị thì hàm số yf x m  phải có 2 cực trị dương  tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox (sang phảihoặc trái) phải thỏa mãn:

 Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị 0m1.

 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị  0m1.

có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số yf x( )qua Oy được đồ thị hàm số yf x 

.+ Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x 

theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số g x  f x m  

Ta thấy: Hàm số yf x( )có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương  f x 

có 3 điểm cực trị

có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số yf x m  

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số yf x m  nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số g x  f x m  

Từ đó ta thấy: để hàm số g x  f x m  

có 5 điểm cực trị thì hàm số

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x  

+ Dựa vào đồ thị của f x và biểu thức của '  g x để xét dấu '  g x ' 

Câu 1 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số yf x  Số điểm cực trịcủa hàm số yf x  là

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số f x 

có 4 điểm chung với trục hoành x1; 0; ; x x nhưng chỉ cắt2 3

thực sự tại hai điểm là 0 và x 3

Bảng biến thiên

Vậy hàm số yf x  có 2 điểm cực trị Chọn A.

Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của f x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt' 

và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị

 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại

 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu

Câu 2 Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số yf x 

nhưhình bên Tìm số điểm cực trị của hàm số g x  f x 2 3 

Trang 8

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.

Chú ý: Dấu của g x 

được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;

Nhận thấy các nghiệm x  và 1 x  là các nghiệm bội lẻ nên 0 g x  qua nghiệm đổi

dấu; các nghiệm x  là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy 2 f x  tiếp xúc

với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1) nên qua nghiệm không đổi dấu

Câu 3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của yf x  như

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.

Chú ý: Dấu của g x 

được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3;

0

f x

x x

Vậy hàm số g x có 3 điểm cực trị Chọn C. 

Chú ý: Dấu của g x 

được xác định như sau: Ví dụ chọn x  0  1;b

 x     0 theo do thi 'f x  f  0 0  1

 Theo giả thiết f  0 0  2

Trang 10

Từ  1 và  2 , suy ra g 0  trên khoảng 0 1; b

Nhận thấy x2; x a x b ;  là các nghiệm đơn nên g x  đổi dấu khi qua các nghiệmnày Nghiệm x  là nghiệm kép nên 1 g x  không đổi dấu khi qua nghiệm này, trongbảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x  vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của1

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x    v x 

+ Dựa vào đồ thị của f x và biểu thức của '  g x để xét dấu '  g x ' 

Chú ý: * Nếu trong khoảng a b đồ thị hàm số ;  f x nằm trên đồ thị hàm số '( )'  v x thì

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;0 ta thấy đồ thịhàm f x 

nằm phía dưới đường y  nên 1 g x 

mang dấu 

Câu 3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  Đồ thị hàm số yf x 

như hình vẽbên dưới

Trang 12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực đại tại 1.  x  Chọn C.

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;0 ta thấy đồ thịhàm f x 

nằm phía trên đường yx 12 nên g x 

mang dấu Nhận thấy các nghiệm x0; x1; x là các nghiệm đơn nên qua nghiệm 2 g x  đổidấu

Câu 4 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên  Đồ thị hàm số yf x  như hình vẽbên dưới Hàm số g x  2f x x2 đạt cực tiểu tại điểm

12

x x

g x

x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực tiểu tại 0.  x  Chọn B.

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng   ; 1 ta thấy đồ thịhàm f x 

nằm phía trên đường y x nên g x 

mang dấu 

Dạng 4: Cho biểu thức f x Hỏi số điểm cực trị của hàm số '  f u x  

Phương pháp:

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x   g x'  u x f u x'( ) ' ( )   

+Từ biểu thức của f x và '( )'  u x hãy xét dấu g x rồi suy ra số điểm cực trị của' 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số yf x  đạt cực đại tại x  Chọn D.3.

Câu 2 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x1 x 1 2 x 2  với mọi1

x   Hàm số g x  f x  x có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x2 1 x 4

với mọi x   Hàm.

số g x  f 3 x có bao nhiêu điểm cực đại ?

Câu 4 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x x2  1 x 42 với mọi x   Hàm.

Ta thấy x 1 3, x0, x và 2 x  đều là các nghiệm đơn   hàm số 4 g x có 

5 điểm cực trị Chọn C.

Dạng 5: Cho biểu thức f x m Tìm m để hàm số ' ,  f u x   có n điểm cực trị

Câu 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x x2 1 x22mx5

với mọi

x   Có bao nhiêu số nguyên m  10 để hàm số g x  f x 

có 5 điểm cực trị ?

Lời giải.

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f x 

nên yêu cầu bàitoán  f x  có 2 điểm cực trị dương  *

Câu 2 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x12x2m2 3m 43x35

với mọi x   Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số . g x  f x  có 3 điểm cực trị ?

Câu 3 Cho hàm số f x có đạo hàm   f x   x1 4 x m  5 x33 với mọi x  .

Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 5;5 để hàm số g x  f x 

có 3 điểm cựctrị ?

chỉ có 1 cực trị là x  Do đó, 0. m  không thỏa yêu cầu đề bài.1

 Nếu m  thì hàm số 3 f x không có cực trị Khi đó, hàm số  f x 

chỉ có 1 cực trịlà x  Do đó, 0. m  không thỏa yêu cầu đề bài.3

 Khi

13

x   Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x  f x  có đúng 1 điểm cực trị ?

Trang 16

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1 Phương trình  1 có hai nghiệm âm phân biệt

Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2 Phương trình  1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép    m2 5 0



          Chọn A.

Câu 5 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x 12x2 2x

với mọi x   Có.bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f x 2 8x m 

có 5điểm cực trị ?

2 2

Khi đó  *  , d d1 2 cắt  C tại bốn điểm phân biệt  m 16 m16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa Chọn A.

Dạng 6: Cho đồ thị f x Hỏi số điểm cực trị của hàm số   f u x  .

Câu 1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên R và có đồ thị

như hình bên Đồ thị của hàm số g x   f x  có bao nhiêu2

điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

B 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

C 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

D 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g x có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu Chọn C. 

Câu 2 Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên R vàcó đồ thị

như hình vẽ bên Hàm số g x   f f x   có bao nhiêu

điểm cực trị ?

Trang 18