Phương pháp nghiên cứu A.. Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng.. Trong đề thi THPT QG những năm qua, c
Trang 1V Phạm vi nghiên cứu
VI Phương pháp nghiên cứu
A ĐẶT VẤN ĐỀ
I Lý do chọn đề tài:
Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động
và đạt được mục đích học tâp.
Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một
tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ
đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất.
Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.
II Mục đích nghiên
cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ đó từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số.
III Nhiệm vụ nghiên
cứu: Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.
IV Đối tượng và khách thể nghiên
cứu: Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm
số”. Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A5 và
12A9
V Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số; tìm điều kiện của
tham số m để hàm số có n điểm cực trị; tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm
x x 0 VI Phương pháp nghiên
cứu:
- Phương pháp điều tra
thực tiễn - Phương pháp đối
chứng - Phương pháp nghiên cứu
II Mục đích nghiên
cứu III Nhiệm vụ nghiên
cứu IV Đối tượng và khách thể
nghiên cứu
Trang 2VII Cấu trúc của SKKN
B Nội dung
I Cơ sở lý thuyết
II Một số dạng toán
III Các biện pháp đã tiến hành để giải
quyết vấn đề IV Hiệu quả của sáng kiến
1 Khái niệm cực trị hàm số :
Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D D R và x0 D
x0được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa điểm x0
f (x0 ), x a ; b \ x0
f (x )
Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f
x0được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa điểm
Trang 3Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f Giá
trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại
điểm x0 Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D
y
Điểm cực đại
Điểm cực tiểu
Điểm cực tiểu
x
O
2
Trang 4Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị )của hàm số.
2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì
f ' x0 0
Chú ý :
Đạo hàm f ' có thể triệt tiêu tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó
hàm số không có đạo hàm
3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các
khoảng a; x0 và x0 ;b Khi đó :
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a; b chứa điểm x0 , f ' x0 0 và
f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0
Nếu f '' x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0
Nếu f '' x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0
Chú ý :
1 Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0 ; f (x0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f
2 Trong trường hợp f '(x0 ) 0 f '(x0 ) 0 thì định lý 3 không dùng được.
không tồn tại hoặc
f ''(x0 ) 0
4.Tịnh tiến đồ thị
Trang 5Cho hàm số y f x có đồ thị C Khi đó, với số a 0 ta có:
a) Nếu tịnh tiến C theo phương của x a lên trên a đơn vị ta được đồ thị hàm số
y f x a
b) Nếu tịnh tiến C theo phương của x a xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị hàm số
y f x a
c) Nếu tịnh tiến C theo phương của y a
qua trái a đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x a
d)Nếu tịnh tiến C theo phương của y a qua phải a đơn vị ta được đồ thị hàm số
y f x a
e) Đồ thị của hàm số y f x có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên phải Oy, bỏ đồ thị
(C) bên trái Oy, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên phải Oy qua Oy.
f) Đồ thị của hàm số y f x có được bằng cách: giữ nguyên đồ thị (C) bên trên Ox, bỏ đồ thị (C) bên
dưới Ox, lấy đối xứng đồ thị (C) phần bên dưới Ox qua Ox.
g) Đồ thị của hàm số y f x a có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số y f x rồi tịnh tiến đồ thị y f x theo
phương của Ox qua trái a đơn vị.
h) Đồ thị của hàm số y f x a có được bằng cách vẽ đồ thị hàm số y f x rồi tịnh tiến đồ thị y f x theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
i) Đồ thị của hàm số y f x a có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị
rồi lấy đối xứng qua trục Oy
k) Đồ thị của hàm số y f x a có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn
vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy
5 Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị
a) Nếu đồ thị hàm số y f (x) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị nằm bên
phải Oy) thì đồ thị hàm số y f ( x ) có 2 n 1 điểm cực trị
b) Nếu đồ thị hàm số y f (x) có n điểm cực trị và phương trình f x 0 có m nghiệm bội lẻ thì đồ
thị hàm số y f (x) có m n điểm cực trị
c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f ax b c bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f ( x )
d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi.
II Một số dạng toán:
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số f(x). Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối liên quan đến f( x)
Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.
4
Trang 6Câu 1 Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số
y f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số y f (x) có 1 điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số y f ( x ) có 3
điểm cực trị
Câu 2 Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ sau:
1 Hàm số y f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
2 Hàm số y f (x) có bao nhiêu điểm cực trị?
3 Hàm số y f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời gải
1 Đồ thị hàm số y f (x) có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số y f ( x ) có 5
điểm cực trị
2 Đồ thị hàm số y f (x) có 3 điểm cực trị và phương trình f ( x ) 0 có 2 nghiệm đơn nên hàm
số y f (x) có 5 điểm cực trị.
3 Đồ thị hàm số y f ( x ) có 5 điểm cực trị và phương trình f ( x ) 0 có 2 nghiệm đơn nên hàm số y f ( x ) có 7 điểm cực trị.
Câu 3 Cho hàm số y f (x) Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới
1 Tìm m để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị.
2 Tìm m để hàm sốg x f x m có 7 điểm cực trị.
3 Tìm m để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị.
Lời giải
Ta có BBT của hàm số f x :
Trang 7x -∞ -2 -1 1 2 +∞
1 Đồ thị hàm số g x f x m có được bằng cách:
+ Vẽ đồ thị hàm số y f x
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được
đồ thị hàm số g x f x m
Ta thấy: Hàm số y f (x) có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương f x có 5 điểm cực trị
f x m có 5 điểm cực trị với mọi m.
2 Đồ thị hàm số g x f x m có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f (x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị
được đồ thị hàm số y f x m
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x m nằm bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm
số g x f x m
Từ đó ta thấy: để hàm số g x f x m có 7 điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có 3 cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số y f (x) theo phương của Ox sang phải lớn hơn 1
đơn vị và không quá 2 đơn vị 2 m 1.Vậy 2 m 1
3 Để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có 2 cực trị dương tịnh tiến
đồ thị hàm số y f (x) theo phương của Ox (sang phải hoặc trái) phải thỏa mãn:
Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị 0 m 1
Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị 0 m 1 Vậy 1 m 1
Câu 4 Cho hàm số y f (x) Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới
1 Tìm m để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị.
2. Tìm m để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị.
3. Tìm m để hàm số g x f x m có 3 điểm cực trị.
6
Trang 8Ta có BBT của hàm số f x : Lời giải
1 Đồ thị hàm số g x f x m có được bằng cách:
+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f (x) bên phải Oy qua Oy được đồ thị hàm số y f x
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị được
đồ thị hàm số g x f x m
Ta thấy: Hàm số y f (x) có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương f x có 3 điểm cực
trị
f x m có 3 điểm cực trị với mọi m Vậy không có giá trị nào của m để hàm số g x f
x m có 5 điểm cực trị.
2 Đồ thị hàm số g x f x m có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f (x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m đơn vị
được đồ thị hàm số y f x m
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x m nằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số g x f
x m
Từ đó ta thấy: để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có 2 cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số y f (x) theo phương của Ox sang phải lớn hơn 0
đơn vị m 0 Vậy m 0
3 Để hàm số g x f x m có 3 điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có 1 cực trị dương tịnh tiến
đồ thị hàm số y f (x) theo phương của Ox trái nhỏ hơn 3 đơn vị
0 m 3.
Vậy 0 m 3.
Dạng 2: Cho đồ thị f ' x Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số f ' x hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f ' x với trục hoành.
+Tính đạo hàm của hàm số g ( x ) f u x
+ Dựa vào đồ thị của f ' x và biểu thức của g ' x để xét dấu g ' x
Trang 9Câu 1 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y f x Số điểm cực trị của hàm
là
B 3
Ta thấy đồ thị hàm số f
x
tại hai điểm là 0 và x3
Bảng biến thiên
Lời giải.
có 4 điểm chung với trục hoành x1 ; 0; x2 ; x3 nhưng chỉ cắt thực sự
Vậy hàm số y f x có 2 điểm cực trị Chọn A.
Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của f ' x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và "băng
qua" luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị
Cắt và "băng qua" trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại
Cắt và "băng qua" trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 2 Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x như hình bên.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g x f x2 3
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta
chọn B Chú ý: Dấu của g x
được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng x 2; x
0
A 2
số y f x
Trang 112 2 theo do thi f ' x 23 2
Từ 1 và 2 , suy ra g x 2xf x2 3 0 trên khoảng 2; nên g x mang dấu
Nhận thấy các nghiệm x 1 và x 0 là các nghiệm bội lẻ nên g x qua nghiệm đổi dấu; các
nghiệm x 2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f x tiếp xúc với trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng 1 nên qua nghiệm không đổi dấu
Câu 3 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R và f 0 0, f 1 0, đồng thời đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số g x f 2 x là
Vậy hàm số g x có 3 điểm cực trị Chọn C
Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ chọn x 0 1;b
x 0 f 0 0.
Từ 1 và 2 , suy ra g 0 0 trên khoảng 1;b
9
Trang 12Nhận thấy x 2; x a; x b là các nghiệm đơn nên g x đổi dấu khi qua các nghiệm này.Nghiệm x 1 là nghiệm kép nên g x không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏqua nghiệm x 1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g x
Dạng 3: Cho đồ thị f ' x Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x v x
+ Từ đồ thị hàm số hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x ) f u x v x
+ Dựa vào đồ thị của f ' x và biểu thức của g ' x để xét dấu g ' x
Chú ý: * Nếu trong khoảng a; b đồ thị hàm số f ' x nằm trên đồ thị hàm số v '( x ) thì g '(x
) f '(x ) v '(x ) 0, x a; b
* Nếu trong khoảng a; b đồ thị hàm số f ' x nằm dưới đồ thị hàm số v '( x ) thì g '(x
) f '(x ) v '(x ) 0, x a; b
Câu 1 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2017 2018x 2019 là
Câu 2 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên
dưới Hỏi hàm số g x f x x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
Lời giải.
Ta có g x f x 1; g x 0 f x 1
Trang 13Suy ra số nghiệm của phương trình g x 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số và đường thẳng
x 0 Dựa vào đồ thị ta suy ra g x 0 x 1
x 2 Lập bảng biến thiên cho hàm g x ta thấy g x đạt cực tiểu tại x 1 Chọn B
Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị hàm nằm
phía dưới đường y 1 nên g x mang dấu
Câu 3 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới.
x 0 Dựa vào đồ thị ta suy ra g x 0 x 1 Bảng biến thiên
x 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực đại tại x 1 Chọn C
Trang 14Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị hàm f x
y 2 nên g x mang dấu
nằm phía trên đường x 1
Nhận thấy các nghiệm x 0; x 1; x 2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g x đổi dấu
Câu 4 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên
x 1
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực tiểu tại x 0 Chọn B
Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ; 1
ta thấy đồ thị hàm
f x nằm phía trên đường y x
nên g x mang dấu
Dạng 4: Cho biểu thức f ' x Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x
Phương pháp:
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x ) f u x g ' x u '(x ) f ' u ( x)
Trang 15+Từ biểu thức của f ' x và
f u x
Câu 1 Cho hàm số y f x y f x đạt
cực đại tại
u '( x ) hãy xét dấu g ' x rồi suy ra số điểm cực trị của
có đạo hàm f x x 1 3 x với mọi x R Hàm số
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x đạt cực đại tại x 3.Chọn D.
Câu 2 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 1 2 x 2 1 với mọi x R. Hàm
số g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị ?
x 1 là nghiệm képhàm số g x có 2 điểm cực trị Chọn B.
Câu 3 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 1 x 4 với mọi x R Hàm số
g x f 3 x có bao nhiêu điểm cực đại ?
Trang 16Câu 4 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 4 2 với mọi x R Hàm số
g x f x2 có bao nhiêu điểm cực trị ?
Ta thấy x 1 và x 0 là các nghiệm bội lẻ hàm số có 3 điểm cực trị Chọn B
Câu 5 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 2x với mọi R Hàm số
Dạng 5: Cho biểu thức f ' x ,
m .Tìm m để hàm số f u x có n điểm cực trị
Câu 1 Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 2 2 mx 5 với mọi x R Có
bao nhiêu số nguyên m 10 để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị ?
x
Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số
f x có 2 điểm cực trị dương. *